2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十三章 系列4選講 13.2 不等式選講學(xué)案 文 北師大版

1、13.2不等式選講最新考綱考情考向分析1.理解絕對(duì)值不等式的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，bR)2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.本節(jié)題目常見的是解絕對(duì)值不等式、利用不等式恒成立求參數(shù)的值或范圍，求含有絕對(duì)值的函數(shù)最值也是考查的熱點(diǎn)求解的一般方法是去掉絕對(duì)值，也可以借助數(shù)形結(jié)合求解在高考中主要以解答題的形式考查，難度為中、低檔.1絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集不

2、等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想2含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)(1)如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a|b|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立(2)如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立3

3、不等式證明的方法(1)比較法作差比較法知道abab0，ababb，只要證明ab0即可，這種方法稱為作差比較法作商比較法由ab01且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時(shí)，要證明ab，只要證明1即可，這種方法稱為作商比較法(2)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫作綜合法，即“由因?qū)Ч钡姆椒?3)分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫作分析法，即“執(zhí)果索因”的方法題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“

4、”或“”)(1)若|x|c的解集為R，則c0.()(2)不等式|x1|x2|b0時(shí)等號(hào)成立()(4)對(duì)|a|b|ab|當(dāng)且僅當(dāng)|a|b|時(shí)等號(hào)成立()(5)對(duì)|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立()題組二教材改編2不等式3|52x|9的解集為()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由題意得即解得不等式的解集為(2,1 4,7)3求不等式|x1|x5|2的解集解當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1；當(dāng)1x5時(shí)，原不等式可化為x1(5x)2，x4，1x4；當(dāng)x5時(shí)，原不等式可化為x1(x5)2，該不等式不成立綜上，原

5、不等式的解集為(，4)題組三易錯(cuò)自糾4若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k .答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.5已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值為 答案9解析把a(bǔ)bc1代入到中，得332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立6若不等式|2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 答案解析設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x5；當(dāng)2x，y5；當(dāng)x時(shí)，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.題型一絕對(duì)值

6、不等式的解法1(2017全國(guó))已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時(shí)，式化為x2x40，從而11.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解(1)方法一當(dāng)a2時(shí)，由題意知|x2|x4|4，利用幾何意義可知不等式表示數(shù)軸上x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2與4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和大于等于4，又2和4之間的距離為2，即x在以2和4為

7、標(biāo)準(zhǔn)分別向左或者向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度的位置上故不等式的解集為x|x1或x5方法二當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無(wú)解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.故原不等式的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以解得a3.思維升華 解絕對(duì)值不等式的基本方法(1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式(2)當(dāng)不等式兩端均為正號(hào)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等

8、式(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解題型二利用絕對(duì)值不等式求最值典例 (1)對(duì)任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)等號(hào)成立，|y1|y1|(y1)(y1)|2，當(dāng)且僅當(dāng)1y1時(shí)等號(hào)成立，|x1|x|y1|y1|123.當(dāng)且僅當(dāng)0x1，1y1同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立|x1|x|y1|y1|的最小值為3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值為5.思維升華 求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三

9、種(1)利用絕對(duì)值的幾何意義(2)利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零點(diǎn)分區(qū)間法跟蹤訓(xùn)練 (2017鎮(zhèn)江模擬)已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)(1)求的最小值；(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解(1)4，當(dāng)且僅當(dāng)(2ab)(2ab)0時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.由(1)可知，的最小值為4，x的取值范圍即為不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為2,2題型三絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用典例 已知函數(shù)f(x

10、)|x2|x2|m(mR)(1)若m1，求不等式f(x)0的解集；(2)若方程f(x)x有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)|x2|x2|1，當(dāng)x2時(shí)，f(x)3，不滿足題意；當(dāng)2x2時(shí)，f(x)2x1，由f(x)0，可解得x，于是x0恒成立，不等式f(x)0的解集為.(2)由方程f(x)x可變形為mx|x2|x2|.令h(x)x|x2|x2|作出圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合，可得2my，求證：2x2y3；(2)設(shè)a，b，c0且abbcca1，求證：abc.證明(1)因?yàn)閤0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因?yàn)閍，b，c0，所以要證a

11、bc，只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即證a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)成立，所以原不等式成立思維升華 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野跟蹤訓(xùn)練 (2017全國(guó))已知a0，

12、b0，a3b32，證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.1解不等式|x1|x2|5.解方法一如圖，設(shè)數(shù)軸上與2,1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，則不等式的解就是數(shù)軸上到A，B兩點(diǎn)的距離之和不小于5的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)顯然，區(qū)間2,1不是不等式的解集把點(diǎn)A向左移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)A1，此時(shí)|A1A|A1B|145.把點(diǎn)B向右移動(dòng)一個(gè)單位到點(diǎn)B1，此時(shí)|B1A

13、|B1B|5，故原不等式的解集為(，32，)方法二由原不等式|x1|x2|5，可得或或解得x2或x3，原不等式的解集為(，32，)方法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，則f(x)作出函數(shù)的圖像，如圖所示由圖像可知，當(dāng)x(，32，)時(shí)，y0，原不等式的解集為(，32，)2不等式log3(|x4|x5|)a對(duì)于一切xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解由絕對(duì)值的幾何意義知，|x4|x5|9，則log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a對(duì)于一切xR恒成立，則需a0)(1)當(dāng)a4時(shí)，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)

14、a4時(shí)，不等式為|2x1|x1|2.當(dāng)x時(shí)，x22，解得4x1時(shí)，x0，此時(shí)x不存在，原不等式的解集為.(2)令f(x)|2x1|x1|，則f(x)故f(x)，即f(x)的最小值為.若f(x)log2a有解，則log2a，解得a，即a的取值范圍是.6已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解當(dāng)a3時(shí)，f(x)|x3|x2|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3，得2x53，解得x1；當(dāng)2x3時(shí)，f(x)3無(wú)解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3，得2x53，解得x4，所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)由f(x)|x4|，得|

15、x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa|，得4x(2x)|xa|，即2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,07(2017哈爾濱三中檢測(cè))已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc2.(1)求證：abbcac；(2)若a，b，c都小于1，求a2b2c2的取值范圍(1)證明abc2，a2b2c22ab2bc2ca4，2a22b22c24ab4bc4ca8，82a22b22c24ab4bc4ca6ab6bc6ac，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，abbcac.(2)解由題意可知，a2b2c22ab2bc2ca4，4a2b2c2a2b2b2c2a2c23(a2b2c2

16、)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，a2b2c2.0aa2.同理bb2，cc2.a2b2c2abc2，a2b2c22，a2b2c2的取值范圍為.8已知函數(shù)f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集為0,1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求證：axbycz1.(1)解由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m1，當(dāng)x0時(shí)，x1時(shí)，得2x1m,1x.綜上可知，不等式|x|x1|m的解集為.由題意知，原不等式的解集為0,10，1，解得m1.m1.(2)證明x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，當(dāng)且僅當(dāng)xa，yb，zc時(shí)等號(hào)

17、成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由題設(shè)及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz1，不等式得證9(2017銀川模擬)已知函數(shù)f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在x0R，使得f(x0)g(x0)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)，即|x1|2|x|1，從而即x1，或即1x，或即x2.從而不等式f(x)g(x)的解集為.(2)存在x0R，使得f(x0)g(x0)，即存在x0R，使得|x01|x0|，即存在x0R，使得|x01|x0|.設(shè)h(x)|x1|x|則h(x)的最大值為1，所以1，即a2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，210(20