2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 8.3 圓的方程學(xué)案 文

1、83圓的方程知識(shí)梳理1圓的方程標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(xa)2(yb)2r2之間存在著下列關(guān)系：設(shè)d為點(diǎn)M(x0，y0)與圓心(a，b)的距離(1)drM在圓外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圓外；(2)drM在圓上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圓上；(3)drM在圓內(nèi)，即(x0a)2(y0b)20)若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則m的最大值為()A7 B6 C5 D4APB90，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，求m的最大值轉(zhuǎn)化為求半徑|OP|的最大值答案B解析根據(jù)

2、題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m，因?yàn)锳PB90，連接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.故選B.方法技巧求解與圓有關(guān)的最值問題的方法1借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解(1)形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；見角度1典例(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題或轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；見結(jié)論探究1.(3)形如(xa)2(yb)

3、2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題見結(jié)論探究2.2建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題中條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)、基本不等式求最值沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2018福建師大附中聯(lián)考)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，那么的最小值為()A4 B3C42 D32答案D解析設(shè)|PO|t，向量與的夾角為，則| ，sin，cos12sin21，|cos(t21)(t1)，t23(t1)，利用基本不等式可得的最小值為23，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)，取等號(hào)故選D.2已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的

4、動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1 C62 D.答案A解析圓C1，C2的圖象如圖所示設(shè)P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|1，同理，|PN|的最小值為|PC2|3，則|PM|PN|的最小值為|PC1|PC2|4.作C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C1(2，3)，連接C1C2，與x軸交于點(diǎn)P，連接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值為|C1C2|，則|PM|PN|的最小值為54.故選A.題型3與圓有關(guān)的軌跡問題(2014全國卷)已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求M的軌跡方程

5、；(2)當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積由圓的性質(zhì)可知：CMMP，由直接法可解得(1)解(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則(x，y4)，(2x,2y)由題設(shè)知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為，故l的方程為x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距離為，所以|P

6、M|，SPOM，故POM的面積為.方法技巧與圓有關(guān)的軌跡問題的4種求法求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，題目的設(shè)問有兩種常見形式，作答也應(yīng)不同若求軌跡方程，則把方程求出化簡即可；若求軌跡，則必須根據(jù)軌跡方程，指出軌跡是什么曲線沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2017南平一模)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到兩點(diǎn)A、B距離之比為常數(shù)(0，1)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓，若已知A(2,0)，B(2,0)，則此阿波尼斯圓的方程為()Ax2y212x40 Bx2y212x40Cx2y2x40 Dx2y2x40答案D解析由題意，設(shè)P(x，y)，則，化簡可得x2y2x40，故選D.2已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)

7、，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.題型4與圓有關(guān)的對稱問題已知圓C1：(x1)2(y1)21，圓C2與圓C1關(guān)于直線x

8、y10對稱，則圓C2的方程為()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21圓與圓關(guān)于直線對稱問題轉(zhuǎn)化為圓心關(guān)于直線對稱問題答案B解析圓C1的圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為(a，b)，由題意得解得所以圓C2的圓心坐標(biāo)為(2，2)，又兩圓的半徑相等，故圓C2的方程為(x2)2(y2)21.故選B.方法技巧1圓的軸對稱性圓關(guān)于直徑所在的直線對稱2圓關(guān)于點(diǎn)對稱(1)求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置(2)兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)3圓關(guān)于直線對稱(1)求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定

9、所求圓的圓心位置見典例(2)兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線沖關(guān)針對訓(xùn)練1(2018錦州期末)若曲線x2y2a2x(1a2)y40關(guān)于直線yx對稱的曲線仍是其本身，則實(shí)數(shù)a為()A.或 B.或C.或 D或答案B解析曲線x2y2a2x(1a2)y40，即曲線22，曲線x2y2a2x(1a2)y40關(guān)于直線yx對稱的曲線仍是其本身，故曲線的中心在直線yx上，故有，求得a或a，故選B.2已知圓x2y24與圓x2y26x6y140關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是()Ax2y10 B2xy10Cxy30 Dxy30答案D解析解法一：圓心分別為(0,0)，(3，3)，其中點(diǎn)為P應(yīng)在

10、直線l上，經(jīng)檢驗(yàn)答案為D.解法二：兩圓方程相減得xy30，即為l的方程故選D.1.(2016全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A B C. D2答案A解析圓的方程可化為(x1)2(y4)24，則圓心坐標(biāo)為(1,4)，圓心到直線axy10的距離為1，解得a.故選A.2(2018山東青島一模)已知兩點(diǎn)A(0，3)，B(4,0)，若點(diǎn)P是圓C：x2y22y0上的動(dòng)點(diǎn)，則ABP的面積的最小值為()A6 B. C8 D.答案B解析x2y22y0可化為x2(y1)21，則圓C為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓如圖，過圓心C向直線AB作垂線交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，

11、這時(shí)ABP的面積最小，直線AB的方程為1，即3x4y120，圓心C到直線AB的距離d，又AB5，ABP的面積的最小值為5.故選B.3(2015全國卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案2y2解析由已知可得該圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)A(4,0)，B(0，2)，C(0，2)，易知線段AB的垂直平分線的方程為2xy30.令y0，得x，所以圓心坐標(biāo)為，則半徑r4.故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.4(2017全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，2)，求直線

12、l與圓M的方程解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為1，所以O(shè)AOB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心M的坐標(biāo)為(m22，m)，圓M的半徑r.由于圓M過點(diǎn)P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為

13、，圓M的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，圓M的方程為22. 基礎(chǔ)送分 提速狂刷練一、選擇題1(2017豫北名校聯(lián)考)圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24答案D解析設(shè)圓(x2)2y24的圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則有解得a1，b，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.故選D.2(2017湖南長沙二模)圓x2y22x2y10上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值是()A1 B2 C1 D22答案A解析將圓的方程化為(x

14、1)2(y1)21，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線xy2的距離d，故圓上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值為d11，故選A.3圓心在y軸上且通過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0答案B解析設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r|b|，圓的方程為x2(yb)2b2.點(diǎn)(3,1)在圓上，9(1b)2b2，解得b5.圓的方程為x2y210y0.故選B.4(2018山西運(yùn)城模擬)已知圓(x2)2(y1)216的一條直徑通過直線x2y30被圓所截弦的中點(diǎn)，則該直徑所在的直線方程為()A3xy50 Bx2y0Cx2

15、y40 D2xy30答案D解析直線x2y30的斜率為，已知圓的圓心坐標(biāo)為(2，1)，該直徑所在直線的斜率為2，所以該直徑所在的直線方程為y12(x2)，即2xy30，故選D.5(2018唐山期末)若當(dāng)方程x2y2kx2yk20所表示的圓取得最大面積時(shí)，則直線y(k1)x2的傾斜角()A. B. C. D.答案A解析將圓x2y2kx2yk20化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得2(y1)21，半徑r滿足r21，當(dāng)圓取得最大面積時(shí)，k0，半徑r1.因此直線y(k1)x2即yx2.得直線的傾斜角滿足tan1，直線的傾斜角0，)，.故選A.6若方程 xm0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍()A4m4 B4m4C4m4 D4m

16、4答案B解析由題意知方程xm有實(shí)數(shù)解，分別作出y與yxm的圖象，如圖，若兩圖象有交點(diǎn)，需4m4.故選B.7(2017廣東七校聯(lián)考)圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對稱，則的最小值是()A2 B. C4 D.答案D解析由圓x2y22x6y10知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)29，圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對稱，該直線經(jīng)過圓心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)(a3b)，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號(hào)，故選D.8(2018唐山一中調(diào)研)點(diǎn)P(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(

17、y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21答案A解析設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.故選A.9(2017山東菏澤一模)已知在圓M：x2y24x2y0內(nèi)，過點(diǎn)E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A3 B6 C4 D2答案D解析圓x2y24x2y0可化為(x2)2(y1)25，圓心M(2，1)，半徑r，最長弦為圓的直徑，AC2.BD為最短弦，AC與BD垂直，易求得ME，BD2BE22.S四邊形ABCDSABDSBDCBDEABDECBD(EAEC

18、)BDAC222.故選D.10已知點(diǎn)P(x，y)在圓C：x2y26x6y140上，則xy的最大值與最小值是()A62，62 B6，6C42，42 D4，4答案A解析設(shè)xyb，則b表示動(dòng)直線yxb在y軸上的截距，顯然當(dāng)動(dòng)直線yxb與圓(x3)2(y3)24相切時(shí)，b取得最大值或最小值，如圖所示由圓心C(3,3)到切線xyb的距離等于圓的半徑2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值為62，最小值為62.故選A.二、填空題11(2016天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_答案(x2)2y29解析因?yàn)閳AC的圓心在x

19、軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.12(2017廣東七校聯(lián)考)一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且在直線yx上截得的弦長為2，則該圓的方程為_答案(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29解析所求圓的圓心在直線x3y0上，設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，半徑r3|a|又所求圓在直線yx上截得的弦長為2，圓心(3a，a)到直線yx的距離d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.13(2017金牛期末)已知aR，若方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則此圓心坐標(biāo)是_答案(2，4)解析方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，a2a2