九年級數(shù)學(xué)上冊 26 解直角三角形教學(xué)案 冀教版

1、第二十六章解直角三角形1.理解銳角三角函數(shù)的概念,并能通過實例進行說明.2.能推導(dǎo)并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并能解決含有30,45,60角的三角函數(shù)值的計算.3.能夠正確地使用計算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,或由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角.4.會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余以及銳角三角函數(shù)解直角三角形.5.會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題,并能對相關(guān)知識進行綜合應(yīng)用.1.通過探究銳角正弦、余弦、正切概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.2.通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進一步認(rèn)識函數(shù),培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力

2、.3.通過在直角三角形中探究三角函數(shù)與邊長、角之間的數(shù)量關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生從已有的知識、特殊圖形中去感知、遷移.4.綜合運用所學(xué)知識解決和直角三角形有關(guān)的計算,逐步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生思維能力的靈活性.5.經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型的過程,發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,進一步感受數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.1.通過引導(dǎo)學(xué)生參與體驗數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)問題,提高數(shù)學(xué)思維能力.同時體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學(xué)生體驗成功

3、的快樂.3.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學(xué)活動,探索三角函數(shù)有關(guān)知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.4.在探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.5.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)建模思想,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考等學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成事實求是的科學(xué)態(tài)度.本章銳角三角函數(shù)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)的概念、求銳角三角函數(shù)的值,以及銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用.它是在學(xué)習(xí)了函數(shù)、相似三角形的基礎(chǔ)上,對直角三角形中邊角之間的關(guān)系的進一步研究,屬于三角學(xué)中

4、的最基礎(chǔ)的內(nèi)容,而高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分,所以本章的學(xué)習(xí)是為高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.本章內(nèi)容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、兩個銳角之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上,進一步研究邊角之間的關(guān)系,本章中只有正確了解銳角三角函數(shù)的概念,才能真正理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系,從而利用這些關(guān)系來解直角三角形,這樣才能把直角三角形的判定、性質(zhì)、作圖與直角三角形中邊角之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一起來.銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會,研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論,解直角三角形主要依據(jù)銳

5、角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容,因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ).通過本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關(guān)系,并綜合運用已學(xué)知識解決與直角三角形有關(guān)的度量問題,進一步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、運算能力和數(shù)學(xué)建模思想.本章重點是銳角三角函數(shù)的概念、解直角三角形及三角函數(shù)的簡單應(yīng)用.通過研究直角三角形中各元素之間的關(guān)系,并把這種關(guān)系用數(shù)量關(guān)系的形式表示出來,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程,通過本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生進一步感受數(shù)形結(jié)合的思想,體會數(shù)形結(jié)合的方法.直角三角形中邊角之間的關(guān)系在解決實際問題中有著重要的作用,現(xiàn)實生活中距離、高度、角度等計算問題,常常應(yīng)用到解直角三角形的知識,使學(xué)生

6、進一步感受數(shù)學(xué)建模思想在實際生活中的應(yīng)用.【重點】正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函數(shù)值、會解直角三角形、能利用三角函數(shù)有關(guān)知識解決實際問題.【難點】把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題,并通過銳角三角函數(shù)解決問題.1.組織學(xué)生積極參與課堂教學(xué)活動,根據(jù)問題情境,讓學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學(xué)生在小組間通過合作與交流的方式解決問題.2.關(guān)于銳角三角函數(shù)概念的教學(xué),應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實際的問題情境,從實際問題出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷建立概念的過程,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系.3.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊角之間的關(guān)系,鼓勵學(xué)生有條理地進行思考和表達.在觀察、操作和推理的過程中,使學(xué)生有意識

7、地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法.4.教師在學(xué)生活動的過程中,要鼓勵學(xué)生積極大膽地發(fā)表自己的意見,特別是學(xué)生與眾不同的意見,要有意識地培養(yǎng)學(xué)生求異思維的能力和不斷創(chuàng)新的欲望.5.關(guān)于銳角三角函數(shù)求值的教學(xué),應(yīng)以實際操作為主,通過求函數(shù)值,使學(xué)生加深對銳角三角函數(shù)概念的理解,讓學(xué)生初步感受到銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.6.對于銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,首先要引導(dǎo)學(xué)生弄清實際問題的意義,然后把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.同時,應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透,引導(dǎo)學(xué)生逐步從對具體問題的研究中提煉出思想方法.26.1銳角三角函數(shù)2課時26.2銳角三角函數(shù)的計算1課時26.3解直角三角形1課時26.4解直角三角形的應(yīng)

8、用1課時回顧與反思1課時26.1銳角三角函數(shù)1.經(jīng)歷正切、正弦、余弦概念建立的過程,理解三角函數(shù)的意義.2.經(jīng)歷探索30,45,60角的三角函數(shù)值的過程,能夠進行有關(guān)推理,并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù).3.能熟練地計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值.4.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系,進行簡單的計算.1.經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程,探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程,體會現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.2.通過探究銳角正弦、余弦、正切概念的形成,養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的良好習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.3.通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進一步認(rèn)識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想,逐步培

9、養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.4.通過推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,學(xué)會綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.1.學(xué)生通過問題情境經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.通過思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證等數(shù)學(xué)活動,提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.3.通過主動探究,合作交流,增強學(xué)生的合作意識,培養(yǎng)學(xué)生團隊意識,同時讓學(xué)生體驗成功的快樂.4.在探索與三角函數(shù)有關(guān)的知識過程中,學(xué)生通過觀察、操作獲取知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.【重點】理解各三角函數(shù)的意義,會求銳角的各三角函數(shù)值;熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練地計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值.【難

10、點】探索各三角函數(shù)值的概念;30,45,60角的三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程.第課時1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角固定時,它的對邊與鄰邊的比值是固定值,引出正切的概念.2.理解銳角正切的概念并能根據(jù)正切的概念進行計算.3.會計算特殊角的正切值.1.經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程,探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程,體會現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系.2.經(jīng)歷正切概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力,養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的良好習(xí)慣,同時培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力.1.通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.通過主動探究

11、,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的合作意識,同時體驗成功的快樂.【重點】理解正切函數(shù)的意義,并會求銳角的正切值.【難點】理解直角三角形中的銳角,它的對邊與鄰邊的比值是固定值.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】預(yù)習(xí)教材P104106.導(dǎo)入一:【課件展示】如圖所示,小明在距旗桿4.5 m的點D處,仰視旗桿頂端A,仰角(AOC)為50;俯視旗桿底部B,俯角(BOC)為18.旗桿的高約為多少米?【師生活動】教師展示章前頁問題情境并簡單說明,學(xué)生觀察圖示,教師引出本章課題.導(dǎo)入語通過測量仰角、俯角及小明與旗桿的距離,應(yīng)用以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,我們還不能求出旗桿的高度.通過本章的學(xué)習(xí),你將能夠解決這個問題.導(dǎo)入二:復(fù)

12、習(xí)提問:1.直角三角形有哪些特殊性質(zhì)?2.有一個銳角是30的直角三角形有什么特殊性質(zhì)?3.有一個銳角是45的直角三角形有什么特殊性質(zhì)?【師生活動】學(xué)生思考回答,教師點評.導(dǎo)入三:【課件展示】如圖所示,輪船在A處時,燈塔B位于它的北偏東35的方向上.輪船向東航行5 km到達C處時,輪船位于燈塔的正南方,此時輪船距燈塔多少千米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))教師提問:該實際問題中的已知和所求為圖中的哪些角和線段?(事實上,求輪船距燈塔的距離,就是在RtABC中,已知C=90,BAC=55,AC=5 km,求BC長度的問題)【師生活動】教師提示學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,學(xué)生思考回答,教師點評.過渡語解決此

13、問題,需要用到將要學(xué)習(xí)的直角三角形邊角之間的關(guān)系,即銳角三角函數(shù),今天我們學(xué)習(xí)第一種銳角三角函數(shù)銳角的正切.設(shè)計意圖通過章前頁問題情境提出如何求得旗桿高度,讓學(xué)生認(rèn)識到本章將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探求新知識的欲望.通過復(fù)習(xí)和本節(jié)課有關(guān)的直角三角形的知識導(dǎo)入新課,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.通過導(dǎo)入三中把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生初步感知直角三角形中邊角之間存在著某種關(guān)系,體會生活與數(shù)學(xué)之間的密切聯(lián)系.共同探究直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值【課件展示】如圖所示,在RtABC中和RtABC中,C=C=90.當(dāng)A=A時,與具有怎樣的關(guān)系?思路一教師引導(dǎo)思考:(1)如何證明線段成比例

14、?(三角形相似)(2)根據(jù)已知,你能證明這兩個直角三角形相似嗎?(A=A,C=C=90,RtABCRtABC)(3)由三角形相似的性質(zhì)可以得到與之間的關(guān)系嗎?RtABCRtABC,即(4)你能用語言敘述這個結(jié)論嗎?(當(dāng)銳角A確定時,A的對邊與鄰邊的比值是確定的,與所在三角形的大小無關(guān))【師生活動】學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,小組代表展示后,教師作出點評.思路二教師展示課件后,小組合作交流,共同探究,寫出結(jié)論,說明理由.教師對有困難的學(xué)生進行分析指導(dǎo),對學(xué)生的展示進行點評.解:.理由:A=A,C=C=90,RtABCRtABC.,即.追問:你能用語言敘述這個結(jié)論嗎?【師生活動】學(xué)生嘗試敘述結(jié)論

15、,教師歸納完整.結(jié)論:當(dāng)銳角A確定時,A的對邊與鄰邊的比值是確定的,與所在三角形的大小無關(guān).過渡語在上圖中的兩個直角三角形中,相等的角所對的直角邊與鄰邊的比值是相等的,在下圖中,上述結(jié)論是否還正確呢?【課件展示】如圖所示,已知EAF90,BCAF,BCAF,垂足分別為C,C.與具有怎樣的關(guān)系?【師生活動】學(xué)生類比上邊的思考方法,獨立思考后,小組內(nèi)交流答案,教師及時發(fā)現(xiàn)問題,及時幫助解決問題.追問:根據(jù)以上兩個圖形中角的對邊與鄰邊的比的探究,你能得到什么結(jié)論?【師生活動】學(xué)生獨立思考后回答,教師點評,規(guī)范歸納的結(jié)論.【課件展示】在兩個直角三角形中,當(dāng)一對銳角相等時,這兩個直角三角形相似,從而兩條

16、對應(yīng)直角邊的比相等,即當(dāng)A(小于90)確定時,以A為銳角的RtABC的兩條直角邊的比是確定的.設(shè)計意圖通過教師引導(dǎo)或獨立思考后小組合作交流,讓學(xué)生感知并證明銳角一定時,它的對邊和鄰邊的比是定值,為引出正切的概念做好鋪墊,同時培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考及合作交流的能力.形成概念過渡語在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,它所對的直角邊與鄰邊的比是固定值,那么這個固定值被定義為什么呢?【課件展示】如圖所示,在RtABC中,C=90,我們把A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切,記作tan A,即tan A=.大家談?wù)?(1)A的正切tan A表示的是tan 與A的乘積還是一個整體?(tan A表示的是一個整體)(2)

17、當(dāng)A的大小變化時,tan A是否變化?(tan A隨著A的大小變化而變化)(3)tan A有單位嗎?(tan A是一個比值,沒有單位)(4)B的正切怎么表示?tan A與tan B之間有怎樣的關(guān)系?(5)要求一個銳角的正切值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個銳角的對邊和鄰邊)(6)若知道直角三角形的斜邊和一直角邊,你能求一個銳角的正切值嗎?(根據(jù)勾股定理求出另一直角邊,再根據(jù)正切定義求解)【師生活動】學(xué)生獨立思考,小組合作交流,小組代表回答問題,教師點評.設(shè)計意圖在解決一系列的問題中,經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)概念的過程,讓學(xué)生全面理解正切的概念、寫法和意義,教師強調(diào)概念中注意的事項,使學(xué)生

18、加深對正切概念的理解和掌握.例題講解(教材105頁例1)在RtABC中,C=90.(1)如圖(1)所示,A=30,求tan A,tan B的值.(2)如圖(2)所示,A=45,求tan A的值.【師生活動】學(xué)生獨立思考完成,小組內(nèi)交流答案,小組代表板書過程,教師巡視、觀察學(xué)生的解答情況,對發(fā)現(xiàn)的問題及時解決,并對學(xué)生的展示進行點評和規(guī)范做題步驟.解:(1)在RtABC中,A=30,B=60,且a=c.b= c.tan A=tan 30=cc=,tan B=tan 60=cc=.(2)在RtABC中,A=45,a=b.tan A=tan 45=1.這樣,就得到tan 30=,tan 45=1,t

19、an 60=.設(shè)計意圖學(xué)生獨立完成該問題的理解和解答,鞏固了對正切的概念的理解和應(yīng)用,為下節(jié)課學(xué)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值做好鋪墊,同時教師規(guī)范學(xué)生的解題過程,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.知識拓展1.正切是一個比值,沒有單位.2.正切值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān).3.tan A是一個整體符號,不能寫成tan A.4.當(dāng)用三個字母表示角時,角的符號“”不能省略,如tanABC.5.tan2A表示(tan A)2,而不能寫成tan A2.1.在直角三角形中,當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,A的對邊與鄰邊的比值是一個固定值.2.正切的定義:在Rt

20、ABC中,C=90,我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切,記作tan A,即tan A=.1.如圖所示,在RtABC中,C=90,三邊分別為a,b,c,則tan A等于()A.B.C.D.解析:根據(jù)銳角正切的定義可得tan A=.故選B.2.把ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正切值()A.不變B.縮小為原來的C.擴大為原來的3倍D.不能確定解析:因為ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒改變,所以銳角A的正切值也不變.故選A.3.已知RtABC中,C=90,tan A=,BC=12,則AC等于.解析:根據(jù)正切定義可得tan A=,所以

21、AC=9.故填9.4.如圖所示,在RtABC中,C=90.(1)若tan A=,BC=9,求AB的長;(2)若tan B=,AC=16,求AB的長.解:(1)tan A=,BC=9,AC=12,由勾股定理可得AB=15.AB的長為15.(2)tan B=,AC=16,BC=12.由勾股定理可得AB=20.AB的長為20.第1課時共同探究直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值形成概念例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第106頁習(xí)題A組第1,2題.【選做題】教材第106頁習(xí)題B組第1,2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.已知RtABC中,C=90,BC=1,AC=2,則tan A的值是()A.2B.

22、C.D.2.已知RtABC中,C=90,tan A=,BC=8,則AC等于()A.6B.C.10D.123.在RtABC中,C=90,若AC=2BC,則tan B的值是()A.B.2C.D.4.如圖所示,A,B,C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處,若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ACB,則tan B的值為.5.已知等腰三角形的腰長為6 cm,底邊長為10 cm,則底角的正切值為.6.如圖所示,點A(t,4)在第一象限,OA與x軸所夾的角為,tan =,則t的值是.7.如圖所示,在RtABC中,ACB=90,CDAB于點D,若BC=2,AB=3,求tanBCD的值.【能力提升】8.如圖所示,ABC中,

23、AB=AC,A=45,AC的垂直平分線分別交AB,AC于D,E,連接CD.如果AD=1,那么tanBCD=.9.如圖所示,在ABC中,C=90,D是BC上一點,AC=2,CD=1,記CAD=.(1)求的正切值;(2)若B=,求BD的長.【拓展探究】10.如圖所示,將矩形ABCD沿CE折疊,點B恰好落在邊AD的F處,如果,求tanDCF的值.【答案與解析】1.B(解析:在RtABC中,C=90,AC=2,BC=1,tan A=.故選B.)2.A(解析:tan A=,BC=8,AC=BC=6.故選A.)3.B(解析:AC=2BC,tan B=2.故選B.)4.(解析:由旋轉(zhuǎn)可得B=B,所以tan

24、B=tan B=.故填.)5.(解析:根據(jù)等腰三角形的三線合一,可得底邊的一半為5 cm,由勾股定理可得底邊上的高為 cm,所以底角的正切值為.故填.)6.3(解析:如圖所示,過A點分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為B,C,點A(t,4)在第一象限,AB=4,OB=AC=t,又tan =,t=3.故填3.)7.解:CDAB,ADC=90,A+ACD=90,又BCD+ACD=90,BCD=A,在RtABC中,AC=,tan A=,tanBCD=tan A=.8.-1(解析:DE垂直平分AC,AD=CD,A=ACD=45,ADC=BDC=90.AD=CD=1,AB=AC=,BD=-1.在直角三角形

25、BCD中,tanBCD=-1.故填-1.)9.解:(1)在RtACD中,tan =.(2)在RtABC中,tan B=,由(1)知tan =,又B=,tan B=,又AC=2,BC=4,BD=BC-CD=4-1=3.10.解:四邊形ABCD是矩形,AB=CD,D=90,將矩形ABCD沿CE折疊,點B恰好落在邊AD的F處,CF=BC,設(shè)CD=2x,CF=3x,則DF=x,tanDCF=.本節(jié)課通過復(fù)習(xí)特殊角直角三角形的性質(zhì),為探究銳角的正切概念做好鋪墊,同時以具體情境引入新課,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,并初步感受直角三角形中邊角之間的關(guān)系.然后通過學(xué)生自主探究、合作交流等數(shù)

26、學(xué)活動,歸納出結(jié)論:直角三角形中銳角一定時,它的對邊與鄰邊的比相等.從而自然引出正切的概念,順理成章完成知識的遷移,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學(xué)生參與意識較強,課堂氣氛活躍,讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展,突出了學(xué)生在課堂上的主體作用.本節(jié)課通過探究直角三角形中銳角的對邊和鄰邊的比是固定值,由此歸納總結(jié)正切定義.在教學(xué)設(shè)計中,注重知識間的聯(lián)系,由前邊所學(xué)知識自然推導(dǎo)結(jié)論,由結(jié)論自然導(dǎo)出正切概念,但在授課過程中忽略了學(xué)生的認(rèn)知能力,部分學(xué)生對正切的理解有困難.在以后的教學(xué)中,給出正切定義后,應(yīng)給出幾個簡單的練習(xí)題,加深學(xué)生對概念的理解和掌握.本節(jié)課根據(jù)問題情境中提出的問

27、題,引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,激發(fā)學(xué)生探究本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣,然后根據(jù)已有的相似三角形的知識,讓學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,探究出直角三角形中的銳角確定時,它的對邊和鄰邊的比是確定的,很自然地引出正切的定義,然后通過例題講解讓學(xué)生進一步理解和掌握正切的概念.學(xué)生在經(jīng)歷概念的形成過程中,加深對正切概念的理解和掌握,同時提高了數(shù)學(xué)思維及歸納總結(jié)能力.練習(xí)(教材第106頁)1.提示:(1)1.(2)2+.(3)0.(4).2.解:在RtABC中,AC=2,tan B=.3.解:根據(jù)勾股定理可以求得另一條直角邊為,所以tan =.習(xí)題(教材第106頁)A組1.提示:-2-.2.提示:

28、AC=,AB=.B組1.解:ABC的周長為AB+BC+AC=+10+,ABC的面積為ACBC=10=.2.解:BC=6,tan B=.加強探究能力,發(fā)展學(xué)生的思維能力本節(jié)課的重點是探究直角三角形中銳角的正切概念,在教學(xué)設(shè)計中,通過“觀察與思考”“大家談?wù)劇钡冉虒W(xué)環(huán)節(jié),為學(xué)生提供探究交流的空間,發(fā)展學(xué)生的思維能力.首先通過復(fù)習(xí)特殊直角三角形的性質(zhì),為學(xué)生探究活動做好鋪墊,然后讓學(xué)生通過獨立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學(xué)活動,探索出結(jié)論“在直角三角形中,當(dāng)一個銳角確定時,這個角的對邊與鄰邊的比是確定的”,從而很自然地把直角三角形中這個確定的值定義為這個銳角的正切.在課堂上以問題引導(dǎo)的形式讓學(xué)生

29、積極參與課堂,親身經(jīng)歷概念的形成過程,為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間,培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、與他人合作及歸納總結(jié)的能力.然后設(shè)計“大家談?wù)劇杯h(huán)節(jié),讓學(xué)生獨立完成后,小組交流得出結(jié)論,鞏固對正切概念的理解.在例題講解環(huán)節(jié),設(shè)計了求30,45這些特殊角的正切值,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,再次經(jīng)過獨立思考后,小組合作交流,得出正確結(jié)果,提高學(xué)生探究能力和分析問題、解決問題的能力,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到進一步的提升.(2015內(nèi)江中考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(0,2)作直線l:y=x+b(b為常數(shù)且b2)的垂線,垂足為點Q,則tanOPQ=.解析如圖所示,設(shè)直線l與坐標(biāo)軸的交點分別為A,B,AOB

30、=PQB=90,ABO=PBQ,OAB=OPQ,由題意可得OB=b,OA=2b,在RtOAB中,tanOAB=,tanOPQ=.故填.第課時1.經(jīng)歷正弦、余弦概念的形成過程,理解三角函數(shù)的定義,并能根據(jù)正弦、余弦的概念進行計算.2.經(jīng)歷探索30,45,60角的正弦、余弦值的過程,能夠進行有關(guān)推理,并能進行含有30,45,60角的三角函數(shù)值的計算.1.結(jié)合正切概念探索銳角正弦、余弦概念的形成,培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力及歸納總結(jié)的能力.2.通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),進一步認(rèn)識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.3.通過推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值,了解知識間的

31、聯(lián)系,學(xué)會綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.1.通過積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動,體驗數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生積極思考,勇于探索的精神.2.引導(dǎo)學(xué)生參與體驗數(shù)學(xué)活動,學(xué)會用數(shù)學(xué)思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證問題,提高數(shù)學(xué)思維能力.3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學(xué)生體驗成功的快樂.【重點】1.理解正弦、余弦的概念,并會求銳角的正弦值、余弦值.2.熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值.【難點】類比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30,45,60角的正弦、余弦值的推導(dǎo)過程.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備

32、】預(yù)習(xí)教材P106108.導(dǎo)入一:復(fù)習(xí)提問:1.在直角三角形中,如果一個銳角確定時,它的對邊與鄰邊的比值有什么規(guī)律?2.什么是正切?如何求一個角的正切?3.含30,45的直角三角形有哪些性質(zhì)?4.你還記得我們探究正切概念時所得的30,45角的正切嗎?導(dǎo)入二:觀察兩個不同大小的三角板,當(dāng)角是30,45,60時,它們的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值有什么規(guī)律?談?wù)勀愕目捶?過渡語類比探究正切的方法,在直角三角形中,當(dāng)銳角的度數(shù)一定時,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比也是確定的嗎?這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)提問,回憶上節(jié)課的探究方法,用類比的方法探究本節(jié)課的內(nèi)容,為本節(jié)課做好鋪墊.計

33、算直角三角板中特殊角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值,觀察、歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課的概念,同時培養(yǎng)學(xué)生計算、觀察、猜想的能力.共同探究一直角三角形中,銳角的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比是定值思路一【課件展示】如圖所示,在RtAB1C1和RtAB2C2中,C1=C2=90.【思考】(1)RtAB1C1與RtAB2C2之間有什么關(guān)系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)與,與之間各有什么關(guān)系?(3)過射線AB1上任取一點B3,過B3作B3C3AC1,垂足為C3,則與,與之間有什么關(guān)系?(4)根據(jù)以上思考,你得到什么結(jié)論?(直角三角形中A的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值是固定不變的)(5)如果

34、改變A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結(jié)論.【師生活動】教師提出問題,學(xué)生思考后小組合作交流,共同歸納結(jié)論,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,對學(xué)生的回答作出點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比是確定的.2.在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比也是確定的.思路二【課件展示】如圖所示,BAC為任意給定的一個銳角,B1,B2為射線AB上的任意兩點,過點B1,B2分別作AC的垂線B1C1,B2C2,垂足分別為C1,C2.【探究】類比上節(jié)課探究“在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,這個角的對

35、邊與鄰邊的比是確定的”的方法,請你探究“在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,這個角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比也是確定的”.【師生活動】學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,教師幫助學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生,并對學(xué)生的展示進行點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比是確定的.2.在直角三角形中,當(dāng)銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比也是確定的.設(shè)計意圖在教師提出的問題的引導(dǎo)下,學(xué)生通過小組合作交流,類比上節(jié)課探究問題的方法,經(jīng)過觀察、討論、驗證等數(shù)學(xué)活動,歸納出結(jié)論,為歸納理解三角函數(shù)定義做好鋪墊,同時培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力

36、.形成概念過渡語在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值是確定的,我們把確定值定義為什么呢?【課件展示】在RtABC中,C=90.銳角A的對邊和斜邊的比、鄰邊與斜邊的比都是一個定值.A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦,記作sin A,即sin A=.A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦,記作cos A,即cos A=.【思考】(1)當(dāng)銳角的大小變化時,sin ,cos ,tan 是否變化?(2)對于銳角的每一個確定的值,sin ,cos 和tan 是否有唯一的值和它對應(yīng)?(3)sin ,cos 和tan 是不是的函數(shù)?【師生活動】學(xué)生思考回答,教師引導(dǎo)點評.歸納:我們把銳角正弦

37、、余弦和正切統(tǒng)稱為的三角函數(shù).為方便起見,今后將(sin )2,(cos )2,(tan )2分別記作sin2,cos2,tan2.大家談?wù)?如圖所示,在RtABC中,C=90.(1)B的正弦與余弦分別是哪兩邊的比值?B的正弦是,B的余弦是(2)由ac,bc,說一說sin A和cos A的值與“1”的關(guān)系.(sin A1,cos A1,sin2A+cos2A=1)【師生活動】學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,對于“A的正弦、余弦的平方和等于1”這一結(jié)論,學(xué)生不容易想到,教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并對學(xué)生的展示作出點評.設(shè)計意圖教師根據(jù)上邊的總結(jié)驗證,類比正切概念的形成,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識理解正弦、余弦的概

38、念,讓學(xué)生體會類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力.通過大家談?wù)?加深學(xué)生對銳角三角函數(shù)概念的理解和掌握,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.共同探究二特殊角的三角函數(shù)值過渡語類比上節(jié)課的30,45,60角的正切值的探究方法,你能得到30,45,60角的三角函數(shù)值嗎?思路一動手操作:畫出含有30,45角的直角三角形,分別求出30,45,60角的所有三角函數(shù)值.【師生活動】學(xué)生畫圖,根據(jù)直角三角形的知識和三角函數(shù)的定義,獨立推導(dǎo)各三角函數(shù)值,然后小組成員交流推導(dǎo)結(jié)果,教師提示可以用字母表示三角形的一個邊長,然后計算各三角函數(shù)值.對學(xué)生推導(dǎo)的結(jié)果教師作出點評,共同完成下列表格.【課件展示】3

39、04560sin cos tan 1【思考】觀察表格中特殊角的三角函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?【師生活動】學(xué)生小組討論,教師在巡視中幫助有困難的學(xué)生,并對學(xué)生的回答作出點評,只要學(xué)生說的有理,就給予肯定和鼓勵.結(jié)論:(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin 30=cos 60,sin 60=cos 30,sin 45=cos 45,由此可知sin =cos (90-),cos =sin (90-).(3)0sin A1,0cos A0)且sin A=,求cos A.【答案與解析】1.D(解析:cos =,設(shè)的鄰邊為k,斜邊為10k,由勾股定理可得的對邊為=

40、3k,sin =.故選D.)2.C(解析:過點A向BC引垂線,與BC的延長線交于點D.設(shè)正方形的邊長為1,在RtABD中,AD=2,BD=4,AB=2,sinABC=.故選C.)3.A(解析:在RtABC中,根據(jù)勾股定理可得AB=3.B+BCD=90,ACD+BCD=90,B=ACD,sinACD=sin B=.故選A.)4.75(解析:由=0,得cos A-=0,sin B-=0,cos A=,sin B=,A=60,B=45,又A+B+C=180,C=75.故填75.)5.80(解析:依題意知,在菱形ABCD中,DEAB,在RtDEA中,DE=8 cm,sin A=,則,所以AD=10 c

41、m.因為在菱形ABCD中,DEAB,所以菱形ABCD的面積為DEAB=810=80(cm2).故填80.)6.解:(1)原式=4+1-1=4.(2)原式=-+2=1+.7.解:在RtABC中,C=90,tan A=,設(shè)BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,k=26,k=2,BC=2k=4,AC=3k=6,cos B=.AC的值為6,cos B=.8.(解析:在RtAMC中,sinCAM=,設(shè)MC=3x,AM=5x,則AC=4x.M是BC的中點,BC=2MC=6x.在RtABC中,tan B=.)9.(1)證明:AD是BC邊上的高,ADBC,ADB=90,ADC=90,在RtABD和R

42、tADC中,則有tan B=,cosDAC=,又tan B=cosDAC,AC=BD.(2)解:在RtADC中,sin C=,故可設(shè)AD=12k,AC=13k,CD=5k,BC=BD+CD,由(1)知AC=BD,BC=13k+5k=18k,由已知BC=12,18k=12,k=,AD=12k=12=8.10.解:如圖所示,作DEAB于E.設(shè)AC=BC=2x,BD為AC邊上的中線,在RtBCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=x.C=90,AC=BC,A=CBA=45,又DEAB,A=ADE=45,AE=DE=x,在RtBDE中,sinABD=.11.1111(1)證明:過點B作BDAC于D,在RtADB

43、中,sin A=,cos A=,由勾股定理得BD2+AD2=AB2,=1,sin2A+cos2A=1.(2)解:A為銳角(cos A0),sin A=,sin2A+cos2A=1,cos A=.本節(jié)課是在上節(jié)課的基礎(chǔ)上,用類比的方法探究正弦和余弦定義,然后由三角函數(shù)的定義探究特殊角的三角函數(shù)值.在教學(xué)設(shè)計中,通過復(fù)習(xí)上節(jié)課探究正切的方法和技巧,為本節(jié)課學(xué)生的自主學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),在探究活動中,教師引導(dǎo)學(xué)生類比直角三角形的銳角對邊和鄰邊的比是固定值的證明方法,讓學(xué)生獨立完成用相似三角形證明直角三角形中銳角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比都是固定值,很自然地得到正弦和余弦的概念.通過特殊角所在的直角三角形邊之間的關(guān)系,推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值.由于內(nèi)容比較簡單,學(xué)生獨立完成后,小組交流答案,通過教師引導(dǎo)填寫表格,加深學(xué)生對特殊角的三角函數(shù)值的記憶,學(xué)生動手、動腦,提高了分析問題的能力.例題中求代數(shù)式的值,學(xué)生獨立完成,教師點評,再次加深對特殊角的三角函數(shù)值的記憶,整節(jié)課學(xué)生積極參與課堂,氣氛活躍,人人學(xué)到有價值的數(shù)學(xué)知識.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩個銳角三角函數(shù)及特殊角的三角函數(shù)值,在教學(xué)設(shè)計時,只注重了學(xué)生的活動的設(shè)計,考慮到學(xué)生基礎(chǔ)較差,對函數(shù)的理解較難,所以沒有將函數(shù)與定