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1、江蘇省邗江中學(xué)2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題一、填空題:(本大題共14小題,每小題5分,共70分)1.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則=_【答案】5【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù),所以.故答案為:5【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的模.2.已知集合 ,則_【答案】【解析】【分析】求解出集合,根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3.觀察下列不等式:;則第個(gè)不等式為_(kāi)【答案】【解析】試題分析:不等式的規(guī)律是:,則第個(gè)不等式為考點(diǎn):歸納推理點(diǎn)評(píng):歸納推
2、理,關(guān)鍵在于觀察事實(shí),尋求規(guī)律,然后得到結(jié)論。對(duì)此類題目,只要用心思考,都能做得很好。4.已知,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),_【答案】【解析】試題分析:因?yàn)榧僭O(shè)時(shí),當(dāng)時(shí),所以 考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法,由歸納法的性質(zhì),我們由對(duì)成立,則它對(duì)也成立,由此類推,對(duì)于的任意整數(shù)均成立,其中熟記數(shù)學(xué)歸納法的步驟和推理結(jié)構(gòu)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵,本題的解答中根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思想,得出當(dāng)和時(shí),分別寫(xiě)出和的表達(dá)式,即可作差求解的表示形式,屬于基礎(chǔ)題5.已知,是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量,則矩陣的另一個(gè)特征值為_(kāi)【答案】-3【解析】【分析】由求得,則可得矩陣的特征多項(xiàng)式為,令求得結(jié)果.【詳
3、解】由題意得:,即可得:,解得: 特征多項(xiàng)式為則 或另一個(gè)特征值為:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征向量問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)隨機(jī)變量,且,則事件“”的概率為_(kāi)(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求得,再利用二項(xiàng)分布概率公式求得結(jié)果.【詳解】由可知:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布中方差公式、概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.已知命題,命題,若命題且是真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析:是真命題,則為真命題,為真命題,命題為真命題,則,命題 為真命題,則,所以考點(diǎn):1、命題的真假性;2、一元二次不等式恒成立【方法點(diǎn)睛】本題主要考察存在性問(wèn)題,一元二
4、次不等式恒成立問(wèn)題,存在性問(wèn)題等價(jià)于或,對(duì)于恒成立問(wèn)題,常用到以下兩個(gè)結(jié)論:(1),(2),一元二次不等式在上恒成立,看開(kāi)口方向和判別式8.已知,設(shè),則_【答案】1023【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式性質(zhì)可得;分別代入和求得和,作差即可得到結(jié)果.【詳解】 即:代入可得:代入可得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和的應(yīng)用問(wèn)題,對(duì)于與二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和有關(guān)的問(wèn)題,常采用特殊值的方式來(lái)求解.9.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程是,直線被曲線截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】將曲線的參數(shù)方程化為普通
5、方程;直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立后求得交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間距離公式求得線段長(zhǎng).【詳解】由得的普通方程為:又的直角坐標(biāo)方程為:聯(lián)立,解得交點(diǎn)坐標(biāo)為:,直線被曲線截得的線段長(zhǎng)為:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查直線被曲線截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠?qū)?shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,進(jìn)而在直角坐標(biāo)系中來(lái)求解.10.下列命題錯(cuò)誤的是_(1)命題“若,則”的逆否命題為“若中至少有一個(gè)不為0,則”;(2)若命題:,則:;(3)中,“”是“”的充要條件;(4)若向量滿足,則的夾角為鈍角?!敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析:根據(jù)題意,由于命題“若,則” 的逆否命題為“若,中至少有一個(gè)不為,則”成
6、立。若命題:,則:,成立。中,是的充要條件成立。若向量,滿足,則與的夾角為鈍角,可能是平角,因此錯(cuò)誤,故填寫(xiě)考點(diǎn):命題的真假判定點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)四種命題的關(guān)系,以及充要條件來(lái)求解,屬于基礎(chǔ)題。11.有個(gè)座位連成一排,現(xiàn)有4人就坐,則恰有個(gè)空座位相鄰的不同坐法有_種.(用數(shù)字作答)【答案】480【解析】【分析】根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:,將4人全排列,安排在4個(gè)座位上,排好后,有5個(gè)空檔可用,將3個(gè)空座位分成1、2的兩組,將其安排在5個(gè)空檔之中,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:,將4人全排列,安排在4個(gè)座位上,有=24種情況,排好后,有5個(gè)空檔可用,將3個(gè)空座位
7、分成1、2的兩組,將其安排在5個(gè)空檔之中,有種情況,則恰有2個(gè)空座位相鄰的不同坐法有2420=480種;故答案為:480【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查排列組合綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用的方法:一般問(wèn)題直接法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.12.對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式“分裂”:,仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是413,則m_【答案】20【解析】【分析】通過(guò)歸納推理,可知為分裂后的第個(gè)數(shù);再根據(jù)分裂數(shù)的個(gè)數(shù)和為個(gè),找到使得的第一個(gè)正整數(shù)即可.【
8、詳解】將分裂后的數(shù)字排序?yàn)椋寒?dāng)時(shí),即為分裂后的第個(gè)數(shù)由到的分裂數(shù)中,共有個(gè)由題意可知是第一個(gè)使得的正整數(shù)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理相關(guān)應(yīng)用,關(guān)鍵是通過(guò)已知?dú)w納總結(jié)出規(guī)律,從而利用規(guī)律求得結(jié)果.13.已知復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】將等式變?yōu)椋鶕?jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)得到,根據(jù)不等式求得最大值.【詳解】 由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得:,即解不等式可得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)的應(yīng)用,通過(guò)模的性質(zhì)構(gòu)造出不等關(guān)系,解不等式求得最值.14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)且項(xiàng)數(shù)為4的數(shù)列(n1,2,3,4)的首項(xiàng)為1,若存在,使得對(duì)于任意的 (7,8),均有(1,2)
9、成立,則的取值范圍為_(kāi)【答案】(2,3)【解析】【分析】分別代入和得到兩個(gè)不等式,可整理出滿足的關(guān)系式;兩個(gè)不等式聯(lián)立可得到與的關(guān)系,從而根據(jù)的范圍得到的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),由得: 由得: 綜上所述:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)所給出的遞推關(guān)系式,以作為橋梁,構(gòu)建出與之間滿足的不等關(guān)系,從而能夠使范圍得以求解.本題對(duì)于不等式知識(shí)的應(yīng)用要求較高,屬于較難題.二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明或演算步驟15.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?,函?shù),的值域?yàn)椋?)當(dāng)時(shí),求;(2)若“”是“”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取
10、值范圍【答案】(1);(2).【解析】試題分析:(1)借助題設(shè)條件解二次不等式和求值域求出集合求解;(2)借助題設(shè)運(yùn)用充分必要條件的結(jié)論推斷求解.試題解析:(1)由,解得,所以,又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,即當(dāng)時(shí),所以(2)首先要求,而“”是“”的必要不充分條件,所以是的真子集,從而, 解得考點(diǎn):二次不等式及集合求交計(jì)算和子集的包含關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.16.已知直線l:(1)矩陣A 所對(duì)應(yīng)的變換將直線l變換為自身,求a的值;(2)若一條曲線C在關(guān)于直線l的反射變換下變?yōu)榍€C:,求此反射變換所對(duì)應(yīng)的矩陣B,并求出曲線C的方程【答案】(1) (2);【解析】【分析】(1)根據(jù)矩陣變換得到
11、變換后的方程,利用與原直線相同構(gòu)造等式,求出;(2)求出反射變換在基上的作用,即與關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo),即可得到矩陣;再根據(jù)矩陣變換的方法求得曲線.【詳解】(1)設(shè)為上任意一點(diǎn),其在的作用下變?yōu)閯t,即,代入可得:,整理可得: (2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) 同理可求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn) 設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)為,其在的作用下變?yōu)?,代入得:,整理可得:【點(diǎn)睛】本題考查矩陣變換中的反射變換,關(guān)鍵是明確矩陣變換的基本運(yùn)算原理和方法,屬于常規(guī)題型.17.某小組共10人,利用寒假參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì)(1)記“選出2人參加義工活動(dòng)
12、的次數(shù)之和為4”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】(1) ; (2).【解析】【分析】(1)分別計(jì)算次數(shù)之和為的兩種情況的選法,根據(jù)古典概型計(jì)算得到結(jié)果;(2)首先確定所有可能的取值為,分別結(jié)算每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率,從而可得分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算可得期望.【詳解】(1)參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為,則人分別參加活動(dòng)次數(shù)為“和”或“和”次數(shù)為“和”共有:種選法;次數(shù)為“和”共有:種選法則所以事件的發(fā)生的概率為(2)隨機(jī)變量的所有可能的取值為;所以隨機(jī)變量的分布列為:數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查古典概型、分布列與數(shù)學(xué)期望的相
13、關(guān)知識(shí),涉及到簡(jiǎn)單的排列組合的應(yīng)用,屬于常規(guī)題型.18.如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面,.(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)若點(diǎn)分別在上,且平面,試確定點(diǎn)的位置【答案】(1);(2)M為AB的中點(diǎn),N為PC的中點(diǎn)【解析】【分析】(1)由題意知,AB,AD,AP兩兩垂直以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面PCD的一個(gè)法向量為,由空間向量的線面角公式求解即可;(2)設(shè) ,利用平面PCD,所以,得到的方程,求解即可確定M,N的位置【詳解】(1)由題意知,AB,AD,AP兩兩垂直以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則從而設(shè)平面PCD的法向量則即不妨取則所以平面PCD的一個(gè)法向量為
14、 設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 (2)設(shè)則設(shè)則而所以由(1)知,平面PCD的一個(gè)法向量為,因?yàn)槠矫鍼CD,所以所以解得,所以M為AB的中點(diǎn),N為PC的中點(diǎn) 【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的應(yīng)用,求線面角,探索性問(wèn)題求點(diǎn)位置,熟練掌握空間向量的運(yùn)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題19.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且是展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù).(1)求的值;(2)求展開(kāi)式的中間項(xiàng);(3)當(dāng)時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:.【答案】(1);(2);(3)見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)先求出,由可得m的值.(2)求展開(kāi)式中的第五項(xiàng)即得解.(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】(1)依題意,由可得(舍去),或 (2)所以展開(kāi)式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)為:; (3)證明:由題得,時(shí),結(jié)論成立,設(shè)當(dāng)時(shí),則時(shí), 由可知,即綜合可得,當(dāng)時(shí),【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查二項(xiàng)式定理,考查求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指定項(xiàng),考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2) 證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡(jiǎn),化難為易,達(dá)到證明的目的,這種方法稱為放縮法.放縮的常見(jiàn)技巧:添加或舍去一些項(xiàng),如:;將分子或分母放大或縮小,如: ;利用基本不等式等,如:.20.已知非空有限實(shí)數(shù)集的所有非空子集依次記為,集合中所有元素的平均值記為。將所有組
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