江蘇省揚(yáng)州市邗江中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）（通用）

1、江蘇省邗江中學(xué)2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則=_【答案】5【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的公式求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故答案為：5【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的模.2.已知集合 ，則_【答案】【解析】【分析】求解出集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.觀察下列不等式：；則第個(gè)不等式為_【答案】【解析】試題分析：不等式的規(guī)律是：，則第個(gè)不等式為考點(diǎn)：歸納推理點(diǎn)評：歸納推

2、理，關(guān)鍵在于觀察事實(shí)，尋求規(guī)律，然后得到結(jié)論。對此類題目，只要用心思考，都能做得很好。4.已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)榧僭O(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法，由歸納法的性質(zhì)，我們由對成立，則它對也成立，由此類推，對于的任意整數(shù)均成立，其中熟記數(shù)學(xué)歸納法的步驟和推理結(jié)構(gòu)是解答此類問題的關(guān)鍵，本題的解答中根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思想，得出當(dāng)和時(shí)，分別寫出和的表達(dá)式，即可作差求解的表示形式，屬于基礎(chǔ)題5.已知，是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則矩陣的另一個(gè)特征值為_【答案】-3【解析】【分析】由求得，則可得矩陣的特征多項(xiàng)式為，令求得結(jié)果.【詳

3、解】由題意得：，即可得：，解得： 特征多項(xiàng)式為則 或另一個(gè)特征值為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征向量問題，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)隨機(jī)變量，且，則事件“”的概率為_（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求得，再利用二項(xiàng)分布概率公式求得結(jié)果.【詳解】由可知：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布中方差公式、概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.已知命題，命題，若命題且是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：是真命題，則為真命題，為真命題，命題為真命題，則，命題 為真命題，則，所以考點(diǎn)：1、命題的真假性；2、一元二次不等式恒成立【方法點(diǎn)睛】本題主要考察存在性問題，一元二

4、次不等式恒成立問題，存在性問題等價(jià)于或，對于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式8.已知，設(shè)，則_【答案】1023【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式性質(zhì)可得；分別代入和求得和，作差即可得到結(jié)果.【詳解】 即：代入可得：代入可得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開式系數(shù)和的應(yīng)用問題，對于與二項(xiàng)展開式系數(shù)和有關(guān)的問題，常采用特殊值的方式來求解.9.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是,直線被曲線截得的線段長為_【答案】【解析】【分析】將曲線的參數(shù)方程化為普通

5、方程；直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立后求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求得線段長.【詳解】由得的普通方程為：又的直角坐標(biāo)方程為：聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線被曲線截得的線段長為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查直線被曲線截得的弦長問題，關(guān)鍵是能夠?qū)?shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而在直角坐標(biāo)系中來求解.10.下列命題錯(cuò)誤的是_（1）命題“若，則”的逆否命題為“若中至少有一個(gè)不為0，則”；（2）若命題：，則：；（3）中，“”是“”的充要條件；（4）若向量滿足，則的夾角為鈍角?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：根據(jù)題意，由于命題“若，則” 的逆否命題為“若，中至少有一個(gè)不為，則”成

6、立。若命題：，則：，成立。中，是的充要條件成立。若向量，滿足，則與的夾角為鈍角，可能是平角，因此錯(cuò)誤，故填寫考點(diǎn)：命題的真假判定點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)四種命題的關(guān)系，以及充要條件來求解，屬于基礎(chǔ)題。11.有個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有4人就坐，則恰有個(gè)空座位相鄰的不同坐法有_種.（用數(shù)字作答）【答案】480【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將4人全排列，安排在4個(gè)座位上，排好后，有5個(gè)空檔可用，將3個(gè)空座位分成1、2的兩組，將其安排在5個(gè)空檔之中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：，將4人全排列，安排在4個(gè)座位上，有=24種情況，排好后，有5個(gè)空檔可用，將3個(gè)空座位

7、分成1、2的兩組，將其安排在5個(gè)空檔之中，有種情況，則恰有2個(gè)空座位相鄰的不同坐法有2420=480種；故答案為：480【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查排列組合綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用的方法：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.12.對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式“分裂”：，仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是413，則m_【答案】20【解析】【分析】通過歸納推理，可知為分裂后的第個(gè)數(shù)；再根據(jù)分裂數(shù)的個(gè)數(shù)和為個(gè)，找到使得的第一個(gè)正整數(shù)即可.【

8、詳解】將分裂后的數(shù)字排序?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，即為分裂后的第個(gè)數(shù)由到的分裂數(shù)中，共有個(gè)由題意可知是第一個(gè)使得的正整數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理相關(guān)應(yīng)用，關(guān)鍵是通過已知?dú)w納總結(jié)出規(guī)律，從而利用規(guī)律求得結(jié)果.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為_【答案】【解析】【分析】將等式變?yōu)?，根?jù)復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)得到，根據(jù)不等式求得最大值.【詳解】 由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得：，即解不等式可得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)的應(yīng)用，通過模的性質(zhì)構(gòu)造出不等關(guān)系，解不等式求得最值.14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)且項(xiàng)數(shù)為4的數(shù)列（n1，2，3，4）的首項(xiàng)為1，若存在，使得對于任意的 (7，8)，均有（1，2）

9、成立，則的取值范圍為_【答案】（2,3）【解析】【分析】分別代入和得到兩個(gè)不等式，可整理出滿足的關(guān)系式；兩個(gè)不等式聯(lián)立可得到與的關(guān)系，從而根據(jù)的范圍得到的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由得： 由得： 綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過所給出的遞推關(guān)系式，以作為橋梁，構(gòu)建出與之間滿足的不等關(guān)系，從而能夠使范圍得以求解.本題對于不等式知識的應(yīng)用要求較高，屬于較難題.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟15.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)，的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取

10、值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件解二次不等式和求值域求出集合求解；（2）借助題設(shè)運(yùn)用充分必要條件的結(jié)論推斷求解.試題解析：（1）由，解得，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，所以（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，從而， 解得考點(diǎn)：二次不等式及集合求交計(jì)算和子集的包含關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用.16.已知直線l：（1）矩陣A 所對應(yīng)的變換將直線l變換為自身，求a的值；（2）若一條曲線C在關(guān)于直線l的反射變換下變?yōu)榍€C：，求此反射變換所對應(yīng)的矩陣B，并求出曲線C的方程【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)矩陣變換得到

11、變換后的方程，利用與原直線相同構(gòu)造等式，求出；（2）求出反射變換在基上的作用，即與關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到矩陣；再根據(jù)矩陣變換的方法求得曲線.【詳解】（1）設(shè)為上任意一點(diǎn)，其在的作用下變?yōu)閯t，即，代入可得：，整理可得： （2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn) 同理可求得關(guān)于的對稱點(diǎn) 設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)為，其在的作用下變?yōu)?，代入得：，整理可得：【點(diǎn)睛】本題考查矩陣變換中的反射變換，關(guān)鍵是明確矩陣變換的基本運(yùn)算原理和方法，屬于常規(guī)題型.17.某小組共10人，利用寒假參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會(huì)（1）記“選出2人參加義工活動(dòng)

12、的次數(shù)之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）分別計(jì)算次數(shù)之和為的兩種情況的選法，根據(jù)古典概型計(jì)算得到結(jié)果；（2）首先確定所有可能的取值為，分別結(jié)算每個(gè)取值所對應(yīng)的概率，從而可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算可得期望.【詳解】（1）參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為，則人分別參加活動(dòng)次數(shù)為“和”或“和”次數(shù)為“和”共有：種選法；次數(shù)為“和”共有：種選法則所以事件的發(fā)生的概率為（2）隨機(jī)變量的所有可能的取值為；所以隨機(jī)變量的分布列為：數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查古典概型、分布列與數(shù)學(xué)期望的相

13、關(guān)知識，涉及到簡單的排列組合的應(yīng)用，屬于常規(guī)題型.18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若點(diǎn)分別在上，且平面，試確定點(diǎn)的位置【答案】（1）；（2）M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個(gè)法向量為，由空間向量的線面角公式求解即可；（2）設(shè) ，利用平面PCD，所以，得到的方程，求解即可確定M,N的位置【詳解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則從而設(shè)平面PCD的法向量則即不妨取則所以平面PCD的一個(gè)法向量為

14、 設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為 （2）設(shè)則設(shè)則而所以由（1）知，平面PCD的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫鍼CD，所以所以解得，所以M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn) 【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的應(yīng)用，求線面角，探索性問題求點(diǎn)位置，熟練掌握空間向量的運(yùn)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且是展開式的前三項(xiàng)的系數(shù).（1）求的值；（2）求展開式的中間項(xiàng)；（3）當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）先求出，由可得m的值.(2)求展開式中的第五項(xiàng)即得解.(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】（1）依題意，由可得（舍去），或 （2）所以展開式的中間項(xiàng)是第五項(xiàng)為：； （3）證明：由題得，時(shí)，結(jié)論成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，則時(shí)， 由可知，即綜合可得，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查求二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法.放縮的常見技巧：添加或舍去一些項(xiàng)，如：；將分子或分母放大或縮小，如： ；利用基本不等式等，如：.20.已知非空有限實(shí)數(shù)集的所有非空子集依次記為，集合中所有元素的平均值記為。將所有組