《線性代數(shù)》總復(fù)習(xí).ppt

1、線性代數(shù)總復(fù)習(xí),2011.10,第一章 矩陣,mn個(gè)數(shù)構(gòu)成的m行n列的數(shù)表,加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩陣 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (A) = O, 數(shù)乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB,(AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB).,第一章 矩陣,矩陣,轉(zhuǎn)置： A=(aij), AT=(aji),方陣的行列式

2、：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT.,設(shè)A = aijnn為方陣, 元素aij的代數(shù)余子式為Aij, 則稱如下矩陣,為方陣A的伴隨矩陣.,第一章 矩陣,矩陣,矩陣概念,矩陣運(yùn)算,伴隨矩陣,逆矩陣,特殊矩陣,矩陣的秩,初等變換,定義: 設(shè)A為方陣, 若存在方陣B, 使得 AB = BA = E. 則稱A可逆, 并稱B為A的逆矩陣. 注意：A可逆detA0,(A1)1 = A.,(AT)1 = (A1)T.,(kA)1 = k1A1.,(AB)1 = B1A1.,運(yùn)算性質(zhì),逆陣的求法:,定義法,用伴隨矩陣,用初等行變換(A

3、E) (EA-1),逆陣的證法:,A0，R(A)=n, 反證法,第一章 矩陣,矩陣,矩陣概念,矩陣運(yùn)算,伴隨矩陣,逆矩陣,特殊矩陣,矩陣的秩,初等變換,單位矩陣,對(duì)角矩陣,初等矩陣,對(duì)稱矩陣,定義：非0子式的最高階數(shù),求法：初等變換或定義法,性質(zhì)：經(jīng)初等變換矩陣的秩不變,第一章 矩陣,矩陣,矩陣概念,矩陣運(yùn)算,伴隨矩陣,逆矩陣,特殊矩陣,矩陣的秩,初等變換,其它幾個(gè)重要定理及結(jié)論：,矩陣等價(jià)：若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為B, 則稱A與B等價(jià).記為A B. （注意與相似、 合同、正交相似的區(qū)別）,A與B等價(jià)R(A)= R(B) 定理. 方陣A可逆的充要條件是A可寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積. 推論

4、1. 方陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣行等價(jià)。 推論2. mn階矩陣A與B等價(jià)的充要條件是存在m階 可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得 PAQ=B。,與等價(jià)有關(guān)的重要定理,定理. 對(duì)mn矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左 邊乘以相應(yīng)的初等矩陣; 對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以 相應(yīng)的初等矩陣.,第一章 矩陣,行列式,第一章 矩陣,= a11A11+a12A12+a1nA1n,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法 按第一行展開方式定義,第一章 矩陣,行列式,第一章 矩陣,行列式,代數(shù)余子式,第一章 矩陣,行列式,可按任意一行(列)展開,克拉默法則(求解線性方程組有唯一解的一種方法),齊次線性方程組有非

5、零解的充分條件,化三角法 遞推法 數(shù)學(xué)歸納法 降階展開法 拆項(xiàng)法 ,第一章 矩陣,行列式,其它幾個(gè)重要定理及結(jié)論：,定理 n階行列式的某一行(列)元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i j).,上(下)三角行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積,第一章 矩陣,例1,解,第一章 矩陣,第一章 矩陣,第一章 矩陣,例2 ：求四階行列式,第一章 矩陣,解:,第一章 矩陣,第二章 n維向量,第二章 n維向量,n維向量,運(yùn)算,線性表示,線性相關(guān)性,k11

6、+k22+knn= 0,ki均為0，則1, 2, , n線性無關(guān),只要有一個(gè)ki不為0，1, 2, , n 線性相關(guān),極大線性無關(guān)組：向量組A中，能找到r個(gè)向量線性無關(guān)，任意r+1個(gè)線性相關(guān)，則這r個(gè)向量構(gòu)成的向量組是A的一個(gè)最大線性無關(guān)組。,求法：非零子式法、初等變換法,向量組與矩陣的關(guān)系,注：行向量的問題與列向量相同,第二章 n維向量,定義：,向量?jī)?nèi)積,對(duì)稱性: , = , ;,(2) 線性性: k11+k22,= k11, +k22,;,(3) , 0; 且, = 0 = 0 .,性質(zhì)：,正交：,施密特(Schmidt)正交化方法,若, = 0, 則稱與正交.,第二章 n維向量,正交矩陣

7、,A為正交矩陣,ATA=E,第二章 n維向量,第二章 n維向量,第二章 n維向量,線性方程組 Ax=b,是,否,行階梯形矩陣,第三章 線性方程組,第三章 線性方程組,向量組的線性相關(guān)性與非齊次方程組解的關(guān)系,有解,無解,有無窮多組解,方程組有解,方程組無解,第三章 線性方程組,向量組的線性相關(guān)性與齊次方程組解的關(guān)系,有非零解,只有零解,R(A)n,注意：齊次線性方程組不會(huì)出現(xiàn)矛盾方程。,只有零解,有無窮多組非零解,否,是,第三章 線性方程組,例5. 求,的基礎(chǔ)解系與通解.,解:,該方程組的基礎(chǔ)解系可取為,通解為,第三章 線性方程組,解:,可見原方程組有解, 且,例6. 求方程組,的通解.,第三

8、章 線性方程組,由此可得原方程組的通解,可見原方程組有解, 且,第三章 線性方程組,(EA) = 0基礎(chǔ)解系法,第四章 方陣的特征值和特征向量,第四章 方陣的特征值和特征向量,特征值與特征向量,A=，0,定義法,定義法,概念,求法,性質(zhì),相似矩陣,實(shí)對(duì)稱陣,特征值與特征向量,矩陣相似，則其特征值相同。,不同特征值的特征向量線性無關(guān)。,k重特征值至多有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。,A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,P-1AP=B,R(iE-A)=n-r，i是r重特征值,An=P-1nP,第四章 方陣的特征值和特征向量,概念,求法,性質(zhì),相似矩陣,實(shí)對(duì)稱陣的特性,特征值與特征向量,必可相似對(duì)角化,不同特征值

9、的特征向量互相正交,特征值全是實(shí)數(shù),k重特征值必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量,與對(duì)角陣合同,第四章 方陣的特征值和特征向量,矩陣等價(jià)、相似、合同、正交相似的聯(lián)系與區(qū)別,A,BMn,A與B相似,存在可逆矩陣P，使P-1AP=B,A與B合同,存在可逆矩陣C，使CTAC=B,A與B正交相似,存在正交陣Q，使QTAQ=Q-1AQ=B,A,BMmn,A與B等價(jià),存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使PAQ=B,共同的性質(zhì)：自反性、對(duì)稱性、傳遞性,第四章 方陣的特征值和特征向量,等價(jià)、相似、合同、正交相似的關(guān)系,等價(jià)、相似、合同、正交相似的不變量,等價(jià): 秩，即R(A)=R(B),相似: 秩，即R(A)=R(

10、B) 特征多項(xiàng)式，特征值 |EA|=|EB|,合同: 秩，即R(A)=R(B) 對(duì)稱性，即若A對(duì)稱，則B也對(duì)稱 對(duì)稱陣A、B對(duì)應(yīng)的二次型的正(負(fù))慣性指數(shù) 對(duì)稱陣A、B對(duì)應(yīng)的二次型的規(guī)范型,正交相似: 相似+合同,第四章 方陣的特征值和特征向量,實(shí)對(duì)稱陣對(duì)角化的步驟,求A全部特征值根據(jù)（所有特征值的重根次數(shù)之和等于n） 對(duì)每個(gè)ki重特征值i求方程(A- iE)x=0的基礎(chǔ)解系 得出對(duì)應(yīng)于特征值i的ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量 將對(duì)應(yīng)于特征值i的ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量正交、單位化（總共可以得到n個(gè)兩兩正交的單位特征向量） 將n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P，即可滿足P-1AP=(注意順序)。

11、,求方陣特征值和特征向量的步驟,計(jì)算|EA|,求|EA| = 0的根,求(EA)x = 0的基礎(chǔ)解系,第四章 方陣的特征值和特征向量,例7,解,第四章 方陣的特征值和特征向量,得基礎(chǔ)解系,第四章 方陣的特征值和特征向量,例8,解,若能對(duì)角化，求出可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角陣。,A能否對(duì)角化？,第四章 方陣的特征值和特征向量,解之得基礎(chǔ)解系,第四章 方陣的特征值和特征向量,所以 可對(duì)角化.,第四章 方陣的特征值和特征向量,第五章 二次型,二次型,第五章 二次型,定義：含有n個(gè)變量x1, x2, , xn的二次齊次函數(shù),矩陣表示：f = xTAxA對(duì)稱，稱A為f的矩陣，稱f 為A的二次型，且f與A一一對(duì)應(yīng)。,標(biāo)準(zhǔn)形：只含平方項(xiàng),規(guī)范型：ki在-1,0,1,中取值,二次型的秩：R(f) = R(A),慣性定理,基本概念,標(biāo)準(zhǔn)型化,正定二次型,二次型,配方法,正交變化法,寫出二次型矩陣A,將A相似對(duì)角化，同時(shí)得正交變換矩陣Q,令x=Qy，即得標(biāo)準(zhǔn)型,x 0 f(x