第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì)

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)教程 第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),2020年8月1日/下午5時(shí)38分,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布 6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 6.1.1 總體、個(gè)體和樣本 6.3.1 總體均值的區(qū)間估計(jì) 6.1.2 大數(shù)定律和中心極限定理 6.3.2 總體比例的區(qū)間估 6.1.3 三種分布 6.3.3 總體方差的區(qū)間估計(jì) 6.1.4 樣本均值的抽樣分布 6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 6.1.5 樣本比例的抽樣分布 6.4.1 兩個(gè)總體均值之差的 6.1.6 樣本方差的抽樣分布 區(qū)間估計(jì) 6.1.7 兩個(gè)總體樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 6.4.2 兩個(gè)總體比例之差的 6.2 參數(shù)估計(jì)的一

2、般問(wèn)題 區(qū)間估計(jì) 6.2.1 估計(jì)量和估計(jì)值 6.4.3 兩個(gè)總體方差比值的 6.2.2 點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì) 6.2.3 點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 6.2.4 區(qū)間估計(jì),第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.1 總體、個(gè)體和樣本 總體（Population）是指所研究的事物及其現(xiàn)象的全體，由該事物及其現(xiàn)象的全部個(gè)體組成。 個(gè)體（Item Unit）是指構(gòu)成總體的元素。 總體容量（Population Size）是指構(gòu)成總體的全部個(gè)體的數(shù)量。 樣本（Sample）是指從總體抽取的若干個(gè)

3、體構(gòu)成的集合。 抽樣（Sampling）是指按照具體的抽樣方法和抽樣設(shè)計(jì)，從總體中抽取若干個(gè)體的過(guò)程。 樣本容量（Sample size）是指構(gòu)成樣本的全部個(gè)體的數(shù)量。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.1 總體、個(gè)體和樣本 總體（Population）是指所研究的事物及其現(xiàn)象的全體，由該事物及其現(xiàn)象的全部個(gè)體組成。 個(gè)體（Item Unit）是指構(gòu)成總體的元素。 總體容量（Population Size）是指構(gòu)成總體的全部個(gè)體的數(shù)量。 樣本（Sample）是指從總體抽取的若干個(gè)體構(gòu)成的集合。 抽樣（Sampling）是指按照具

4、體的抽樣方法和抽樣設(shè)計(jì)，從總體中抽取若干個(gè)體的過(guò)程。 樣本容量（Sample size）是指構(gòu)成樣本的全部個(gè)體的數(shù)量。 討論題 請(qǐng)用經(jīng)濟(jì)管理中的實(shí)例，解釋上述的總體、個(gè)體和樣本等概念。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.2 大數(shù)定律和中心極限定理 1大數(shù)定律 在對(duì)客觀事物及其現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)中，隨著觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)的次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率和均值逐漸地趨于某個(gè)常數(shù)。 （1）貝努利定理（Bernoulli Theorem） （6.1） 貝努利定理表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率。從而以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表述了頻率的穩(wěn)定性特征，

5、即n當(dāng)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率之間出現(xiàn)較大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的場(chǎng)合，可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)替代事件的概率。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,（2）車比雪夫定理（Chebyshev Theorem） 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且具有相同的有限的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于任意正整數(shù)有 （6.2） 稱序列 依概率收斂于總體均值。即當(dāng)n充分大時(shí)，車比雪夫不等式幾乎都是成立的；當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，n個(gè)隨機(jī)變量的均值趨于總體均值。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,2中心極限定理

6、在客觀現(xiàn)實(shí)中，有許多隨機(jī)變量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響而形成的，任何一個(gè)因素在總的影響中的作用都是微小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。 中心極限定理（Central Limit Theorem）反映了隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布的特征。中心極限定理是大樣本推斷的理論基礎(chǔ)。 獨(dú)立同分布的中心極限定理是應(yīng)用最多的一種中心極限定理。設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則 （6.3）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,2中心極限定理 在客觀現(xiàn)實(shí)中，有許多隨機(jī)變量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合

7、影響而形成的，任何一個(gè)因素在總的影響中的作用都是微小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。 中心極限定理（Central Limit Theorem）反映了隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布的特征。中心極限定理是大樣本推斷的理論基礎(chǔ)。 獨(dú)立同分布的中心極限定理是應(yīng)用最多的一種中心極限定理。設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則 （6.3） 討論題 大數(shù)定律和中心極限定理對(duì)于參數(shù)估計(jì)的意義。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.3 三種分布 1總體分布 總體分布（Population Distributio

8、n）是指由客觀存在的，構(gòu)成總體的個(gè)體所形成的頻數(shù)分布，及其相關(guān)參數(shù)數(shù)值。例如，當(dāng)研究某一企業(yè)職工收入情況時(shí)，該企業(yè)全體職工的收入狀況的頻數(shù)分布，以及反映該企業(yè)全體職工收入狀況的均值、方差、偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)，從不同角度綜合描述了這一總體的分布特征。 我們往往是通過(guò)對(duì)構(gòu)成總體的部分個(gè)體進(jìn)行觀察，即通過(guò)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，例如樣本均值、樣本方差、樣本偏態(tài)系數(shù)和樣本峰度系數(shù)，以及樣本的頻數(shù)分布來(lái)推斷總體參數(shù)，用樣本分布來(lái)估計(jì)總體分布。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,2樣本分布 樣本分布（Sample Distribution）是指由構(gòu)成

9、樣本的個(gè)體所形成樣本的頻數(shù)分布，以及計(jì)算出來(lái)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量。 樣本中的個(gè)體都是來(lái)自于總體，具有總體的相關(guān)信息和基本特征，樣本分布是總體分布的一個(gè)映象，一個(gè)縮影。當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，樣本分布趨近于總體分布。 樣本分布是指某一個(gè)具體的樣本中的個(gè)體數(shù)量特征。由于樣本是隨機(jī)抽取的，每一次抽取的樣本中的個(gè)體不盡相同，每一個(gè)具體的樣本分布也會(huì)與對(duì)應(yīng)的總體分布存在或大或小的偏誤，根據(jù)樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。 （隨機(jī)抽取的）樣本的分布與客觀的總體分布之間的誤差，需要借助抽樣分布概念。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,3抽樣分布 抽樣分布（Sampl

10、ing Distribution）是指從同分布總體中，獨(dú)立抽取的相同樣本容量的樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。所以，抽樣分布是樣本分布的概率分布，抽樣分布是抽樣理論的研究對(duì)象。 抽樣分布反映了依據(jù)樣本計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的概率分布，這是科學(xué)地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。例如，在大樣本場(chǎng)合，由中心極限定理有樣本均值趨于正態(tài)分布。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,3抽樣分布 抽樣分布（Sampling Distribution）是指從同分布總體中，獨(dú)立抽取的相同樣本容量的樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。所以，抽樣分布是樣本分布的概率分布，抽樣分布是抽樣理論的研究對(duì)象

11、。 抽樣分布反映了依據(jù)樣本計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的概率分布，這是科學(xué)地進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。例如，在大樣本場(chǎng)合，由中心極限定理有樣本均值趨于正態(tài)分布。 討論題 為什么說(shuō)抽樣分布是抽樣理論研究的對(duì)象，解釋三種分布之間的聯(lián)系。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.4 樣本均值的抽樣分布 1大樣本場(chǎng)合下的樣本均值抽樣分布 在反復(fù)抽取容量相同的獨(dú)立同分布樣本條件下，所得到的樣本均值的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。在樣本容量充分大的情況下，即大樣本場(chǎng)合，樣本均值依據(jù)中心極限定理趨于正態(tài)分布。 所謂獨(dú)立同分布樣本為從無(wú)限總體中隨機(jī)抽取的等概樣本

12、，或從有限總體中以放回方式，隨機(jī)抽取的等概樣本。 所謂大樣本是指能夠滿足中心極限定理要求，使樣本均值趨于正態(tài)分布的樣本容量。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中一般稱樣本容量大于30即為大樣本這只是一個(gè)粗略的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值。 有離散變量樣本均值的計(jì)算公式 （6.4）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,在樣本容量充分大的場(chǎng)合下，樣本均值漸進(jìn)地趨于數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為總體方差的n分之一的正態(tài)分布，即 樣本均值的數(shù)學(xué)期望為總體均值，表明從平均的觀點(diǎn)來(lái)看，用樣本均值估計(jì)總體均值不存在偏差，即具有無(wú)偏性；樣本均值的方差為總體方差的n分之一，表明只要總體方差是有限的，那么

13、隨著樣本容量的增大，樣本均值的方差相應(yīng)減小，用樣本均值估計(jì)總體均值的誤差也相應(yīng)減小。同時(shí)可以由總體方差和樣本容量，精確地計(jì)算出這一樣本均值的方差，并且用這一樣本方差度量使用樣本均值估計(jì)總體均值的誤差。 通過(guò)對(duì)樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)化處理，在用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)，可以使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算抽樣誤差出現(xiàn)的概率。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,例6.1 在一次研究某一企業(yè)職工收入情況的調(diào)查中，準(zhǔn)備從該企業(yè)隨機(jī)抽取100個(gè)職工個(gè)人的收入狀況數(shù)據(jù)構(gòu)成樣本，以此推斷該企業(yè)職工平均月收入。 要求 若該企業(yè)職工平均月收入的總體均值為2000元，總體標(biāo)準(zhǔn)

14、差為為250元，試計(jì)算樣本均值不小于1950元的概率。 解 根據(jù)中心極限定理，在樣本容量充分大時(shí)，樣本均值漸進(jìn)地趨于數(shù)學(xué)期望為總體均值，方差為總體方差的n分之一的正態(tài)分布，有本例的樣本均值漸進(jìn)地趨于數(shù)學(xué)期望為2000元，標(biāo)準(zhǔn)差為25的正態(tài)分布，即。代入正態(tài)分布概率計(jì)算公式，得 即樣本均值不小于1950元的概率為97.7%。（查表，教材324頁(yè)）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,2小樣本場(chǎng)合下的樣本均值抽樣分布 在小樣本場(chǎng)合，不滿足中心極限定理對(duì)于樣本容量充分大的要求，樣本均值不趨于正態(tài)分布，而是趨于t分布。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈斯特（W. S.

15、 Gosset 1876-1936）在1908年以 Student 的筆名發(fā)表的一篇論文中，首次提出了t分布，從而這一小樣本分布理論被稱為Student分布，簡(jiǎn)稱為t分布。 設(shè)為來(lái)自正態(tài)分布總體的樣本，有 （6.5） 為T統(tǒng)計(jì)量，T統(tǒng)計(jì)量服從于自由度為n-1的t分布。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,式（6.5）中的s2表示樣本方差，有 （6.6） 式（6.6）存在著一個(gè)線性約束,T統(tǒng)計(jì)量服從自由度n-1為的t分布。 t分布的形狀也是一左右對(duì)稱的鐘形圖形，比正態(tài)分布扁平，并且受到自由度數(shù)值大小的約束，自由度的數(shù)值越小，t分布越趨于扁平

16、；自由度的數(shù)值越大，t分布扁平的程度越小，并且隨著自由度的數(shù)值增大，t分布的形態(tài)逐漸趨于正態(tài)分布。 t分布的應(yīng)用條件是總體服從正態(tài)分布。在總體方差未知時(shí)，t分布是一種精確的估計(jì)方法，正態(tài)分布只是其近似的概率分布。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,例6.2 假定某一企業(yè)職工收入情況服從正態(tài)分布中，從該企業(yè)隨機(jī)抽取了16個(gè)職工個(gè)人的收入狀況數(shù)據(jù)構(gòu)成樣本，擬以此推斷該企業(yè)職工平均月收入。 要求 若該企業(yè)職工平均月收入的總體均值為2000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為為250元，試計(jì)算樣本均值不小于1950元的近似概率。 解 由于樣本容量小于30，為小樣本

17、，此時(shí)的樣本均值服從于t分布。并且，已知樣本容量為16，因此本例的樣本均值服從于自由度為15的t分布。有 即在樣本容量?jī)H為16的小樣本條件下，該次調(diào)查的樣本均值不小于1950元的概率為78.19%。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.6 樣本方差的抽樣分布 在反復(fù)抽取容量相同的獨(dú)立同分布樣本條件下，所得到的樣本方差的概率分布稱為樣本方差的抽樣分布。 在服從正態(tài)分布的同分布總體中，樣本方差與總體方差的比值服從于自由度n-1為的卡方分布。即 （6.9） 卡方分布僅在第一象限取值，所以分布的取值永遠(yuǎn)為正數(shù)。卡方分布一般為右偏態(tài)的偏峰分

18、布，偏倚形態(tài)取決于其自由度的數(shù)值，自由度的數(shù)值越小，偏倚的程度越大，并且隨著自由度的數(shù)值增大，分布的形態(tài)逐漸趨于對(duì)稱，正態(tài)分布是卡方分布的極限分布。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,6.1.7 兩個(gè)總體樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布 1兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布 在兩個(gè)總體中，各自獨(dú)立地反復(fù)抽取樣本容量分別為和的獨(dú)立同分布樣本條件下，所得到的兩個(gè)樣本均值和之差的概率分布稱為兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布。在大樣本場(chǎng)合，兩個(gè)樣本均值之差依據(jù)中心極限定理趨于正態(tài)分布。 由于兩個(gè)樣本均值之差的數(shù)學(xué)期望為兩個(gè)總體均值之差，即 （6.10）,2020年8月1

19、日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,兩個(gè)樣本均值之差的方差為這兩個(gè)樣本均值方差之和，有 （6.11） 因此，這樣的兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布為 （6.12）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.1 抽樣分布,3兩個(gè)樣本方差比值的抽樣分布 在兩個(gè)正態(tài)總體中，各自獨(dú)立地反復(fù)抽取樣本容量分別為和的獨(dú)立同分布樣本條件下，所得到的兩個(gè)樣本方差和比值的概率分布稱為兩個(gè)樣本方差比值的抽樣分布。兩個(gè)樣本方差比值的抽樣分布服從于F分布。 F分布在形式上為兩個(gè)獨(dú)立的卡方分布除以各自自由度的比值。由式（6.9）可以給出兩個(gè)樣本方差和的

20、卡方分布，再計(jì)算出這兩者的比值，即得到F統(tǒng)計(jì)量。 （6.17）,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,6.2.1 估計(jì)量和估計(jì)值 1估計(jì)量 估計(jì)量（Estimator）是指用于估計(jì)相關(guān)的總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。樣本均值、樣本比例和樣本方差都是估計(jì)量。 2估計(jì)值 估計(jì)值（Estimate）是指估計(jì)量的具體數(shù)值。例如，通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)，按照相關(guān)估計(jì)量的計(jì)算公式，所得出的樣本均值、樣本比例和樣本方差的具體數(shù)值就是估計(jì)值。 參數(shù)估計(jì)（Parameter Estimation）就是

21、在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算估計(jì)量的具體數(shù)值估計(jì)值，去推斷相關(guān)的總體參數(shù)的方法和過(guò)程。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,6.2.2 點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)（Point Estimate）是指用估計(jì)量的數(shù)值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值的方法和過(guò)程。 在總體分布形式為已知，從該總體中抽取一個(gè)樣本，對(duì)未知參數(shù)所作的一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。 點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法和最小二乘法等。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,矩估計(jì)法 矩估計(jì)法（Metho

22、ds of Moment Estimation）是指用樣本的矩，估計(jì)總體的矩的參數(shù)估計(jì)方法。矩是在數(shù)學(xué)期望基礎(chǔ)上定義的數(shù)字特征，可以分為k階原點(diǎn)矩和k階中心矩兩類。 （1）k階原點(diǎn)矩（Moment of Order K About the Origin）是指隨機(jī)變量的k次方的數(shù)學(xué)期望，其中k為任意正整數(shù)，寫為 （6.18） 一階原點(diǎn)矩就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （2）k階中心矩（Centred Moment of Order k）是指隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差的k次方的數(shù)學(xué)期望，其中k為任意正整數(shù)，寫為 （6.19） 二階中心矩就是隨機(jī)變量的方差.,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第

23、6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,6.2.3 點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則 在參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)中，可以從一致性、無(wú)偏性和有效性三個(gè)方面對(duì)點(diǎn)估計(jì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。 1一致性 一致性（Consistency）是指當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于總體參數(shù)。即 （6.25） 則稱為的滿足一致性準(zhǔn)則的估計(jì)量，一般稱之為一致估計(jì)量。 一致估計(jì)量隨著樣本容量的增大，其數(shù)值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,2無(wú)偏性 無(wú)偏性（Unbiasedness）是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于未知的總體參數(shù)真值。即 （6.

24、26） 則稱為的滿足無(wú)偏性準(zhǔn)則的估計(jì)量，一般稱之為無(wú)偏估計(jì)量。 樣本均值是總體均值的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。 （6.27）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,2無(wú)偏性 無(wú)偏性（Unbiasedness）是指估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于未知的總體參數(shù)真值。即 （6.26） 則稱為的滿足無(wú)偏性準(zhǔn)則的估計(jì)量，一般稱之為無(wú)偏估計(jì)量。 樣本均值是總體均值的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。 （6.27） 討論題 總體方差的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量是否均為無(wú)偏估計(jì)量。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,3

25、有效性 有效性（Effectiveness）是指采用均方誤差對(duì)估計(jì)量精確程度的測(cè)定，通常表現(xiàn)為兩個(gè)估計(jì)量的均方誤差之比。 均方誤差就是一個(gè)測(cè)定估計(jì)量本身的離散程度，以及估計(jì)量數(shù)學(xué)期望與總體相關(guān)參數(shù)的真值的偏倚程度的測(cè)度。 均方誤差（Mean Square Error）是估計(jì)量與總體參數(shù)真值的離差的平方的數(shù)學(xué)期望，有 （6.28） 若將估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望與總體參數(shù)真值的離差記為，稱為估計(jì)量的偏差，作為反映估計(jì)量與總體參數(shù)真值偏倚程度的測(cè)度。則可將式（6.23）寫為 （6.29）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,均方誤差是由估計(jì)量

26、的方差和偏差兩部分組成。其中估計(jì)量的方差反映的是估計(jì)量本身的離散程度；估計(jì)量的偏差反映的是估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望與總體參數(shù)真值的偏倚程度。 當(dāng)兩個(gè)估計(jì)量均為無(wú)偏估計(jì)量時(shí)，均方誤差的式（6.29）中的第二項(xiàng)為0，只剩下第一項(xiàng)估計(jì)量的方差。這時(shí)只要比較估計(jì)量的方差就可以對(duì)其有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)。 從計(jì)算均方誤差的式（6.29）可知，對(duì)于一個(gè)估計(jì)量的評(píng)價(jià)，需要綜合分析它對(duì)于相關(guān)總體參數(shù)的估計(jì)誤差，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為一個(gè)無(wú)偏的估計(jì)量就一定優(yōu)于一個(gè)有偏的估計(jì)量，還要具體度量有偏估計(jì)量的偏倚程度，以及兩個(gè)估計(jì)量的有效性。所以，有效性是評(píng)價(jià)估計(jì)量的一個(gè)綜合性的重要的準(zhǔn)則。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6

27、章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,6.2.4 區(qū)間估計(jì) 區(qū)間估計(jì)（Interval Estimate）是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出在一定的置信程度下確定總體參數(shù)取值區(qū)間的方法和過(guò)程。 在點(diǎn)估計(jì)中，總體參數(shù)估計(jì)量的具體取值為一數(shù)值點(diǎn)，而樣本是從總體中隨機(jī)地抽取出來(lái)的，其估計(jì)值是依抽樣分布的隨機(jī)變量，單一的數(shù)值點(diǎn)不能全面反映抽樣分布的狀態(tài)，及其樣本估計(jì)量的隨機(jī)分布特征，不能度量樣本估計(jì)的精確程度，所以提出了區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。 建立在點(diǎn)估計(jì)基礎(chǔ)上的區(qū)間估計(jì)，在給出了相關(guān)總體參數(shù)真值的估計(jì)量的同時(shí)，還給出了一個(gè)通常以取值區(qū)間形式表述的數(shù)值范圍，以及在這個(gè)數(shù)值區(qū)間內(nèi)包含總體參數(shù)的可靠程度。這種

28、形式的參數(shù)估計(jì)就稱為區(qū)間估計(jì)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.2 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題,在區(qū)間估計(jì)中，置信區(qū)間反映的是區(qū)間估計(jì)的精確程度，置信水平反映的是區(qū)間估計(jì)的可靠程度，對(duì)于某一樣本容量已定的具體樣本而言，這兩方面是互為消長(zhǎng)的。 當(dāng)通過(guò)縮小置信區(qū)間來(lái)提高對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)精確程度時(shí)，就需要降低置信水平，降低對(duì)總體參數(shù)估計(jì)的可靠程度；若是要提高區(qū)間估計(jì)的可靠程度，勢(shì)必會(huì)增大置信區(qū)間，降低對(duì)總體參數(shù)估計(jì)的精確程度。所以，需要根據(jù)具體情況和實(shí)際需要適當(dāng)

29、地選擇置信水平的數(shù)值，進(jìn)而確定置信區(qū)間。 若既要提高區(qū)間估計(jì)的精確程度，又要提高區(qū)間估計(jì)的可靠程度，就需要采取增加樣本容量，以及通過(guò)更有效的抽樣和估計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),統(tǒng)計(jì)學(xué)教程,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),6.3.1 總體均值的區(qū)間估計(jì) 1在方差已知時(shí)，總體均值的區(qū)間估計(jì) 在方差為已知時(shí)，樣本均值服從于正態(tài)分布，因而構(gòu)建Z統(tǒng)計(jì)量。有 （6.31） 根據(jù)區(qū)間估計(jì)的定義，構(gòu)造總體均值的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間，對(duì)于給定的顯著性水平，從式（6.30）和式（6.31）出發(fā)

30、，有 （6.32）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),則有總體均值的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 在對(duì)總體均值進(jìn)行單側(cè)區(qū)間估計(jì)時(shí)，有 （6.33） 則總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 或者,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),在式（6.32）和式（6.33）中出現(xiàn)的總體標(biāo)準(zhǔn)差與樣本容量平方根的商，稱為樣本均值標(biāo)準(zhǔn)差，反映了樣本均值分布的離散程度。有樣本均值方差為 （6.34） 樣本均值方差含有總體方差和樣本容量?jī)蓚€(gè)因素，它是在總體服從正態(tài)分布時(shí)，度量使用樣本均

31、值估計(jì)總體均值時(shí)精確程度的測(cè)度。 由于樣本均值標(biāo)準(zhǔn)差具有與變量一致的量綱，一般采用它作為度量估計(jì)量精確程度的測(cè)度。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.5 在某一企業(yè)職工收入情況的調(diào)查中，從該企業(yè)隨機(jī)抽取100個(gè)職工個(gè)人的收入狀況數(shù)據(jù)構(gòu)成樣本，并且已知該企業(yè)職工平均月收入的總體標(biāo)準(zhǔn)差為250元，樣本均值為1985元。 要求 試計(jì)算給定置信水平為95%的該企業(yè)職工平均月收入的總體均值的置信區(qū)間。 解 由本例給出的條件可知，這是一個(gè)雙側(cè)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)雙側(cè)區(qū)間估計(jì)的式（6.32），可計(jì)算得總體均值的置信區(qū)間為 即根據(jù)這

32、次抽樣調(diào)查的樣本信息，可以認(rèn)為該企業(yè)職工平均月收入的真實(shí)數(shù)值將依95%的概率落在1936元到2034元之間。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.6 某地對(duì)在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資情況進(jìn)行了一次調(diào)查，搜集了36名同學(xué)的月工資數(shù)據(jù)，具體如表6.2所示。并已知在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資的總體標(biāo)準(zhǔn)差為400元。 表6.2 36名畢業(yè)一年本科生的月工資情況 元 由式（6.33），可計(jì)算得總體均值的置信區(qū)間為 可以認(rèn)為總體均值，即在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月平均工資的真實(shí)數(shù)值依95%的概率落在22

33、69.343元到2530.66元之間。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.7 某進(jìn)出口公司需要出口一批小型電機(jī)，其中有一個(gè)技術(shù)指標(biāo)為電機(jī)工作時(shí)定子線圈的最高溫度，已知供貨廠家該廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的總體標(biāo)準(zhǔn)差為8，隨機(jī)抽出49臺(tái)電機(jī)進(jìn)行實(shí)測(cè)，得到該廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的樣本均值為110。 要求 試計(jì)算給定置信水平為99%的該廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的總體均值的置信區(qū)間。 解 采用式（6.33）計(jì)算在單側(cè)區(qū)間估計(jì)下的置信水平為99%的總體均值的置信區(qū)間的上限。 根據(jù)樣本均值為110，可計(jì)算出該工廠單

34、側(cè)區(qū)間估計(jì)下的置信水平為99%的總體均值的置信區(qū)間的上限為 可以認(rèn)為總體均值，即該工廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈的平均最高溫度依99%的概率落在小于112.66的區(qū)間以內(nèi)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),2在總體方差未知時(shí)，總體均值的區(qū)間估計(jì) 在總體服從正態(tài)分布，但是總體方差未知時(shí)，新的統(tǒng)計(jì)量是服從自由度為n-1的t分布的T統(tǒng)計(jì)量。有 （6.35） 由式（6.35）出發(fā)，則有在總體方差未知場(chǎng)合下，總體均值的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 以及在總體方差未知場(chǎng)合下，總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 或,2020年8月1日/下午5時(shí)38分

35、,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.8 在一次對(duì)某品牌電視機(jī)的開(kāi)關(guān)次數(shù)進(jìn)行的破壞性測(cè)試中，隨機(jī)抽取了9臺(tái)電視機(jī)進(jìn)行測(cè)試，具體數(shù)據(jù)為19050, 18090, 23098, 18908, 16896, 20679, 21567, 17890, 20456，試估計(jì)該品牌電視機(jī)開(kāi)關(guān)次數(shù)的總體均值，及其在置信水平為95%下最低開(kāi)關(guān)次數(shù)的單側(cè)置信區(qū)間。 可以得到總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 從而認(rèn)為根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體均值，即該品牌電視機(jī)的平均開(kāi)關(guān)次數(shù)的真實(shí)數(shù)值將依95%的概率不低于18400次。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分

36、布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.9 利用例6.6中36名同學(xué)的月工資數(shù)據(jù)， 要求 在總體方差未知情況下，估計(jì)該地就業(yè)的本科生畢業(yè)一年后的月平均工資在置信水平為95%下的置信區(qū)間。 由式（6.35）可以得到總體均值的雙側(cè)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間為 可以認(rèn)為總體均值，即該地區(qū)畢業(yè)一年后的本科畢業(yè)生的月平均工資的真實(shí)數(shù)值將依95%的概率落在2262.32元到2537.68元之間。 在總體方差未知的場(chǎng)合，當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，可以采用式（6.31）建立統(tǒng)計(jì)量，對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。 假定樣本均值已經(jīng)服從正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量，采用式（6.31）計(jì)算的總體均值的置信區(qū)間，要小于在樣本

37、均值服從t分布的基礎(chǔ)上, 采用式（6.35）計(jì)算的總體均值的置信區(qū)間。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),6.3.3 總體方差的區(qū)間估計(jì) 在總體服從正態(tài)分布時(shí)，樣本方差服從自由度為n-1的卡方分布，從而可以利用卡方分布來(lái)構(gòu)造總體方差的置信區(qū)間，確定一個(gè)卡方值，使之對(duì)于給定的顯著性水平，滿足 （6.40） 則有 （6.41）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.11 仍然利用例6.6中36名同學(xué)的月工資數(shù)據(jù)。 要求 估計(jì)該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的

38、月均工資標(biāo)準(zhǔn)差，在置信水平為95%下的置信區(qū)間。 由式（6.41）可以得到總體方差的置信區(qū)間為 可以認(rèn)為該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資標(biāo)準(zhǔn)差將依95%的概率落在330.04元到530.79元之間。,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),統(tǒng)計(jì)學(xué)教程,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),6.4.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) 1兩個(gè)總體方差已知情況下的估計(jì) 在兩個(gè)總體方差已知時(shí)，由兩個(gè)這兩個(gè)總體獨(dú)立抽取的樣本均值之差服從于正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差為 （6.42） 樣本均值之差經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

39、 則有，兩個(gè)總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.44）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.12 某進(jìn)出口公司需要出口一批小型電機(jī)，在A、B兩個(gè)備選的小型電機(jī)供貨廠家進(jìn)行了一次調(diào)查，在每家工廠隨機(jī)抽出49臺(tái)電機(jī)進(jìn)行實(shí)測(cè)，并且A、B兩廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的總體標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)為已知，其中A工廠為8，B工廠為6。 要求 試計(jì)算給定置信水平為99%的總體均值之差的置信區(qū)間。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本均值分別為A工廠110，B工廠114。 由式（6.44）可得 即總體均值之差的置信區(qū)間為（-6.8,-1.2）,即A、B

40、兩廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度均值之差依95%的概率落在-6.8到-1.2以內(nèi)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),2兩個(gè)相等總體方差未知情況下的估計(jì) 在兩個(gè)總體方差未知，但服從正態(tài)分布，并且方差相等，則利用兩個(gè)隨機(jī)樣本的信息來(lái)聯(lián)合計(jì)算這個(gè)相等而又未知的總體方差的估計(jì)量，為 （6.45） 其總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.48）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.13 某市采取隨機(jī)抽樣方法，在全市抽取100戶城鎮(zhèn)家庭進(jìn)行生活費(fèi)支出調(diào)查

41、，今年每戶家庭生活費(fèi)支出的樣本均值為38900元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為580元；上年每戶家庭生活費(fèi)支出的樣本均值為35800元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為570元。假定該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出服從正態(tài)分布，并且方差相等。 根據(jù)式（6.48），有 即總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為（2939.64,3260.37）。該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出均值之差，依95%的概率落在2939.64元到3260.37元的區(qū)間內(nèi)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),3兩個(gè)總體方差不相等且未知情況下的估計(jì) 若有兩個(gè)均服從正態(tài)分布的總體，總體的方差未知，并且

42、不相等，按照式（6.47）構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量近似地服從于自由度為f的t分布。有 （6.49） 則有，兩個(gè)服從正態(tài)分布的總體，總體方差未知且不相等，其總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.50）,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.14 借用例6.13中的基本數(shù)據(jù)，只是假定該兩市城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出服從正態(tài)分布，方差不相等。 要求 試計(jì)算該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出均值之差，在95%置信水平下的置信區(qū)間。 根據(jù)式（6.49），計(jì)算出樣本均值之差近似地服從的t分布的自由度。即 兩個(gè)樣本方差數(shù)值水平非常接近，所以計(jì)算出來(lái)的自由

43、度與兩個(gè)相等總體方差未知情況下的自由度基本一致，同為198。該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出均值之差，在95%置信水平下的置信區(qū)間與例6.13在兩個(gè)相等總體方差未知情況下計(jì)算的結(jié)果一致。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),例6.15 仍借用例6.13中的基本數(shù)據(jù)，但將該市上年每戶家庭生活費(fèi)支出的樣本標(biāo)準(zhǔn)差改為410元，并且該市城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出服從正態(tài)分布，方差不相等。 要求 試求該市城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出均值之差的95%在置信水平下的置信區(qū)間。 仍根據(jù)式（6.49），計(jì)算出樣本均值之差近似地服從的t分布的自由度。即 運(yùn)用式（6.50），可得該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費(fèi)支出水平的均值之差，依95%的概率落在2959.83元到3240.17元的區(qū)間內(nèi)。,2020年8月1日/下午5時(shí)38分,統(tǒng)計(jì)學(xué)教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計(jì),6.4 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì),在兩個(gè)不相等的總體