2007年考研數(shù)學(四)試題

1、2007200720072007 年數(shù)學四試題年數(shù)學四試題 一、選擇題一、選擇題 (1)(1)(1)(1) 當當0 x + 時，與時，與x等價的無窮小量是等價的無窮小量是( ( ( () ) ) ) A. . . .1 x e.ln(1)Bx+. 11Cx+.1 cosDx (2)(2)(2)(2) 設函數(shù)設函數(shù)( )f x在在0 x=連續(xù)，則下列命題錯誤的是連續(xù)，則下列命題錯誤的是( ( ( () ) ) ) .A若若 0 ( ) lim x f x x 存在，則存在，則(0)0f=.B若若 0 ( )() lim x f xfx x + 存在，則存在，則(0)0f= .C若若 0 ( )

2、lim x f x x 存在，則存在，則(0)f存在存在.D若若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，則存在，則(0)f存在存在 (3)(3)(3)(3) 如圖如圖， 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)( )yf x=在區(qū)間在區(qū)間 3, 2 , 2,3上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為 1 1 1 1 的上的上、 下半圓周，在區(qū)間下半圓周，在區(qū)間 2,0 , 0,2上圖形分別是直徑為上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設的上、下半圓周，設 0 ( )( ) , x F xf t dt=則下列結論正確的是則下列結論正確的是( ( ( () ) ) ) 3 2-1 O 1-2 -3 y x .A

3、(3)F 3 ( 2) 4 F= .B(3)F 5 (2) 4 F= .C( 3)F 3 (2) 4 F=.D( 3)F 5 ( 2) 4 F= (4)(4)(4)(4) 設函數(shù)設函數(shù)( , )f x y連續(xù)，則二次積分連續(xù)，則二次積分 1 sin 2 ( , ) x dxf x y dy 等于等于( ( ( () ) ) ) .A 1 0arcsin ( , ) y dyf x y dx + .B 1 0arcsin ( , ) y dyf x y dx .C 1arcsin 0 2 ( , ) y dyf x y dx + .D 1arcsin 0 2 ( , ) y dyf x y dx

4、 (5)(5)(5)(5) 設某商品的需求函數(shù)為設某商品的需求函數(shù)為1602Qp=，其中，其中Q，p分別表示需要量和價格，分別表示需要量和價格， 如果該商品需求彈性的絕對值等于如果該商品需求彈性的絕對值等于 1 1 1 1，則商品的價格是，則商品的價格是( ( ( () ) ) ) .A10101010.B20202020.C30303030.D40404040 (6)(6)(6)(6) 曲線曲線 1 ln(1) x ye x =+漸近線的條數(shù)為漸近線的條數(shù)為( ( ( () ) ) ) .A0 0 0 0.B1 1 1 1.C2 2 2 2.D3 3 3 3 (7)(7)(7)(7) 設向量

5、組設向量組 123 , 線性無關，則下列向量組線性相關的是線性無關，則下列向量組線性相關的是( ( ( () ) ) ) A. . . . 12 2331 , B. . . . 12 + 2331 , + C. . . . 122331 2,2,2 D. . . . 122331 2,2,2 + (8)(8)(8)(8) 設矩陣設矩陣 211 121 112 A = ， 100 010 000 B = 則則A與與B( ( ( () ) ) ) A. . . . 合同，且相似合同，且相似B. . . . 合同，但不相似合同，但不相似 C. . . . 不合同，但相似不合同，但相似D. . . .

6、 既不合同，也不相似既不合同，也不相似 (9)(9)(9)(9) 某人向同一目標獨立重復射擊某人向同一目標獨立重復射擊， 每次射擊命中目標的概率為每次射擊命中目標的概率為(01),pp則此則此 人第人第 4 4 4 4 次射擊恰好第次射擊恰好第 2 2 2 2 次命中目標的概率為次命中目標的概率為 ( ( ( () ) ) ) A. . . . 2 3 (1)ppB. . . . 2 6 (1)pp C. . . . 22 3(1)ppD. . . . 22 6(1)pp (10)(10)(10)(10) 設隨機變量設隨機變量(, )X Y服從二維正態(tài)分布，且服從二維正態(tài)分布，且X與與Y不相關

7、，不相關，( ),( ) XY fxfy分別分別 表示表示,X Y的概率密度，則在的概率密度，則在Yy=條件下，條件下，X的條件概率密度的條件概率密度() X Y fx y為為( ( ( () ) ) ) A. . . .( ) X fxB. . . .( ) Y fy C. . . .( )( ) XY fx fyD. . . . ( ) ( ) X Y fx fy 二、填空題二、填空題. . . . (11)(11)(11)(11) 32 3 1 lim(sincos )_ 2x x xx xx x + + += + (12)(12)(12)(12) 設函數(shù)設函數(shù) 1 23 y x = +

8、 ，則，則 ( )(0) _ n y= (13)(13)(13)(13) 設設( , )f u v是二元可微函數(shù)，是二元可微函數(shù)，(,), y x zf x y =則則 zz xy xy = (14)(14)(14)(14) 微分方程微分方程 3 1 ( ) 2 dyyy dxxx =滿足滿足 1 1 x y = = 的特解為的特解為 y=_y=_y=_y=_ (15)(15)(15)(15) 設距陣設距陣 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 0 0 0 0 A = 則則 3 A的秩為的秩為 (16)(16)(16)(16) 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)中隨機地取兩個

9、數(shù), , , ,則兩數(shù)之差的絕對值小于則兩數(shù)之差的絕對值小于 1 2 的概率為的概率為 三、解答題三、解答題. . . . (17)(17)(17)(17)設函數(shù)設函數(shù)( )yy x=由方程由方程ln0yyxy+=確定確定， 試判斷曲線試判斷曲線( )yy x=在點在點(1,1)附附 近的凹凸性近的凹凸性. . . . (18)(18)(18)(18)設二元函數(shù)設二元函數(shù) 2 22 .1. ( , )1 ,12. xxy f x y xy xy + = + + ，計算二重積分計算二重積分 ( , ). D f x y d 其中其中 ( , )2Dx yxy=+ (19)(19)(19)(19)

10、設函數(shù)設函數(shù)( )f x， ( )g x在在,a b上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ( , )a b內二階可導且存在相等的最大內二階可導且存在相等的最大 值，又值，又( )f a ( )g a，( )f b ( )g b，證明：，證明： (I)(I)(I)(I) 存在存在( , ),a b使得使得( )( )fg=； (II)(II)(II)(II) 存在存在( , ),a b使得使得( )( ).fg= (20)(20)(20)(20)設函數(shù)設函數(shù)( )f x具有連續(xù)的一階導數(shù)，且滿足具有連續(xù)的一階導數(shù)，且滿足 222 0 ( )()( ) x f xxtfx dtx=+ ， 求求( )f x的表達式

11、的表達式. . . . (21)(21)(21)(21)設線性方程組設線性方程組 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x += += += (1) 與方程與方程 123 21xxxa+=(2) 有公共解，求有公共解，求a得值及所有公共解得值及所有公共解. . . . (22)(22)(22)(22)設設 3 3 3 3 階實對稱矩陣階實對稱矩陣A的特征值的特征值 1231 1,2,2,(1, 1,1)T= =是是A的屬于的屬于 1 的一個特征向量的一個特征向量. . . .記記 53 4BAAE=+，其中，其中E為為 3 3 3 3 階單位矩陣階單位矩陣. . . . (I)(I)(I)(I) 驗證驗證 1 是矩陣是矩陣B的特征向量，并求的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；的全部特征值與特征向量； (II)(II)(II)(II) 求矩陣求矩陣B. . . . (23)(23)(23)(23)設二維隨機變量設二維隨機變量(, )X Y的概率密度為的概率密度為 2,01,01. ( , ) 0, xyxy f x y ； (II)(II)(II)(II) 求求ZXY=+的概率密度的概率密度(