頻率特性分析.ppt

1、,頻率特性分析,(第四章),時域瞬態(tài)響應法：分析控制系統(tǒng)的直接 方法。,優(yōu)點：直觀。 缺點：分析高階系統(tǒng)非常繁瑣。,xo(t),xi(t),g(t),頻率響應是時間響應的特例，是控制系統(tǒng)對,正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應，即系統(tǒng)在正弦信號的作用下，其輸出量的穩(wěn)態(tài)值隨頻率的變化規(guī)律。,頻率特性是系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號,的響應特性。,頻率特性分析法(頻域法) 是利用系統(tǒng)的頻 率特性來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍 然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準確性等，是工 程上廣為采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。,4.1 頻率特性概述,頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。 不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，可,以間接

2、地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán),系統(tǒng)的響應性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征,根。,系統(tǒng)的頻域指標和時域指標之間存在著對,應關系。頻率特性分析中大量使用簡潔的曲,線、圖表及經驗公式，使得控制系統(tǒng)的分析十,分方便、直觀。,頻域法是工程上廣為采用的系統(tǒng)分析和綜,合的間接方法。除了電路與頻率特性有著密切關,系外，在機械工程中機械振動與頻率特性也有著,密切的關系。,機械受到一定頻率作用力時產生強迫振動，,由于內反饋還會引起自激振動。機械振動學中的,共振頻率、頻譜密度、動剛度、抗振穩(wěn)定性等概,念都可歸結為機械系統(tǒng)在頻率域中表現(xiàn)的特性。,頻域法能簡便而清晰地建立這些概念。,彈簧阻尼系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應

3、,例：機械系統(tǒng)如下圖所示，k為彈簧剛度系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，當輸入正弦力信號 f(t)=Fsint時，求位移x(t)的穩(wěn)態(tài)輸出。,k,c,f(t)=Fsint,解,該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,輸入信號的拉氏變換為：,位移輸出的拉氏變換為：,如果系統(tǒng)穩(wěn)定，頻率響應包含二部分：瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。瞬態(tài)響應不是正弦波，趨于0；穩(wěn)態(tài)響應部分，是與輸入信號頻率相同的正弦波，但幅值、相位不同。,取拉氏反變換，位移輸出為,所以穩(wěn)態(tài)位移輸出為：,對于一般線性系統(tǒng)均有類似的性質。當輸 入正弦信號時，線性系統(tǒng)輸出穩(wěn)定后也是正弦 信號，其輸出正弦信號的頻率與輸入正弦信號 的頻率相同；輸出幅值和輸出相位按照系統(tǒng)傳 遞函數(shù)的不

4、同隨著輸入正弦信號頻率的變化而 有規(guī)律的變化，如下圖所示。,號的幅值之比,為系統(tǒng)的,幅頻特性。 幅頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應不 同頻率的正弦輸入時在幅值上的增益特 性（衰減或放大）。,頻率特性的定義 設系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G(s) 。定義系統(tǒng) 輸出信號的穩(wěn)態(tài)響應相對其正弦輸入信,A() = G(j),定義系統(tǒng)輸出信號的穩(wěn)態(tài)響應相對,為系統(tǒng)的相頻特性。,相頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應不 同頻率的正弦輸入時在相位上產生的滯,其正弦輸入信號的相移 () = G(j),后（ 0）特性。,的頻率特性，它描述了系統(tǒng)對正弦輸入 的穩(wěn)態(tài)響應。,上述定義的幅頻特性 A() = G(j),和相頻特性 () = G(j)

5、 統(tǒng)稱為系統(tǒng),頻率特性實質上是在頻域中系統(tǒng)的輸出量與輸入量之比值。,當輸入為非正弦的周期信號時，其輸,入可利用傅立葉級數(shù)展開成正弦波的疊,加，其輸出為相應的正弦波輸出的疊加，,如下圖所示。,工程中上絕大多數(shù)周期函數(shù)都可以按傅氏級數(shù)法展開成疊加的離散諧波信號；非周期函數(shù)，也可按傅氏變換法展成連續(xù)的諧波信號。因此，用正弦信號作為統(tǒng)一的輸入量來研究系統(tǒng)的頻率特性是合理的。,可以表示成如下形式：,系統(tǒng)頻率特性的表示形式 系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復變函數(shù)，,G(j)=U()+ jV() U()是G(j) 的實部，稱為實頻特性。 V()是G(j) 的虛部，稱為虛頻特性。,G(j) = (U() )2 +

6、(V( )2,G( ) = arctan,V(),U( ),頻率特性函數(shù)也可以表示成如下形式：,j(),A() (),j,G(j) = A()e,A() 是 G(j) 的模，稱為幅頻特性。 () 是 G(j) 的相角，稱為相頻特性,= G(j) G(j),幅頻特性實質上就是輸出量的振幅與輸入量的振幅之比值，相頻特性實質就是輸出量的相位與輸入量的相位之差,j(),G(j)=U()+ jV() = A()cos()+ jsin()= A()e,矢量圖表示如下 ：,函數(shù) G(j) 就是系統(tǒng)的頻率響應。頻率響,的傳遞函數(shù) G(s) 求得。,應是在 s = j 特定情況下的傳遞函數(shù)。,頻率特性的求取解析

7、法 系統(tǒng)的頻率特性函數(shù) G(j) 可由系統(tǒng),G(j) = G(s) s=j 將s平面的復變量 s = + j 的取值范,圍限定在虛軸上，即 s = j 所得到的傳遞,G(j)的物理意義： 頻率特性表示了系統(tǒng)對不同頻率的正弦信號的復觀能力或跟蹤能力。在頻率較低時，輸入信號基本上可以按原比例在輸出端復現(xiàn)出來，頻率較高時，輸入信號就被抑制。對于實際系統(tǒng)，一般都有低通濾波及相位滯后作用。 頻率特性隨頻率而變化，是因為系統(tǒng)含有儲能元件。在進行能量交換時，對不同的頻率信號顯示出不同的特性。 頻率特性反應系統(tǒng)本身的特點。,G( ) = =,s,R+,1,Cs 1 Cs,1 RCs+1,C,ui(t),uo(

8、t),R,1 jRC +1,G(j) = G(s) s=j =,將 s 代之以 j ，即得到系統(tǒng)的頻率特性 函數(shù)為,例 如下圖所示系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為,可見，一階系統(tǒng)輸出量的振幅比輸入量的振幅減小了，相位也滯后。,試求,例,的幅頻特性,和相頻特性。,G(j) = G(s) s=j,1. 頻率特性的概念：,系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的 穩(wěn)態(tài)響應特性稱為頻率特性。,2. 求取頻率特性的解析方法：,小結,通常用圖示法來表示頻率特性，包括極坐標圖和對數(shù)坐標圖,乃奎斯特（H.Nyquist) 18891976，,美國Bell實驗室 著名科學家,4.2 頻率特性極坐標圖,（乃奎斯特圖，或乃氏圖）,極坐標圖是

9、反映頻率特性的幾何表示。 當從 0 逐漸增長至 + 時，頻率特性 G( j) 作為一個矢量，其端點在復平面相 對應的軌跡就是頻率特性的極坐標圖。,極坐標圖也稱為乃氏圖或乃奎斯特曲線。,jV,G(j)= K,4.2.1 典型環(huán)節(jié)乃奎斯特圖 1. 比例環(huán)節(jié),G(j) = K G(j)= 0,G(j) =,1 j,2.積分環(huán)節(jié) G(j)=,jV, 0,1 G(j)= 90 G(j0)= 90 G(j)= 090, = 0,jV, ,3.微分環(huán)節(jié) G(j)= j,G(j) = G(j)=90,G(j0)= 090 G(j)= 90,First-order components,4.一階慣性環(huán)節(jié),1 j

10、T +1,G(j)=,G(j0)=10 G(j)= 090,5.二階振蕩環(huán)節(jié),Second-order components,G(j0)=10 G(j)= 0180 相角0180，與負虛軸有交點。, = 0,jV,jT,6.延遲環(huán)節(jié) G(j)= e,G(j) =1 G(j)= T,G(j0)=10 G(j)=1,相角0，與實軸和虛軸有無窮多交點。,(5) 必要時畫出乃氏圖中間幾點；,(6) 勾畫出大致曲線。,4.2.2 繪制乃奎斯特圖的一般方法,的關系式求出，也可以利用關系式 G(j)= n180 （其中n為整數(shù)）求出；,的關系式求出，也可利用關系式 G(j)= n90 （其中n為奇數(shù)）求出；

11、,(1)寫出 G(j) 和 G(j) 表達式； (2)分別求出 = 0和 = + 時的 G(j )；,(3)求乃氏圖與實軸的交點，可利用 ImG(j)= 0,(4)求乃氏圖與虛軸的交點，可利用 ReG(j)= 0,當,增加，曲線距離原點越來越近，相角越來越負。, = 0 時， G(j)=10,當 = +時， G(j)= 0,其乃氏圖與實軸和虛軸有無窮多交點，隨著 的,例,繪制,奈奎斯特圖,-0.5,0.5,1,-0.8,0.4 =0,=+,例 ：,的交點。,G(j)= 90arctan()arctan(2) 當 = 0 時， G(j)= +90 當 = +時， G(j)= 0270 其相角范圍

12、從-90-270，因此必有與負實軸,例,即,兩邊取正切，得,所以曲線與負實軸交點的頻率為,該交點距原點的距離為,解方程G(j)= 90arctan()arctan(2) = 180,arctan(2 ) = 90-arctan( ),1 ,2 =,-1,0,-12 -3,-6,0,其乃氏圖如下圖所示：,-1,-0.5,0,-0.1,0,0.1,(-0.67,j0),例,當g=0 時，稱該系統(tǒng)為 0 型系統(tǒng)； 當g=1 時，稱該系統(tǒng)為型系統(tǒng)； 當g=2 時，稱該系統(tǒng)為型系統(tǒng)； ,系統(tǒng)的型次 機電系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一般可表示為,各型乃氏圖的低頻段,對于0型系統(tǒng)，當時，幅角為-90(m-n),見P8

13、7圖4-13,乃氏圖的高頻段 通常，機電系統(tǒng)頻率特性分母的階次,大于分子的階次，故當 時，乃氏圖,曲線終止于坐標原點處；而當頻率特性分,母的階次等于分子的階次，當 時，,乃氏圖曲線終止于坐標實軸上的有限值。,一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點，,使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子,上加零點，使系統(tǒng)相角超前。,乃氏圖的負頻段, = +的乃氏圖,令 從 增長到 0 ，,相應得出的乃氏圖是,與從 0 增長到 +,得出的乃氏圖以實軸 對稱的，例如圖5-3 所示的乃氏圖。,1. 極坐標圖（Nyquist圖）的概念 2. 典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖,3. Nyquist圖作圖的一般步驟,4. 系統(tǒng)的型次，各

14、型次Nyquist圖的特,點,4.2 節(jié)小結,作業(yè)思考題,已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，試畫出其奈奎斯特圖。,波德（H.W.Bode)， 19051982,美國Bell實驗室 著名科學家,4.3 系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性,（波德圖）,對數(shù)坐標圖 是將 幅值 對頻率的關系,和 相位 對頻率的關系分別畫在兩張圖上，,用半對數(shù)坐標紙繪制，頻率坐標按對數(shù)分,度，幅值和相角坐標則以線性分度。,對數(shù)坐標圖也稱波德圖(Bode圖)。,波德圖的特點 （1）把幅頻特性與相頻特性分別用兩個常用對數(shù)坐標圖來表示。橫坐標是按頻率的以10為底的對數(shù)分度。但在以lg分度的橫坐標上，只標注的自然數(shù)值。頻率變化1倍，稱為1倍頻程，坐標間距

15、為0.301長度單位。頻率變化10，稱作10倍頻程，坐標間距為1個長度單位。 （2）幅頻特性的縱坐標為L()=20lgG(j)，單位為分貝，記作dB。 （3）相頻特性的縱坐標代表G(j)的相位 ，單位為度,波德圖幅值 L() 所用的單位 分貝 (dB) 定義為,L()= 20lg A(),幅頻特性坐標,以 dec. (decade) 表示。,若 2 =101 ，則稱從1 到 2 為十倍頻程，,相頻特性坐標,波德圖的優(yōu)點：,（1）將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值乘、除，轉化為幅值的加、減，從而簡化了計算過程。 （2）對環(huán)節(jié)的幅值波德圖，可先用漸近線表示，然后再用修正曲線進行修正，簡化了作圖過程。 （3）若系統(tǒng)含

16、有多個環(huán)節(jié)，則可利用疊加法將各個環(huán)節(jié)的幅值波德圖進行累加，從而得到整個系統(tǒng)的幅值波德圖。,L() / dB,(),4.3.1 典型環(huán)節(jié)的波德圖,G(j)= K,1. 比例環(huán)節(jié),()= 0,L() = 20lgK,10,-1,10,0,10,1,10,2,10,-1,10,0,10,1,10,2,0 -90 -180,20lgK 0,1 j,G(j)=,()= 90,= 20lg,1 j,L() = 20lg,2.積分環(huán)節(jié),L() / dB,(),10,0,10,1,-40 -1 10,40 20 0 -20,10,0,10,1,-270 -1 10,0 -90 -180,1 j,G(j)=,積

17、分環(huán)節(jié),20lg,二重積分環(huán)節(jié),2,1 (j),G(j)=,2,()= 180,= 40lg,1 (j),L() = 20lg,L() / dB,(),10,0,10,1,-40 -1 10,40 20 0 -20,10,0,10,1,-270 -1 10,0 -90 -180,2,1 (j),G(j)=,= 20lg (T) +1,1 jT +1,3.一階慣性環(huán)節(jié) G(j)=,2,1 jT +1,L() = 20lg,()= arctan(T) 在低頻段， L() 0 () 0 在高頻段， L() 20lg(T) () 90 用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線 近似表示。,幅頻特性,令,轉

18、角頻率,則,在低頻段,在高頻段,是一條截距為20lgT，斜率為-20db/dec的直線,L() / dB,(),1 jT +1,G(j)=,10,0,10,1,-20 -1 10,10 0 -10,10,0,10,1,-180 -1 10,90 0 -90,橫坐標單位為1/T,4.一階微分環(huán)節(jié),在低頻段， 在高頻段，,導前環(huán)節(jié),5.二階振蕩環(huán)節(jié),在低頻段， L() 0 () 0 在高頻段，L() 40lg(T) () 180,P9192,是一條截距為40lgn，斜率為-40db/dec的直線,當n時，即在高頻段，可得,T,6.延遲環(huán)節(jié),()= ,= 20lg1= 0, j,L() = 20lg

19、e,4.3.2 波德圖繪制一般方法,對一般系統(tǒng),則,頻率特性分析,可見，系統(tǒng)幅頻特性的波德圖可由各 典型環(huán)節(jié)的幅頻特性伯德圖疊加得到。 同理，系統(tǒng)相頻特性的波德圖亦可用 各典型環(huán)節(jié)的相頻特性波德圖疊加得到。,頻域法的優(yōu)點： 當系統(tǒng)無法用計算分析建立傳遞函數(shù)時，可用實驗的方法求取頻率特性，進而導出傳遞函數(shù)。 頻域法的物理意義比較直觀，尤其在研究控制系統(tǒng)中各種各樣的振動問題時，頻域法能給出明確的概念和結果。 利用奈氏判據,根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性就可以研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.,由于頻域法靠各個頻率分量來描述信號，只適用于線性定常系統(tǒng)。,例1：繪制下圖所示的系統(tǒng)的開環(huán)波德圖,Xi,Xo,該系統(tǒng)開環(huán)傳遞函

20、數(shù)由比例、積分、振蕩、一階微分四個環(huán)節(jié)組成,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，,其中K=10，T=0.087。繪制系統(tǒng)的Bode圖。,解,系統(tǒng)的頻率特性為,系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成,各環(huán)節(jié)的參數(shù),比例環(huán)節(jié) K,積分環(huán)節(jié),L()為過(1,0)、斜率為-20dB/dec的直線,例2,慣性環(huán)節(jié),轉折頻率,分別畫出三個典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻曲線的漸進線和對數(shù)相頻曲線,即 G(j)=,該系統(tǒng)可認為由下列五個典型環(huán)節(jié)組成：,作業(yè)：繪制波德圖,L() / dB,(),L(),20lg7.5,該系統(tǒng)的波德圖如下圖所示： -20dB/dec. -60dB/dec. -80dB/dec.

21、-60dB/dec.,L1() L5() L4() L2() L3(),(),5() 1() 4() 2() 3() 頻率特性分析,4.3.2 一般系統(tǒng)波德圖的作圖方法(續(xù)),由此，可以看出波德圖可由如下步驟形成：,(1) 將系統(tǒng)頻率特性化為典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積;,(2) 根據組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)確定轉角頻率及相,應斜率，并畫近似幅頻折線和相頻曲線;,(3) 必要時對近似曲線作適當修正。,真正畫波德圖時，并不需要先畫出各環(huán)節(jié)波德 圖，可根據靜態(tài)放大倍數(shù)和各環(huán)節(jié)時間常數(shù)直 接畫出整個系統(tǒng)波德圖。,最小的。,4.3.3 最小相位系統(tǒng) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在 S 右半平面上既無極,點、又無零點的系統(tǒng)，

22、稱為最小相位系統(tǒng)；否,則，為非最小相位系統(tǒng)。,對于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當頻率 從 0 變到 + 時，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是,最小相位系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性是一一,對應的，知道了系統(tǒng)幅頻特性，其相頻特性就唯,一確定。,最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻特性對應關系,例,(T 1) +1,(T2) +1,系統(tǒng)1為最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)2為非最小相位系統(tǒng)。,兩個系統(tǒng)的幅頻特性一樣，均為,2 2,G1(j) = G2(j) =,而其相頻特性分別為,G1(j) = arctan(T 1)arctan(T2) G2(j) = arctan(T 1)arctan(T2),幅頻特性,相頻特性,具有相同幅頻特性的系統(tǒng)

23、，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍是最小的。,非最小相位系統(tǒng)在高頻時的相角滯后大，啟動性能不佳，響應緩慢。,1. 對數(shù)坐標圖（Bode圖）的概念 2. 典型環(huán)節(jié)的Bode圖,3. Bode圖作圖的一般步驟,4. 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的,定義及其特點,4.3 節(jié)小結,時間常數(shù) 靜態(tài)放大倍數(shù),頻率特性曲線,傳遞函數(shù),由伯德圖的作圖過程可知，幅頻曲線的轉 折點對應的頻率是時間常數(shù)的倒數(shù)。 下面討論如何確定靜態(tài)放大倍數(shù)。,4.4 頻率實驗法估計系統(tǒng)的數(shù)學模型 許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準確， 其傳遞函數(shù)很難用純數(shù)學分析的方法求出。對 于這類系統(tǒng)，可以通過實驗測出系統(tǒng)的頻率特 性曲線，進而求出系統(tǒng)

24、的傳遞函數(shù)。,G0(j) K0 G0(j0) = K0,在低頻時， 很小,可見，0型系統(tǒng)幅頻特性波德圖在低頻處的高度 為 20lgK0 ，例如下圖所示的低頻段。,確定0型系統(tǒng)波德圖低頻段的高度，即增益K,G1( ) ,j,確定I型系統(tǒng)波德圖低頻段的高度,K1 j G1(j) K1,可見，如果系統(tǒng)各轉角頻率均大于1，I 型系統(tǒng),在低頻時， 很小,幅頻特性伯德圖在 =1處的高度為20lgK1；如果 系統(tǒng)有的轉角頻率小于1，則首段-20dB/dec.斜,率線的延長線與 =1線的交點高度為 20lgK1 ， 如圖4-38所示。,1,1,頻率特性分析,頻率特性分析,確定 II 型系統(tǒng)波德圖低頻段的高度,

25、G2(j1) = K2,在低頻時， 很小 G2(j) ,可見，如果系統(tǒng)各轉角頻率均大于1，II 型系統(tǒng),幅頻特性伯德圖在 =1處的高度為20lgK2；如果 系統(tǒng)有的轉角頻率小于1，則首段-40dB/dec.斜,率線的延長線與 =1線的交點高度為 20lgK2 ， 如圖4-39所示。,頻率實驗法估計系統(tǒng)的數(shù)學模型,根據系統(tǒng)的波德圖確定傳遞函數(shù)的布驟如下,（1）根據低頻段對數(shù)幅頻特性漸進線的斜率確定系統(tǒng)中含有積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。當?shù)皖l段對數(shù)幅頻特性漸進線的斜率為-20ndB/dec時，系統(tǒng)即為n型系統(tǒng)，含有n個積分環(huán)節(jié),（2）根據低頻段確定系統(tǒng)的增益K,(a) 0型系統(tǒng) 對數(shù)幅頻特性曲線低頻部分是一條

26、水平線，如圖所示,(b) I型系統(tǒng),對數(shù)幅頻曲線低頻部分是斜率為-20dB/dec的直線，增益K等于該漸進線與0dB線交點處的斜率，即K=，如圖所示,I型系統(tǒng)的Bode圖,II型系統(tǒng),對數(shù)頻率曲線低頻部分是斜率為40dB/dec的直線，增益K的平方根等于該漸進線（或延長線）與0dB線交點處的頻率，即,II型系統(tǒng)的Bode圖,（3）根據對數(shù)幅頻特性漸進線在轉折頻率處斜率的變化，確定系統(tǒng)的串聯(lián)環(huán)節(jié),（4）進一步根據對數(shù)幅頻特性的形狀及參量，計算二階振蕩環(huán)節(jié)中的阻尼比,例1 實驗得到的系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示。確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù),解,低頻段為水平直線，不含積分環(huán)節(jié)，為0型系統(tǒng),根據低頻段確定系

27、統(tǒng)的增益K,根據對數(shù)幅頻特性漸進線在轉折頻率處斜率的變化，確定系統(tǒng)的串聯(lián)環(huán)節(jié),過點1斜率增加-20dB/dec，含有一個慣性環(huán)節(jié) ，,由過點2成水平線可知，斜率增加了20dB/dec，所以含有一個微分環(huán)節(jié)T2s+1，,由過點3成水平線可知，斜率又增加了20dB/dec，所以含有一個微分環(huán)節(jié)T3s+1，,由過點4變成水平線，斜率增加-20dB/dec，含有一個慣性環(huán)節(jié),由此得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,例2 已知系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖4-38所示，求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)。,提示：,的時間常數(shù)T=0.25,例3某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻響數(shù)據如下，試畫 出其對數(shù)幅頻特性，并確定其傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的幅

28、頻特性曲線：,2,用折線逼近曲線得：G(s) =,K(T2s+1) s(T1s+1),由 G(j1) = 20lgK 得：K 31.6,由圖測得轉角頻率： 1 3.7 rad/s, 2 28.5 rad/s,則： T 1 =1 1 0.27s,T2 =1 2 0.035s,所以所測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)近似為：,2,G(s) =,31.6(0.035s+1) s(0.27s+1),例,下圖實線是某系統(tǒng)用實驗測出的頻率特性 波德圖，試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 由幅頻特性低頻段可見，該 系統(tǒng)為 0 型系統(tǒng),且 K0 =1。 用折線作為漸近線逼近幅頻 特性曲線，其高頻段斜率為 -40dB/dec.，兩個轉角頻率

29、為 1 =1rad/s, 2 2.4 rad/s 由上可知，該系統(tǒng)為二階。 又相頻特性小于 -180，故 系統(tǒng)存在延遲環(huán)節(jié)。,系統(tǒng)頻率特性具有如下形式：,G(j) =,由圖可見，,取,則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,G(s) =,4.4節(jié)小結 由頻率特性求傳遞函數(shù)：,時間常數(shù) 靜態(tài)放大倍數(shù),頻率特性曲線,傳遞函數(shù),0型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定 I型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定 II型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定 注意根據相頻與幅頻特性對應關系確定其 是否為最小相位系統(tǒng)。,獲得頻率響應特性的方法,(1) 如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將系統(tǒng)傳,遞函數(shù)中的 s 代之以 j ，即得到系統(tǒng)的,頻率特性函數(shù)。,(2) 如果

30、已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變 量以正弦函數(shù)代入，求系統(tǒng)的輸出變量 的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正 弦函數(shù)的復數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性函 數(shù)。,(3) 可以通過實驗的手段求出。,實驗法獲得頻率響應特性,頻率特性的實驗求取,圖4-7 機械角位移正弦函數(shù)發(fā)生裝置,圖4-8 電液正弦位移激振裝置,圖4-9 電液正弦位移激振裝置工作原理,圖4-12 增益-相位計,圖4-13 傳遞函數(shù)分析儀,系統(tǒng)輸入一個單位脈沖，則相當于用等單位強度,的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)。,說明 (t) 隱含著幅值相等的各種頻率。如果對某,單位脈沖函數(shù)的傅氏變換象函數(shù)等于1，即 F(t)=1,系統(tǒng)單位脈沖響應的傅氏變換即為系統(tǒng)的頻率

31、特,性。單位脈沖響應簡稱為脈沖響應，脈沖響應函,數(shù)又稱為權函數(shù)。,當 xi(t) =(t) 時，系統(tǒng)傳函等于其輸出象函數(shù) j,采樣足夠多的點，借助計算機，用多點求和的方,法即可近似求出系統(tǒng)頻率特性，即,隨時間增長逐漸趨于零。因此，可以對響應 g(t),為了識別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們可以產生一, jt 0 對于漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應,個近似的單位脈沖信號 (t) 作為系統(tǒng)的輸入，記,錄系統(tǒng)響應的曲線 g(t),則系統(tǒng)的頻率特性為,G(j) tg(nt)e,jnt,N1 n=0,N1 n=0 = Re()+ jIm() G(j) = Re2()+Im2(),Im() Re(),G(j)

32、= arctan,頻率特性函數(shù)的求取方法： 1.根據系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取 2.根據系統(tǒng)的微分方程求取 3.實驗方法：,輸入不同頻率的正弦信號 輸入脈沖信號,4.5節(jié)小結,4.6 Log magnitude-phase plots （Nichols Chart）,N.B.Nichols， 美國Taylor儀器公司 工程師， 二戰(zhàn)期間參與MIT雷 達及火炮控制研究。 控制工程基礎,控制工程基礎,對數(shù)幅相特性圖 (Nichols圖) 是描述 系統(tǒng)頻率特性的第三種圖示方法。 對數(shù)幅相圖縱坐標表示頻率特性的對 數(shù)幅值，以分貝為單位；橫坐標表示頻率 特性的相位角。,對數(shù)幅相特性圖以頻率 作為參變,量，用一條

33、曲線完整地表示了系統(tǒng)的頻率 特性。,典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅相圖,積分環(huán)節(jié),一階慣性環(huán)節(jié) 控制工程基礎,相位超前環(huán)節(jié),延遲環(huán)節(jié) 控制工程基礎,控制工程基礎,控制工程基礎,4.7 Closed-loop frequency-response of control systems,4.7.1 由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性,4.7.2 系統(tǒng)頻域指標,一、應用開環(huán)Bode圖估計閉環(huán)頻率特性 二、應用開環(huán)乃氏圖求閉環(huán)頻率特性 三、應用開環(huán)Nichols圖求閉環(huán)頻率特性,Xo(j) G(j),Xi(j) 1+G(j),Xo(j) G(j),Xi(j) 1+G(j),Xo(j) G(j),=,G(j) 1,=,1

34、,低頻時,高頻時,G(j) 1 = G(j) Xi(j) 1+G(j) 控制工程基礎,Estimating the closed-loop frequency-response characteristic by the,open-loop frequency-response characteristic,對于單位反饋系統(tǒng)，,控制工程基礎,圖4-43 系統(tǒng)開環(huán)及閉環(huán)幅頻特性對照,控制工程基礎,由開環(huán)頻率特性求出閉環(huán)頻率特性。,對于單位反饋系統(tǒng)，設前向通道傳遞函,Xo(s) Xi(s),=,G(s) 1+G(s),數(shù)為 G(s)，則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為,二、應用開環(huán)乃氏圖求閉環(huán)頻率特性 另外，我們

35、可以利用等 M 圓和等 N 圓,控制工程基礎,在下圖所示的乃奎斯特圖上，向量 OA 表 示G(jA)，其中 A 為 A 點頻率。 向量 OA的幅值為 G(jA) ，向量 OA 的相 角為 G(jA) 。 由點 P(1, j0) 到 A 點的向量 PA 可表示 為 1+G(jA) 。,控制工程基礎,G(jA),1+G(jA),控制工程基礎,向量OA與PA之比正好表示了閉環(huán)頻率特性，即,OA PA,Xo(jA) Xi(jA),= =,在 =A處，閉環(huán)頻率特性的幅值就是向量 OA,與 PA 的幅值之比，閉環(huán)頻率特性的相角就是兩 向量的相角之差，即夾角 ，如上圖所示。,當系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定后，根據

36、上圖就可,求出閉環(huán)頻率特性。,j(),Xo(j) Xi(j),= M ()e,類似于地圖上等高線的思路，我們可求出 閉環(huán)頻率特性的等幅值軌跡和等相角軌跡 ，在由乃奎斯特圖確定閉環(huán)頻率特性及系 統(tǒng)校正時，這將帶來方便。 控制工程基礎,設閉環(huán)頻率特性的幅值為M () ，相位角 為 ()，閉環(huán)頻率響應可表示為,X +Y,(1+ X) +Y,M =,X +Y,(1+ X) +Y,控制工程基礎,則,2 2,2,2,M =,=,X + jY 1+ X + jY,設G(j) = X + jY，式中X 和Y 均為實數(shù)，,Constant-magnitude Loci (M circles),2 2,2,2,2

37、,上式兩邊平方，可得,2, +Y =,X +,M 1, ,M,(M 1),M,M 1,M 1,控制工程基礎,如果 M = 1，由上式可求得 X = -1/2 ，即為,通過點 (-1/2，0) 且平行虛軸的直線。,該式就是一個圓的方程，其圓心為,，如下圖。,2,2, j0 ，半徑為,M 2,2,2,2,2,M 2 2,如果 M1，上式可化成,控制工程基礎,控制工程基礎,在復平面上，等 M 軌跡是一族圓，對于,給定的 M 值，可計算出它的圓心坐標和半,徑。下圖表示的是一族等 M 圓。,當M 1時，隨著M的增大，M圓的半徑,減小，最后收斂于點 (-1, j0)。當M1時，,隨著M的減小，M圓的半徑亦

38、減小，最后,收斂于點(0, j0)。當M=1時，其軌跡是過點,(-1/2, j0) 且平行于虛軸的直線。,控制工程基礎,arctan,N = tan arctan,arctan,控制工程基礎,Constant phase-angle loci (N circles) 1+ X + jY, = arctan,Y Y X 1+ X,即,Y Y X 1+ X , ,Y Y 1+ X Y Y X 1+ X,=,Y X 2 + X +Y 2,設 tan = N ，則,1 ,1 ,1 1 , , ,j,1 1 ,+ 的圓。,控制工程基礎,2 2 Y N,下圖表示的是一族等 N 圓。,2,2 2 X + +

39、 Y = + 2 2N 4 2N ,配方整理，可得, ,2,4 2N ,由上式可看出，等相角軌跡是一個圓心, 1 1 為 2 2N ，半徑為,控制工程基礎,控制工程基礎,對于給定值的等N 圓，實際上并不是一,個完整的圓，而只是一段圓弧。同時，由,于與180的正切值是相同的, N,圓對應的具有多值性，例如=-35與,=145對應的圓弧是相同的。,控制工程基礎,應用相同的比例尺，將等M 圓和等N 圓,繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相,同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)乃奎斯,特圖上，乃奎斯特圖與等M圓和等N圓的,交點所對應的幅值與相角由M圓和N圓的,參數(shù)決定，對應的頻率由開環(huán)乃奎斯特圖,決定，這樣

40、即可求出閉環(huán)頻率特性。找出,環(huán)頻率特性曲線。,G(j) 與M圓和N圓的交點，就可繪出閉,控制工程基礎,控制工程基礎,仿照上述等M圓和等N圓的思路，在對,數(shù)幅相特性圖上作出等M圓和等N圓，,由它們軌跡構成的曲線稱為尼柯爾斯,圖線。,尼柯爾斯圖線對稱于-180軸線，每,隔360, M 軌線和N 軌線重復一次，,且在每個180的間隔上都是對稱的。,三、應用開環(huán)Nichols圖線求閉環(huán)頻率特性,控制工程基礎,在由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)頻率特性 時，應用相同的比例尺，將尼柯爾斯圖線 繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相 同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對數(shù)幅,幅值確定。,相圖上，則開環(huán)頻率特性曲線 G(j)

41、與M 軌線和N 軌線的交點，就給出了每一頻率 上閉環(huán)頻率特性的幅值M 和相角。 若G(j) 軌跡與M軌線相切，切點處頻率 就是諧振頻率，諧振峰值由M軌線對應的,控制工程基礎,控制工程基礎,閉環(huán)頻率特性的諧振峰值為 Mr=5dB ，而諧振 頻率 r = 0.8rad/s 。,由于 G(j) 軌跡是與M = 5dB的軌跡相切，所以,1.21.4rad/s之間，采用插值計算可大致確定閉 環(huán)截止頻率為b =1.3rad/s 。,此外 G(j) 與 M= -3dB 軌跡交點的頻率在,閉環(huán)頻率特性曲線如圖(b)所示。,例 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1 s G(j) 軌跡與 M 軌線和 N 軌線，如圖

42、(a)所示。,控制工程基礎,控制工程基礎,在求取閉環(huán)頻率特性時，在尼柯爾斯圖上畫出,G(j)H(j) 的軌跡，由軌跡與M 軌線和N 軌線 G(j)H(j) 的交點，就可得到 1+G(j)H(j)的某一頻率下 的幅值和相角。,對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性可寫為 = = ,Closed-loop frequency characteristics of non-unit,feedback systems,1 j,由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性:,一、應用開環(huán)Bode圖估計閉環(huán)頻率特性 二、應用開環(huán)乃氏圖求閉環(huán)頻率特性 三、應用開環(huán)Nichols圖求閉環(huán)頻率特性 控制工程基礎,4.7.1 小結

43、,系統(tǒng)頻域性能指標,零頻幅值M(0),頻率接近于0時，系統(tǒng)輸出的幅值與輸入幅值之比。,復現(xiàn)帶寬頻率M,若事先規(guī)定作為反映低頻輸入信號的允許誤差，就是幅頻特性M與M(0)之差第一次達到時的頻率值,控制工程基礎,系統(tǒng)頻域性能指標,開環(huán)頻率特性幅值為 1 對應的頻率。,開環(huán)剪切頻率 c ：,產生諧振峰對應的頻率。,閉環(huán)諧振頻率r ：,諧振頻率處幅值的大小。,閉環(huán)諧振峰值 M r：,對數(shù)幅頻特性的幅值下 降到-3dB時對應的頻率。,閉環(huán)截止頻率 b ：,統(tǒng)的質量塊在輸入力 f (t)作用下產生的輸出位移,為 y(t)，其傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的頻率特性為,之間的關系，如下圖所示。,該式反映了動態(tài)作用力 f (t)與系統(tǒng)動態(tài)變形 y(t),一個典型的由質量-彈簧-阻尼構成的機械系,機械系統(tǒng)動剛度分析,實質上G(j)表示的是機械結構的動柔度(j)， 也就是它的動剛度 K(j) 的倒數(shù)，即,即該機械結構的靜剛度為 k 。,當 = 0時,當 0時，我們可以寫出動剛度的幅值,其動剛度曲線如下圖所示。,將其代入幅頻特