高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例學(xué)案24 文(含解析)

1、學(xué)案24正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題自主梳理1仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角(如圖所示)2方位角一般指北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角45，是指北偏東45，即東北方向3方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖所示)北偏東即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向北偏西即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似4坡角坡面與水平面的夾角(如圖所示)5坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即itan (i為坡

2、比，為坡角)6解題的基本思路運(yùn)用正、余弦定理處理實(shí)際測量中的距離、高度、角度等問題，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，要解決好，就要把握如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學(xué)模型自我檢測1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，之間的關(guān)系是 ()ABC90D1802(2011承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的 ()A北偏東10B北偏西10C南偏東10D南偏西103如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是 (

3、)A，a，bB，aCa，b，D，b4在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為_m.5(2010全國)ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD33，sin B，cosADC，求AD.探究點(diǎn)一與距離有關(guān)的問題例1(2010陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？變式遷移1某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處測得

4、與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？探究點(diǎn)二測量高度問題例2如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.變式遷移2某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高探究點(diǎn)三三角形中最值問題例3(2010江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)該小組已測得一組、的

5、值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測量精度若電視塔實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時，最大？變式遷移3(2011宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑AB2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC1，點(diǎn)P為半圓上的一個動點(diǎn)，以DC為邊作等邊PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值1解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸

6、結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對解進(jìn)行取舍2應(yīng)用舉例中常見幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 ()A.B.C.D.2(2011揭陽模擬)如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為 ()A50 mB50

7、 mC25 mD. m3ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 ()A.B.C.D94(2011滄州模擬)某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為 ()A.B2C.或2D35一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是每小時 ()A5海里B5海里C10海里D10海里題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在

8、北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為_7(2011臺州模擬)某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以_米/秒的速度勻速升旗8(2011宜昌模擬)線段AB外有一點(diǎn)C，ABC60，AB200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動開始_h后，兩車的距離最小三、解答題(共38分)9(1

9、2分)(2009遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75、30，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)10(12分)如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時兩船相距10海里問

10、乙船每小時航行多少海里？11(14分)(2009福建)如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)yAsin x(A0，0)，x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動員的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？答案 自我檢測1B2.B3.A4.5解由cosADC0知B，由已知得cos B，sinADC，從而sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.由正弦定理得，所以AD25.課堂活動區(qū)

11、例1解題導(dǎo)引這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意：基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)解由題意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，CD30(海里)，需要的時間t1(小時)故救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時變式遷移1解

12、如圖所示，易知CAD253560，在BCD中，cos B，所以sin B.在ABC中，AC24，由BC2AC2AB22ACABcos A，得AB224AB3850，解得AB35，AB11(舍)，所以ADABBD15.故此人在D處距A還有15千米例2解題導(dǎo)引在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識解在BCD中，CBD.由正弦定理得，所以BC，在RtABC中，ABBCtanACB.變式遷移2解由題意可知，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，BD20.過B作BECD

13、于E，顯然當(dāng)人在E處時，測得塔的仰角最大，有BEA30.在RtBED中，又BDE1801353015.BEDBsin 152010(1)在RtABE中，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米例3解題導(dǎo)引平面幾何圖形中研究或求有關(guān)長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之若研究最值，常使用函數(shù)思想解(1)由AB，BD，AD及ABBDAD，得，解得H124(m)因此，算出的電視塔的高度H

14、是124 m.(2)由題設(shè)知dAB，得tan .由ABADBD，得tan .所以tan()，當(dāng)且僅當(dāng)d，即d55時，上式取等號，所以當(dāng)d55時，tan()最大因?yàn)?，則0，所以當(dāng)d55時，最大變式遷移3解設(shè)POB，四邊形面積為y，則在POC中，由余弦定理得PC2OP2OC22OPOCcos 54cos .ySOPCSPCD12sin (54cos )2sin().當(dāng)，即時，ymax2.所以四邊形OPDC面積的最大值為2.課后練習(xí)區(qū)1D2.A3.C4.C5.C630 km7.0.68.解析如圖所示：設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD80t，BE50t.因?yàn)锳B200，所以B

15、D20080t，問題就是求DE最小時t的值由余弦定理得，DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t242000t40000.當(dāng)t時，DE最小9解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.(2分)又BCD180606060，所以ABCCBD，所以BABD.(6分)在ABC中，即AB，(10分)所以BD0.33(km)故B、D的距離約為0.33 km.(12分)10解如圖，連接A1B2，由題意知，A1B120，A2B210，A1A23010(海里)(2分)又B2A2A118012060，A1A2B2是等邊三角形，B1A1B21056045.(6分)在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210(海里)(10分)因此乙船的速度大小為6030(海里/小時)(12分)11解方法一(1)依題意，有A2，3，又T，.y2sinx.(3分)當(dāng)x4時，y2sin3，M(4,3)又P(8,0)，MP5.(5分)(2)如圖，連接MP，在MNP中，MNP120，MP5.設(shè)PMN，則060.由正弦定理得，NPs