第六節(jié) 曲面與曲線(xrc)

1、第六節(jié) 曲面,一、曲面方程的概念,二、柱面和旋轉曲面,三、空間曲線及其方程,四、空間曲線在坐標面上的投影,五、空間區(qū)域在坐標面上的投影,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實例：,一、曲面方程的概念,由幾何特征確定曲面方程,特殊地：球心在原點時方程為,研究空間曲面有兩個基本問題：,(2) 已知坐標間的關系式，研究曲面形狀,(1) 已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,二、柱面與旋轉曲面1、柱面（cylinder）,播放,觀察柱面的形成過程:,定義 平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線C 叫柱面的準線

2、，動直線 L 叫柱面的母線.,例如：,圓柱面,拋物柱面,橢圓柱面,(4) 平面,柱面舉例,拋物柱面,平面,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實 例,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面,母線 / 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,例 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？,解,平面解析幾何中,空間解析幾何中,斜率為1的直線,方程,2、旋轉曲面（surface of revolution）,定義 以一條平面 曲線繞其平面上的 一條定直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,播放,例如：球面,點M到z軸的距離,得方程,yoz坐標面上的已知曲線f(y,z)

3、=0繞z軸旋轉一周的旋轉曲面方程.,yoz 坐標面上的已知曲線 繞 z 軸 旋轉一周 的旋轉曲面方程為,yoz 坐標面上的已知曲線 繞 y 軸 旋轉一周 的旋轉曲面方程為,例1 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程,雙葉旋轉雙曲面,單葉旋轉雙曲面,雙葉雙曲面,單葉雙曲面,旋轉橢球面,旋轉拋物面,例5 下列方程所表示的曲面是否是旋轉曲面，若是，指明其是如何形成的.,給出一個方程也要會判斷它是否表示旋轉面, 及旋轉曲面是如何形成的.,解,圓錐面方程,圓錐面,空間曲線的一般方程,曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.,空間曲線C可看作空間

4、兩曲面的交線.,特點：,三、空間曲線及其方程1、空間曲線的一般方程,空間曲線,例1 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,例2 方程組 表示怎樣的曲線？,解,上半球面,圓柱面,交線如圖.,空間曲線的參數方程,2、空間曲線的參數方程,動點從A點出發(fā)，經過t時間，運動到M點,螺旋線的參數方程,取時間t為參數，,解,螺旋線的參數方程還可以寫為,螺旋線的重要性質：,上升的高度與轉過的角度成正比 即,上升的高度,螺距,如何將曲線 的一般方程： (*) 化為參數方程？,(1) 先從一般方程(*)中消去某個變量，比如z，得方程H(x,y)=0，寫出該方程在xOy面的參數方程x

5、=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某個方程解出z=z(t)，最后在確定t的變化區(qū)間，就得到了曲線的參數方程.,例5、把曲線 用參數方程表示.,(2) 在一些特殊情形，(*)中的某個方程是不完全三元方程(即方程中缺了一個未知量)，則可先將這個方程化為參數方程，再將所得結果代入(*)中的另一個方程，即可求得曲線的參數方程.,例6、將曲線 化為參數方程.,消去變量z后得：,曲線 對 xOy面的投影柱面,設空間曲線 的一般方程為：,投影柱面的特征： 以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.,四、空間曲線在坐標面上的投影,以空間曲線 為準線，母線垂直于 xOy 面的

6、柱面叫做曲線對 xOy 面的投影柱面,空間曲線 在xOy面上的投影曲線,投影曲線的研究過程的例子 .,空間曲線,投影曲線,投影柱面,曲線 在 yoz 面上的投影柱面和投影曲線：,曲線 在 zox面上的投影柱面和投影曲線：,類似地：可定義空間曲線 ： 在其他坐標面上的投影柱面和投影曲線.,例1 求曲線 在 xoy 面的投影柱面 及投影曲線方程.,例2 求曲線 在 xoy 面及 yoz 面的投影曲線方程.,例3以曲線為準線 母線平 行于z 軸的柱面方程.,例4 求曲線 在坐標面上的投影.,解,（1）消去變量z后得,在 面上的投影為,所以在 面上的投影為線段.,（3）同理在 面上的投影也為線段.,（

7、2）因為曲線在平面 上，,截線方程為,解,如圖,空間立體或曲面在坐標面上的投影.,空間立體,曲面,五、空間區(qū)域在坐標面上的投影,例1,解,半球面和錐面的交線為,一個圓,求兩曲面所圍立體(即空間區(qū)域)在坐標面的投影區(qū)域的一般方法：,(1) 求兩曲面的交線方程在坐標面的投影柱面方程，,(2) 將(1)中所得方程與坐標面方程聯立，得兩曲面的交線方程在坐標面的投影曲線方程，,(3) 投影曲線在坐標面所圍成的閉區(qū)域.,例2 求由曲線 繞 軸旋轉一周而成的曲面 夾在平面 與平面 之間的部分在 面的投影區(qū)域 .,例 求由上半球面 與圓柱面 及平面 z=0 所圍成的立體在 xoz 平面的投影.,a,.,a,。

8、,。,。,。,維望尼曲線,。,。,D,1,.,六、小結,1、曲面方程的概念,旋轉曲面的概念及求法.,柱面的概念(母線、準線).,2、空間曲線的一般方程、參數方程,3、空間曲線在三個坐標面上的投影柱面 和投影直線,思考題1,方程,表示怎樣的曲線？,思考題2,思考題1解答,表示雙曲線.,思考題2解答,交線方程為,在 面上的投影為,練 習 題,練習題答案,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線

9、 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線

10、叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱

11、面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,定義,柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋

12、 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這條定直線叫旋轉 曲面的軸,旋轉曲面,定義,以一條平面 曲線繞其平面上的 一條直線旋轉一周 所成的曲面稱為旋 轉曲面.,這