北京工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)第五章第三節(jié)矩陣的對角化.ppt

1、1,第三節(jié) 矩陣的對角化,一矩陣的對角化的概念 二矩陣的對角化判別與計算,2,一矩陣的對角化的概念,若n 階方陣A 與對角陣,相似，則稱 A 可對角化,若A 可對角化，則Am就比較容易計算了,問題：,如何判別一個方陣是否可對角化？若,能夠?qū)腔?，如何找可逆矩陣P？,定義：,3,二.矩陣可對角化的判別與計算,A可對角化 A,存在可逆矩陣,使得, A有n個線性無關(guān)的特征向量,4,由上面的討論可得矩陣A可對角化的充要條件 .,定理1：,n 階方陣A可對角化A 有n 個線性,無關(guān)的特征向量,上述定理告訴我們，找可逆矩陣P，使得,為對角陣，關(guān)鍵是找出A的n個線性,無關(guān)的特征向量滿足,此時令,則,5,是齊

2、次線性方程組,不同的特征值，,是否仍線性無關(guān)？,的一個基礎(chǔ)解系，,它們是A的線性無關(guān)的特征向量，,我們自然會想：,把這m組向量合在一起，即,問題：,如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣A有沒有n個,線性無關(guān)的特征向量？,6,定理2：,證：,線性無關(guān),于 線性無關(guān)的特征向量，則,設(shè),兩邊左乘A得,7,式兩邊乘以 得,以上兩式相減得,從而有,8,代入式得,線性無關(guān),從而,9,數(shù)域P上n 階矩陣A的屬于不同特征值,對于A的不同的特征值的個數(shù)作歸納，可得到,定理3：,是A的屬于 的,不同的特征值，,線性無關(guān),線性無關(guān)的特征向量， 則向量組,推論1：,的特征向量線性無關(guān)。,10,從定理3可得出如下結(jié)論：,是齊次線

3、性方程組,不同的特征值，,一定線性無關(guān),的一個基礎(chǔ)解系，,則A的特征向量組,11, 若,的特征向量，從而A不可以對角化；,則A沒有n個線性無關(guān), 若,特征向量，從而A可以對角化；此時令,則A有n個線性無關(guān)的,則P為n 階可逆矩陣，且,12,稱為 的相似標(biāo)準(zhǔn)型,注：除了主對角線元素排列次序外，A 的相似,標(biāo)準(zhǔn)型是被 A 唯一確定的。,特別地，,推論2：,數(shù)域P上n 階矩陣A若有n個互異的特,征值，則A 可對角化。,13,例1 已知,問A 是否可對角化，,若可以，求可逆矩陣P ，使得 為對角陣,解：,A 有兩個互異的特征值，故可對角化, 求矩陣A的特征值.,14,求A 的特征向量,的一個基礎(chǔ)解系是

4、,對于,求得齊次線性方程組,的一個基礎(chǔ)解系是,對于,求得齊次線性方程組,15,線性無關(guān)，令, P 可逆，且,16,例2 設(shè),(書P168例5. 3. 1),判斷A是否可對角化，若可對角化，,求可逆矩陣P ，使得 為對角陣,解：, 求A 的特征值,17,一個基礎(chǔ)解系為,求A 的特征向量,對于,求得齊次線性方程組,一個基礎(chǔ)解系為,對于,求得齊次線性方程組,18,因為3階矩陣 A 有3個線性無關(guān)的特征向量，,故A可對角化., 構(gòu)造可逆矩陣P,令,19,則,或者, 令,則,20, 令, 令,則,則,21,例3 判斷,(書P169例5.3.2),對,解：,為A 的特征值,對于,因為A 只有一個線性無關(guān)的特征向量, 故,A不能對角化.,22,例4 設(shè)二階方陣A滿足,其中,解：,求,是A的