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文檔簡(jiǎn)介
1、8.如圖3-1,甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng),當(dāng)乙走了100米以后,他們第一次相遇,在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng) 【分析與解】 注意觀察圖形,當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí),甲乙共走完圈的路程,當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí),甲乙共走完1+圈的路程 所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1:3,因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍,即1003=300米 有甲、乙第二次相遇時(shí),共行走(1圈60)+300,為圈,所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米行程問(wèn)題分類(lèi)例析 河北 歐陽(yáng)慶紅 行程問(wèn)題有相遇問(wèn)題,追及問(wèn)題,順流、逆
2、流問(wèn)題,上坡、下坡問(wèn)題等.在運(yùn)動(dòng)形式上分直線運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)用(如環(huán)形跑道). 相遇問(wèn)題是相向而行.相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離和.追及問(wèn)題是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)間,快的再追及,.順逆流、順風(fēng)逆風(fēng)、上下坡應(yīng)注意運(yùn)動(dòng)方向,去時(shí)順流,回時(shí)則為逆流.一、相遇問(wèn)題例1:兩地間的路程為360km,甲車(chē)從A地出發(fā)開(kāi)往B地,每小時(shí)行72km;甲車(chē)出發(fā)25分鐘后,乙車(chē)從B地出發(fā)開(kāi)往A地,每小時(shí)行使48km,兩車(chē)相遇后,各自按原來(lái)速度繼續(xù)行使,那么相遇以后,兩車(chē)相距100km時(shí),甲車(chē)從出發(fā)開(kāi)始共行駛了多少小時(shí)?分析:利用相遇問(wèn)題的關(guān)系式(相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離和)建立方程. 解答:設(shè)甲車(chē)共行
3、使了xh,則乙車(chē)行使了.(如圖1)圖1依題意,有72x+48=360+100,解得x=4.因此,甲車(chē)共行使了4h.說(shuō)明:本題兩車(chē)相向而行,相遇后繼續(xù)行使100km,仍屬相遇問(wèn)題中的距離,望讀者仔細(xì)體會(huì).例2:一架戰(zhàn)斗機(jī)的貯油量最多夠它在空中飛行4.6h,飛機(jī)出航時(shí)順風(fēng)飛行,在靜風(fēng)中的速度是575km/h,風(fēng)速25 km/h,這架飛機(jī)最多能飛出多少千米就應(yīng)返回?分析:列方程求解行程問(wèn)題中的順風(fēng)逆風(fēng)問(wèn)題.順風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度+風(fēng)速逆風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度-風(fēng)速解答:解法一:設(shè)這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出xkm就應(yīng)返回.依題意,有解得:x=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.解法二: 設(shè)飛機(jī)
4、順風(fēng)飛行時(shí)間為th.依題意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=6002.2=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.說(shuō)明:飛機(jī)順風(fēng)與逆風(fēng)的平均速度是575km/h,則有,解得x=1322.5.錯(cuò)誤原因在于飛機(jī)平均速度不是575km/h,而是例3:甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車(chē),環(huán)形公路長(zhǎng)為42km,甲、乙兩人的速度分別為21 km/h、14 km/h.(1) 如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)反向出發(fā),那么經(jīng)幾小時(shí)后,兩人首次相遇?(2) 如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā),那么出發(fā)后經(jīng)幾小時(shí)兩人第二次相遇?分析:這是環(huán)形跑道
5、的行程問(wèn)題.解答:(1)設(shè)經(jīng)過(guò)xh兩人首次相遇.依題意,得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此,經(jīng)過(guò)1.2小時(shí)兩人首次相遇.(3) 設(shè)經(jīng)過(guò)xh兩人第二次相遇.依題意,得21x-14x=422,解得:x=12.因此,經(jīng)過(guò)12h兩人第二次相遇.說(shuō)明:在封閉的環(huán)形跑道上同向運(yùn)動(dòng)屬追及問(wèn)題,反向運(yùn)動(dòng)屬相遇問(wèn)題.從同一地點(diǎn)出發(fā),相遇時(shí),追及路程或相隔路程就是環(huán)形道的周長(zhǎng),第二次相遇,追及路程為兩圈的周長(zhǎng).有趣的行程問(wèn)題【探究新知】例1、甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,甲每小時(shí)走6千米,乙每小時(shí)走4千米,問(wèn):二人幾小時(shí)后相遇?分析與解: 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米,以后兩人
6、的距離每小時(shí)都縮短6410(千米),即兩人的速度的和(簡(jiǎn)稱(chēng)速度和),所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇. 30(64)30103(小時(shí))答:3小時(shí)后兩人相遇.本題是一個(gè)典型的相遇問(wèn)題.在相遇問(wèn)題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系:路程速度和時(shí)間. 例2、如右下圖有一條長(zhǎng)方形跑道,甲從A點(diǎn)出發(fā),乙從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā),都按順時(shí)針?lè)较虮寂?,甲每秒?米,乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí),甲跑了多少圈?(第二屆希望杯試題)分析與解:這是一道環(huán)形路上追及問(wèn)題。在追及問(wèn)題問(wèn)題中有一個(gè)基本關(guān)系式:追擊路程=速度差追及時(shí)間。追及路程:106=16(米)速度差:54.5=0.5(米)追擊時(shí)間:160.5=32(秒
7、)甲跑了532(106)2=5(圈)答:甲跑了5圈。例3、一列貨車(chē)早晨6時(shí)從甲地開(kāi)往乙地,平均每小時(shí)行45千米,一列客車(chē)從乙地開(kāi)往甲地,平均每小時(shí)比貨車(chē)快15千米,已知客車(chē)比貨車(chē)遲發(fā)2小時(shí),中午12時(shí)兩車(chē)同時(shí)經(jīng)過(guò)途中某站,然后仍繼續(xù)前進(jìn),問(wèn):當(dāng)客車(chē)到達(dá)甲地時(shí),貨車(chē)離乙地還有多少千米?分析與解:貨車(chē)每小時(shí)行45千米,客車(chē)每小時(shí)比貨車(chē)快15千米,所以,客車(chē)速度為每小時(shí)(4515)千米;中午12點(diǎn)兩車(chē)相遇時(shí),貨車(chē)已行了(126)小時(shí),而客車(chē)已行(1262)小時(shí),這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后,再來(lái)求當(dāng)客車(chē)行完全程到達(dá)甲地時(shí),貨車(chē)離乙地的距離.解:甲、乙兩地之間的距離是: 45(126)(45
8、15)(1262)456604510(千米).客車(chē)行完全程所需的時(shí)間是: 510(4515)510608.5(小時(shí)).客車(chē)到甲地時(shí),貨車(chē)離乙地的距離: 51045(8.52)510472.537.5(千米).答:客車(chē)到甲地時(shí),貨車(chē)離乙地還有37.5千米.例4、兩列火車(chē)相向而行,甲車(chē)每小時(shí)行36千米,乙車(chē)每小時(shí)行54千米.兩車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí),甲車(chē)上一乘客發(fā)現(xiàn):從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗時(shí)開(kāi)始到乙車(chē)車(chē)尾經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗共用了14秒,求乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)?分析與解:首先應(yīng)統(tǒng)一單位:甲車(chē)的速度是每秒鐘36000360010(米),乙車(chē)的速度是每秒鐘54000360015(米).本題中,甲車(chē)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車(chē)乘客以每秒
9、鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng),乙車(chē)的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車(chē)車(chē)頭的運(yùn)動(dòng),因此,我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可:從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)甲車(chē)乘客的車(chē)窗這一時(shí)刻起,乙車(chē)車(chē)頭和甲車(chē)乘客開(kāi)始作反向運(yùn)動(dòng)14秒,每一秒鐘,乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客之間的距離都增大(1015)米,因此,14秒結(jié)束時(shí),車(chē)頭與乘客之間的距離為(1015)14350(米).又因?yàn)榧总?chē)乘客最后看到的是乙車(chē)車(chē)尾,所以,乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度,即:乙車(chē)車(chē)長(zhǎng)就等于甲、乙兩車(chē)在14秒內(nèi)所走的路程之和.解:(1015)14 350(米)答:乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為350米.例5、某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒,通過(guò)210米長(zhǎng)的隧
10、道用23秒,若該列車(chē)與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車(chē)相遇,錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒鐘?分析與解: 解這類(lèi)應(yīng)用題,首先應(yīng)明確幾個(gè)概念:列車(chē)通過(guò)隧道指的是從車(chē)頭進(jìn)入隧道算起到車(chē)尾離開(kāi)隧道為止.因此,這個(gè)過(guò)程中列車(chē)所走的路程等于車(chē)長(zhǎng)加隧道長(zhǎng);兩車(chē)相遇,錯(cuò)車(chē)而過(guò)指的是從兩個(gè)列車(chē)的車(chē)頭相遇算起到他們的車(chē)尾分開(kāi)為止,這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車(chē)頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,這兩個(gè)列車(chē)在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車(chē)長(zhǎng)之和.因此,錯(cuò)車(chē)時(shí)間就等于車(chē)長(zhǎng)之和除以速度之和。列車(chē)通過(guò)250米的隧道用25秒,通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒,所以列車(chē)行駛的路程為(250210)米時(shí),所用的時(shí)間為(2523)秒.由此可
11、求得列車(chē)的車(chē)速為(250210)(2523)20(米/秒).再根據(jù)前面的分析可知:列車(chē)在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車(chē)長(zhǎng),因此,這個(gè)列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為2025250250(米),從而可求出錯(cuò)車(chē)時(shí)間。解:根據(jù)另一個(gè)列車(chē)每小時(shí)走72千米,所以,它的速度為:72000360020(米/秒),某列車(chē)的速度為:(250210)(2523)40220(米/秒)某列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為:2025-250500-250250(米)兩列車(chē)的錯(cuò)車(chē)時(shí)間為:(250150)(2020)4004010(秒).答:錯(cuò)車(chē)時(shí)間為10秒.例6、甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時(shí)沿筆直的公路乘車(chē)相向而行,各自前往B地、A地。甲每
12、小時(shí)行32千米,乙每小時(shí)行48千米。甲、乙各有一個(gè)對(duì)講機(jī),當(dāng)他們之間的距離小于20千米時(shí),兩人可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問(wèn): (1)兩人出發(fā)后多久可以開(kāi)始用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)? (2)他們用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)后,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇?(3)他們可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長(zhǎng)時(shí)間?(第四屆希望杯試題)分析與解:(1)(260-20)(32+48)=3(小時(shí))。 (2)20(32+48)=0.25(小時(shí))。 (3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20千米也用0.25小時(shí)所以他們一共可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò) 0.25+0.25=0.5(小時(shí))。 例7、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行,兩車(chē)在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車(chē)仍以原速繼續(xù)行駛,并
13、且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后,立即沿原路返回,途中兩車(chē)在距A地48千米處第二次相遇,問(wèn)兩次相遇點(diǎn)相距多少千米?分析與解:甲、乙兩車(chē)共同走完一個(gè)AB全程時(shí),乙車(chē)走了64千米,從上圖可以看出:它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程,因此,我們可以理解為乙車(chē)共走了3個(gè)64千米,再由上圖可知:減去一個(gè)48千米后,正好等于一個(gè)AB全程.解:AB間的距離是 6434819248144(千米).兩次相遇點(diǎn)的距離為 144486432(千米).答:兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例8趙伯伯為鍛煉身體,每天步行3小時(shí),他先走平路,然后上山,最后又回沿原路返回,假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米,上山每小時(shí)行3千米,下山每小時(shí)行
14、6千米,在每天鍛煉中,他共行走多少米?(第五屆希望杯試題)分析與解:趙伯伯上山和下山走的路程相同,上山速度為3千米,下山速度為6千米,上山與下山的平均速度是多少?(這是一個(gè)易錯(cuò)題)可以通過(guò)“設(shè)數(shù)”的方法讓四年級(jí)同學(xué)明白。設(shè)上山路程為6千米,(想一想為什么設(shè)6千米?還可以設(shè)幾千米?)上山時(shí)間為:63=2(時(shí))下山時(shí)間為:66=1(時(shí))上下山的平均速度為:(66)(21)=4千米又因?yàn)槠铰返乃俣纫矠?千米/小時(shí),所以趙伯伯每天鍛煉走的路程為:43=12千米?!咎魬?zhàn)自我】1、小明、小華和小新三人家在同一條街道上,小明家在小華家西300米處,小新家在小明家東400米處,則小華家和小新家相距多少米?(第
15、三屆希望杯試題)答案:畫(huà)圖得100米。2、小明家離學(xué)校2千米,小光家離學(xué)校3千米,小明和小光的家相距多少千米?(第一屆希望杯試題)答案:1千米與5千米之間。分類(lèi)討論,一題多解。 當(dāng)小明家與小光家在同一側(cè)時(shí),距離最近為1千米。 當(dāng)小明家與小光家方向相反時(shí),距離最遠(yuǎn)為5千米。但是小明和小光家可能不在一條直線上,所以小明與小光家的距離應(yīng)在1千米至5千米之間。3、甲乙兩個(gè)港口相距400千米,一艘輪船從甲港順流而下,20小時(shí)可到達(dá)乙港。已知順?biāo)偈悄嫠俚?倍。有一次,這艘船在由甲港駛向乙港途中遇到突發(fā)事件,反向航行一段距離后,再掉頭駛向乙港,結(jié)果晚到9個(gè)小時(shí)。輪船的這次航行比正常情況多行駛了多少千
16、米?(第四屆希望杯試題)答案:順?biāo)俣仁?0020=20(千米)逆水速度是202=10(千米)反向航行一段距離順?biāo)畷r(shí)用的時(shí)間是9(21)=3(小時(shí))比正常情況多行駛的路程是2032=120(千米)4、兩列相同而行的火車(chē)恰好在某站臺(tái)相遇。如果甲列車(chē)長(zhǎng)225米,每秒行駛25米,乙列車(chē)每秒行駛20米,甲、乙兩列車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)間是9秒。求:(1)乙列車(chē)長(zhǎng)多少米?(2)甲列車(chē)通過(guò)這個(gè)站臺(tái)用多少秒?(3)坐在甲列車(chē)上的小明看到乙列車(chē)通過(guò)用了多少秒?(第二屆希望杯試題)答案:(1)乙列車(chē)長(zhǎng)180米(2)甲列車(chē)通過(guò)這個(gè)站臺(tái)用多9秒(3)坐在甲列車(chē)上的小明看到乙列車(chē)通過(guò)用了4秒5、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地沿相同的方
17、向行駛,甲車(chē)如果每小時(shí)行60千米,則5小時(shí)可追上前方的乙車(chē);如果每小時(shí)行駛70千米,則3小時(shí)可追上前方的乙車(chē)。由上可知,乙車(chē)每小時(shí)行駛多少千米?(第三屆希望杯試題)答案:乙車(chē)每小時(shí)行駛45千米?!揪C合練習(xí)】1、甲、乙兩車(chē)分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā),相向而行,已知甲車(chē)到達(dá)B城需4小時(shí),乙車(chē)到達(dá)A城需6小時(shí),問(wèn):兩車(chē)出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇?答案:240(24042406)2.4(小時(shí)).2、小明家在學(xué)校東400米處,小紅加在小明家的西200米處,那么小紅家距離學(xué)校多少米? (第三屆希望杯試題)答案:畫(huà)圖解題,小紅家距學(xué)校200米。3、甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而
18、行,他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米,相遇后二人繼續(xù)前進(jìn),走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回,在距B地3千米處第二次相遇,求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離?答案:A、B兩地間的距離: 4339(千米). 兩次相遇點(diǎn)的距離:9432(千米).4、周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步,王老師每分鐘走55米,周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長(zhǎng)是480米,他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行。在他們第10次相遇后,王老師再走多少米就回到出發(fā)點(diǎn)?(第四屆希望杯試題)答案:幾分鐘相遇一次:480(5565)=4(分鐘)10次相遇共用:410=40(分鐘)王老師40分鐘行了:5540=2200(米)2200480=4(圈)280(米
19、)所以正好走了4圈還多280米,480280=200(米)答:再走200米回到出發(fā)點(diǎn)。5、“希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”兩列火車(chē)相向而行,“希望號(hào)”車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)280米,“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)385米,坐在“希望號(hào)”車(chē)上的小明看見(jiàn)“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)駛過(guò)的時(shí)間是11秒,求:(1)“希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)的速度和? (2)坐在“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)上的小強(qiáng)看見(jiàn)“希望號(hào)”車(chē)駛過(guò)的時(shí)間? (3)兩列火車(chē)的會(huì)車(chē)的時(shí)間?答案:(1)速度和35米/秒;(2)8秒;(3)會(huì)車(chē)時(shí)間19秒。5小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回),他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇,在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他
20、們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)?解:畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍,因此張走了3.5310.5(千米).從圖上可看出,第二次相遇處離乙村2千米.因此,甲、乙兩村距離是10.5-28.5(千米).每次要再相遇,兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí),兩人已共同走了兩村距離(322)倍的行程.其中張走了3.5724.5(千米),24.5=8.58.57.5(千米).就知道第四次相遇處,離乙村8.5-7.5=1(千米).答:第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.35甲、乙、丙是一條路上的三個(gè)車(chē)站,乙站到甲、丙兩站的距離相等,小強(qiáng)和小明同時(shí)分別從甲
21、、丙兩站出發(fā)相向而行,小強(qiáng)經(jīng)過(guò)乙站100米時(shí)與小明相遇,然后兩人又繼續(xù)前進(jìn),小強(qiáng)走到丙站立即返回,經(jīng)過(guò)乙站300米時(shí)又追上小明,問(wèn):甲、乙兩站的距離是多少米?先畫(huà)圖如下:分析與解:結(jié)合上圖,我們可以把上述運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段來(lái)考察:第一階段從出發(fā)到二人相遇:小強(qiáng)走的路程=一個(gè)甲、乙距離+100米,小明走的路程=一個(gè)甲、乙距離-100米。第二階段從他們相遇到小強(qiáng)追上小明,小強(qiáng)走的路程=2個(gè)甲、乙距離-100米+300米=2個(gè)甲、乙距離+200米, 小明走的路程=100+300=400(米)。從小強(qiáng)在兩個(gè)階段所走的路程可以看出:小強(qiáng)在第二階段所走的路是第一階段的2倍,所以,小明第二階段所走的路也是第一
22、階段的2倍,即第一階段應(yīng)走4002200(米),從而可求出甲、乙之間的距離為200100=300(米)。47、現(xiàn)在是3點(diǎn),什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合?分析與解:3點(diǎn)時(shí)分針指12,時(shí)針指3。分針在時(shí)針后5315(個(gè))格.48、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整。那么,經(jīng)過(guò)多少分鐘,分針與時(shí)針第一次重合;再經(jīng)過(guò)多少分鐘,分針與時(shí)針第二次重合?解:10時(shí)整,分針與時(shí)針距離是10格,需要追擊的距離是(60-10)格,分針走60格,時(shí)針走5格,即分針走1格,時(shí)針走5/60=1/12格。第一次重合經(jīng)過(guò) (60-10)/(1-1/12)=54(6/11)(分)第二次重合再經(jīng)過(guò)60/(1-1/12)=65(5/11
23、)(分)答:經(jīng)過(guò)54(6/11)分鐘,分針與時(shí)針第一次重合;再經(jīng)過(guò)65(5/11)分鐘,分針與時(shí)針第二次重合。2點(diǎn)鐘以后,什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角?分析與解:在2點(diǎn)整時(shí),分針落后時(shí)針52=10(個(gè))格,當(dāng)分針與時(shí)針第一次成直角時(shí),分針超過(guò)時(shí)針60(90360)=15(個(gè))格,因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走10+15=25(個(gè))格,所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為:49、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻,分針與時(shí)針在一條直線上?分析與解:分兩種情況進(jìn)行討論。分針與時(shí)針的夾角為180角:當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180角時(shí),分針落后時(shí)針60(180360)=30(個(gè))格,而在9點(diǎn)整時(shí),分針落后時(shí)針59=
24、45(個(gè))格.因此,在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走45-30=15(個(gè))格,而每分鐘分針比時(shí)針多走(分鐘)。分針與時(shí)針的夾角為0,即分針與時(shí)針重合:9點(diǎn)整時(shí),分針落后時(shí)針59=45(個(gè))格,而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí),分針要比時(shí)針多走45個(gè)格,因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為:45(1-1/12)49又1/11(分鐘)19、甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),如果兩人同向而行,甲26分鐘趕上乙;如果兩人相向而行,6分鐘可相遇,又已知乙每分鐘行50米,求A、B兩地的距離。解:先畫(huà)圖如下:【方法一】 若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C,甲追及乙的地點(diǎn)為D,則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘,因此,
25、甲走C到D之間的路程時(shí),所用時(shí)間應(yīng)為:(26-6)=20(分)。同時(shí),由上圖可知,C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和,為50(266)=1600(米).所以,甲的速度為16002080(米/分),由此可求出A、B間的距離。50(26+6)(26-6)=50322080(米/分)(80+50)61306=780(米)答:A、B間的距離為780米?!痉椒ǘ吭O(shè)甲的速度是x米/分鐘那么有(x-50)26=(x+50)6解得x=80所以?xún)傻鼐嚯x為(80+50)6=780米5小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā),在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回
26、),他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇,在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)?解:畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍,因此張走了3.5310.5(千米).從圖上可看出,第二次相遇處離乙村2千米.因此,甲、乙兩村距離是10.5-28.5(千米).每次要再相遇,兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí),兩人已共同走了兩村距離(322)倍的行程.其中張走了3.5724.5(千米),24.5=8.58.57.5(千米).就知道第四次相遇處,離乙村8.5-7.5=1(千米).答:第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.例20 從甲市
27、到乙市有一條公路,它分成三段.在第一段上,汽車(chē)速度是每小時(shí)40千米,在第二段上,汽車(chē)速度是每小時(shí)90千米,在第三段上,汽車(chē)速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車(chē)分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā),相向而行.1小時(shí)20分后,在第二段的1/3處(從甲方到乙方向的1/3處)相遇,那么,甲、乙兩市相距多少千米?解一:畫(huà)出如下示意圖:當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車(chē)走完第三段到C時(shí),從甲城出發(fā)的汽車(chē)走完第一段的到達(dá)D處,這樣,D把第一段分成兩部分兩車(chē)在第二段的1/3處相遇,水明甲城汽車(chē)從D到E走完第一段,與乙城汽車(chē)走完第二段的1/3從C到F,所用時(shí)間相同,設(shè)這一時(shí)間為一份,一小時(shí)20分相當(dāng)于因
28、此就知道,汽車(chē)在第一段需要第二段需要 30390(分鐘);甲、乙兩市距離是答:甲、乙兩市相距185千米.把每輛車(chē)從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段,而兩車(chē)逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類(lèi)似思路,僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.解二:走第一段的2/5,與走第三段時(shí)間一樣就得出第一段所用時(shí)間第三段所用時(shí)間=52.D至E與C至F所用時(shí)間一樣,就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時(shí)間一樣。第一段所用時(shí)間第二段所用時(shí)間=59.因此,三段路程所用時(shí)間的比是:592.行程問(wèn)題(三)相遇問(wèn)題是指兩個(gè)物
29、體在行進(jìn)過(guò)程中相向而行,然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為:總路程=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過(guò)程中同向而行,快行者從后面追上慢行者的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為:路程差=速度差追及時(shí)間例1 姐姐放學(xué)回家,以每分鐘80米的速度步行回家,12分鐘后妹妹騎車(chē)以每分鐘240米的速度從學(xué)校往家中騎,經(jīng)過(guò)幾分鐘妹妹可以追上姐姐?分析:經(jīng)過(guò)12分鐘,姐姐到達(dá)A地,妹妹騎車(chē)回家。如下圖所示:例2 一輛公共汽車(chē)和一輛小轎車(chē)同時(shí)從相距360千米的兩地相向而行,公共汽車(chē)每小時(shí)行35千米,小轎車(chē)每小時(shí)行55千米,幾小時(shí)后兩車(chē)相距90千米?分析:兩車(chē)從相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,
30、距離逐漸縮短,在相遇前某一時(shí)刻兩車(chē)相距90千米。如下圖這時(shí)兩車(chē)共行的路程為36090=270(千米)值得注意的是,當(dāng)兩車(chē)相遇后繼續(xù)行駛時(shí),兩車(chē)之間的距離又從零逐漸增大,到某一時(shí)刻,兩車(chē)再一次相距90千米。如下圖所示例3 兄弟兩人騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時(shí)行15千米,弟弟每小時(shí)行10千米。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后哥哥因事返回學(xué)校,到學(xué)校后又耽擱了1小時(shí),然后動(dòng)身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時(shí),距學(xué)校多少千米?分析:本題可以分段考慮,從開(kāi)始一步步分析。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后,哥哥因事返回學(xué)校,在這個(gè)過(guò)程中哥哥和弟弟各行了1小時(shí),到學(xué)校后哥哥又耽擱了1小時(shí),這時(shí)弟弟又行了1小時(shí)。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追
31、弟弟時(shí),弟弟共行了2小時(shí),弟弟2小時(shí)所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差,由此可求出追及時(shí)間。例4 小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行,兩人在離甲地40米處第一次相遇,相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛,并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回,途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米?分析:根據(jù)題意畫(huà)圖如下例5 在周長(zhǎng)為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端,甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車(chē)同時(shí)同向出發(fā)(順時(shí)針)沿圓周行駛,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,甲第二次追上乙?分析:如圖,在出發(fā)的時(shí)候,甲、乙兩人相距半個(gè)周長(zhǎng),根據(jù)路程差速度差=追及時(shí)間,就可求出甲第一次追上乙的時(shí)間。當(dāng)甲追上
32、乙后,兩人就可以看作同時(shí)同地出發(fā),同向而行。甲要追上乙,就要比乙多騎一圈400米,從而可求出甲第二次追上乙的時(shí)間。例6 客車(chē)、貨車(chē)、卡車(chē)三輛車(chē),客車(chē)每小時(shí)行60千米,貨車(chē)每小時(shí)行50千米,卡車(chē)每小時(shí)行55千米??蛙?chē)、貨車(chē)從東鎮(zhèn),卡車(chē)從西鎮(zhèn),同時(shí)相向而行,卡車(chē)遇上客車(chē)后,10小時(shí)后又遇上了貨車(chē)。東西兩鎮(zhèn)相距多少千米?分析:根據(jù)題意畫(huà)圖當(dāng)卡車(chē)與客車(chē)在A點(diǎn)相遇時(shí),而貨車(chē)行到B點(diǎn),10小時(shí)后,卡車(chē)又遇到貨車(chē),說(shuō)明在10小時(shí)內(nèi)卡車(chē)與貨車(chē)合行路程是(卡車(chē)與客車(chē)相遇時(shí))客車(chē)與貨車(chē)所行的路程差??蛙?chē)與貨車(chē)相差A(yù)B的路程所用的時(shí)間就是卡車(chē)與客車(chē)的相遇時(shí)間。例7 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛,兩個(gè)孩子嫌扶梯走
33、得太慢,于是在行駛的扶梯上,男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí),女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá),女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí),可看到的扶梯級(jí)有:A80級(jí) B100級(jí) C120級(jí) D140級(jí) (2005年中央真題)解析;這是一個(gè)典型的行程問(wèn)題的變型,總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)”,速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)”,如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X,則可列方程如下,(X+2)40=(X+3/2)50解得 X=0.5 也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)數(shù)=(2+0.5)40=100所以,答案為B。例8 姐弟倆出游,弟弟先走一步,每分鐘走40米,走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走
34、60米,姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐,碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟,這樣跑來(lái)跑去,直到姐弟相遇小狗才停下來(lái)。問(wèn)小狗共跑了多少米? A600米 B800米 C1200米 D1600米 (2003年中央A類(lèi))解析:此題將追及問(wèn)題和一般路程問(wèn)題結(jié)合起來(lái),是一道經(jīng)典習(xí)題。首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟,速度差=60米/分-40米/=20米/分,追擊距離=80米,所以,姐姐只要80米20米/分=4分種即可追上弟弟,在這4種內(nèi),小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài),所以小狗跑的路程=150米/分4分=600米。所以,正確答案為A。練習(xí):甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)出發(fā),相向而行。甲每小時(shí)行6千米
35、,乙每小時(shí)行4千米,甲帶著一只狗,狗每小時(shí)跑12千米,這只狗同甲一道出發(fā),;碰到乙的時(shí)候,它就掉頭朝甲這邊跑,碰到甲時(shí)又往乙那邊跑,直到兩人相遇,這只狗一共跑了多少千米?例9 某校下午2點(diǎn)整派車(chē)去某廠接勞模作報(bào)告,往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來(lái),途中遇到接他的車(chē),便坐上車(chē)去學(xué)校,于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問(wèn)汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的幾倍? A5倍 B6倍 C7倍 D8倍 (2003年中央B類(lèi))解析, 如果接勞模往返需1小時(shí),而實(shí)際上汽車(chē)2點(diǎn)出發(fā),30分鐘便回來(lái),這說(shuō)明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn),也即勞模以步行速度(時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分)走的距離和汽車(chē)所行的距離(2點(diǎn)到2點(diǎn)15分)相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí),汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的X倍,則可列方程5/4A=1/4AX 解得 X=5所以,正確答案為A。例1
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