行程問(wèn)題經(jīng)典例題

1、8.如圖3-1，甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng) 【分析與解】 注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙共走完圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙共走完1+圈的路程 所以從開(kāi)始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為1：3，因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走的總路程的3倍，即1003=300米 有甲、乙第二次相遇時(shí)，共行走(1圈60)+300，為圈，所以此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為480米行程問(wèn)題分類(lèi)例析 河北 歐陽(yáng)慶紅 行程問(wèn)題有相遇問(wèn)題，追及問(wèn)題，順流、逆

2、流問(wèn)題，上坡、下坡問(wèn)題等.在運(yùn)動(dòng)形式上分直線運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)用(如環(huán)形跑道). 相遇問(wèn)題是相向而行.相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離和.追及問(wèn)題是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)間,快的再追及,.順逆流、順風(fēng)逆風(fēng)、上下坡應(yīng)注意運(yùn)動(dòng)方向，去時(shí)順流，回時(shí)則為逆流.一、相遇問(wèn)題例1：兩地間的路程為360km，甲車(chē)從A地出發(fā)開(kāi)往B地，每小時(shí)行72km；甲車(chē)出發(fā)25分鐘后，乙車(chē)從B地出發(fā)開(kāi)往A地，每小時(shí)行使48km，兩車(chē)相遇后，各自按原來(lái)速度繼續(xù)行使，那么相遇以后，兩車(chē)相距100km時(shí)，甲車(chē)從出發(fā)開(kāi)始共行駛了多少小時(shí)？分析：利用相遇問(wèn)題的關(guān)系式（相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離和）建立方程. 解答：設(shè)甲車(chē)共行

3、使了xh，則乙車(chē)行使了.（如圖1）圖1依題意，有72x+48=360+100,解得x=4.因此，甲車(chē)共行使了4h.說(shuō)明：本題兩車(chē)相向而行，相遇后繼續(xù)行使100km，仍屬相遇問(wèn)題中的距離，望讀者仔細(xì)體會(huì).例2:一架戰(zhàn)斗機(jī)的貯油量最多夠它在空中飛行4.6h,飛機(jī)出航時(shí)順風(fēng)飛行,在靜風(fēng)中的速度是575km/h,風(fēng)速25 km/h,這架飛機(jī)最多能飛出多少千米就應(yīng)返回?分析:列方程求解行程問(wèn)題中的順風(fēng)逆風(fēng)問(wèn)題.順風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度+風(fēng)速逆風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度-風(fēng)速解答:解法一:設(shè)這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出xkm就應(yīng)返回.依題意，有解得:x=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.解法二: 設(shè)飛機(jī)

4、順風(fēng)飛行時(shí)間為th.依題意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=6002.2=1320.答:這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.說(shuō)明:飛機(jī)順風(fēng)與逆風(fēng)的平均速度是575km/h,則有,解得x=1322.5.錯(cuò)誤原因在于飛機(jī)平均速度不是575km/h,而是例3:甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車(chē)，環(huán)形公路長(zhǎng)為42km，甲、乙兩人的速度分別為21 km/h、14 km/h.(1) 如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)反向出發(fā)，那么經(jīng)幾小時(shí)后,兩人首次相遇?(2) 如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，那么出發(fā)后經(jīng)幾小時(shí)兩人第二次相遇?分析:這是環(huán)形跑道

5、的行程問(wèn)題.解答:(1)設(shè)經(jīng)過(guò)xh兩人首次相遇.依題意,得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此,經(jīng)過(guò)1.2小時(shí)兩人首次相遇.(3) 設(shè)經(jīng)過(guò)xh兩人第二次相遇.依題意,得21x-14x=422,解得:x=12.因此,經(jīng)過(guò)12h兩人第二次相遇.說(shuō)明:在封閉的環(huán)形跑道上同向運(yùn)動(dòng)屬追及問(wèn)題，反向運(yùn)動(dòng)屬相遇問(wèn)題.從同一地點(diǎn)出發(fā),相遇時(shí),追及路程或相隔路程就是環(huán)形道的周長(zhǎng),第二次相遇,追及路程為兩圈的周長(zhǎng).有趣的行程問(wèn)題【探究新知】例1、甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問(wèn)：二人幾小時(shí)后相遇？分析與解： 出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人

6、的距離每小時(shí)都縮短6410（千米），即兩人的速度的和（簡(jiǎn)稱(chēng)速度和），所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇. 30（64）30103（小時(shí)）答：3小時(shí)后兩人相遇.本題是一個(gè)典型的相遇問(wèn)題.在相遇問(wèn)題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系：路程速度和時(shí)間. 例2、如右下圖有一條長(zhǎng)方形跑道，甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按順時(shí)針?lè)较虮寂?，甲每秒?米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，甲跑了多少圈？（第二屆希望杯試題）分析與解：這是一道環(huán)形路上追及問(wèn)題。在追及問(wèn)題問(wèn)題中有一個(gè)基本關(guān)系式：追擊路程=速度差追及時(shí)間。追及路程：106=16（米）速度差：54.5=0.5（米）追擊時(shí)間：160.5=32（秒

7、）甲跑了532（106）2=5（圈）答：甲跑了5圈。例3、一列貨車(chē)早晨6時(shí)從甲地開(kāi)往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，平均每小時(shí)比貨車(chē)快15千米，已知客車(chē)比貨車(chē)遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車(chē)同時(shí)經(jīng)過(guò)途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)：當(dāng)客車(chē)到達(dá)甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地還有多少千米？分析與解：貨車(chē)每小時(shí)行45千米，客車(chē)每小時(shí)比貨車(chē)快15千米，所以，客車(chē)速度為每小時(shí)（4515）千米；中午12點(diǎn)兩車(chē)相遇時(shí)，貨車(chē)已行了（126）小時(shí)，而客車(chē)已行（1262）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來(lái)求當(dāng)客車(chē)行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地的距離.解：甲、乙兩地之間的距離是： 45（126）（45

8、15）（1262）456604510（千米）.客車(chē)行完全程所需的時(shí)間是： 510（4515）510608.5（小時(shí)）.客車(chē)到甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地的距離： 51045（8.52）510472.537.5（千米）.答：客車(chē)到甲地時(shí)，貨車(chē)離乙地還有37.5千米.例4、兩列火車(chē)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行36千米，乙車(chē)每小時(shí)行54千米.兩車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)，甲車(chē)上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗時(shí)開(kāi)始到乙車(chē)車(chē)尾經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗共用了14秒，求乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)？分析與解：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車(chē)的速度是每秒鐘36000360010（米），乙車(chē)的速度是每秒鐘54000360015（米）.本題中，甲車(chē)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車(chē)乘客以每秒

9、鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車(chē)的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車(chē)車(chē)頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)甲車(chē)乘客的車(chē)窗這一時(shí)刻起，乙車(chē)車(chē)頭和甲車(chē)乘客開(kāi)始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客之間的距離都增大（1015）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車(chē)頭與乘客之間的距離為（1015）14350（米）.又因?yàn)榧总?chē)乘客最后看到的是乙車(chē)車(chē)尾，所以，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度，即：乙車(chē)車(chē)長(zhǎng)就等于甲、乙兩車(chē)在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：（1015）14 350（米）答：乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為350米.例5、某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧

10、道用23秒，若該列車(chē)與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒鐘？分析與解： 解這類(lèi)應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車(chē)通過(guò)隧道指的是從車(chē)頭進(jìn)入隧道算起到車(chē)尾離開(kāi)隧道為止.因此，這個(gè)過(guò)程中列車(chē)所走的路程等于車(chē)長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)指的是從兩個(gè)列車(chē)的車(chē)頭相遇算起到他們的車(chē)尾分開(kāi)為止，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車(chē)頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這兩個(gè)列車(chē)在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車(chē)長(zhǎng)之和.因此，錯(cuò)車(chē)時(shí)間就等于車(chē)長(zhǎng)之和除以速度之和。列車(chē)通過(guò)250米的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，所以列車(chē)行駛的路程為（250210）米時(shí)，所用的時(shí)間為（2523）秒.由此可

11、求得列車(chē)的車(chē)速為（250210）（2523）20（米/秒）.再根據(jù)前面的分析可知：列車(chē)在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車(chē)長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為2025250250（米），從而可求出錯(cuò)車(chē)時(shí)間。解：根據(jù)另一個(gè)列車(chē)每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000360020（米/秒），某列車(chē)的速度為：（250210）（2523）40220（米/秒）某列車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為：2025-250500-250250（米）兩列車(chē)的錯(cuò)車(chē)時(shí)間為：（250150）（2020）4004010（秒）.答：錯(cuò)車(chē)時(shí)間為10秒.例6、甲、乙兩人分別從相距260千米的A、B兩地同時(shí)沿筆直的公路乘車(chē)相向而行，各自前往B地、A地。甲每

12、小時(shí)行32千米，乙每小時(shí)行48千米。甲、乙各有一個(gè)對(duì)講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于20千米時(shí)，兩人可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問(wèn)： (1)兩人出發(fā)后多久可以開(kāi)始用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)? (2)他們用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇?(3)他們可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長(zhǎng)時(shí)間?（第四屆希望杯試題）分析與解：(1)(260-20)(32+48)=3(小時(shí))。 (2)20(32+48)=0.25(小時(shí))。 (3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20千米也用0.25小時(shí)所以他們一共可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò) 0.25+0.25=0.5(小時(shí))。 例7、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車(chē)在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車(chē)仍以原速繼續(xù)行駛，并

13、且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車(chē)在距A地48千米處第二次相遇，問(wèn)兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？分析與解：甲、乙兩車(chē)共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車(chē)走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車(chē)共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：AB間的距離是 6434819248144（千米）.兩次相遇點(diǎn)的距離為 144486432（千米）.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例8趙伯伯為鍛煉身體，每天步行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米，上山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行

14、6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少米？（第五屆希望杯試題）分析與解：趙伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度為3千米，下山速度為6千米，上山與下山的平均速度是多少？（這是一個(gè)易錯(cuò)題）可以通過(guò)“設(shè)數(shù)”的方法讓四年級(jí)同學(xué)明白。設(shè)上山路程為6千米，（想一想為什么設(shè)6千米？還可以設(shè)幾千米？）上山時(shí)間為：63=2（時(shí)）下山時(shí)間為：66=1（時(shí)）上下山的平均速度為：（66）（21）=4千米又因?yàn)槠铰返乃俣纫矠?千米/小時(shí)，所以趙伯伯每天鍛煉走的路程為：43=12千米?！咎魬?zhàn)自我】1、小明、小華和小新三人家在同一條街道上，小明家在小華家西300米處，小新家在小明家東400米處，則小華家和小新家相距多少米？（第

15、三屆希望杯試題）答案：畫(huà)圖得100米。2、小明家離學(xué)校2千米，小光家離學(xué)校3千米，小明和小光的家相距多少千米？（第一屆希望杯試題）答案：1千米與5千米之間。分類(lèi)討論，一題多解。 當(dāng)小明家與小光家在同一側(cè)時(shí)，距離最近為1千米。 當(dāng)小明家與小光家方向相反時(shí)，距離最遠(yuǎn)為5千米。但是小明和小光家可能不在一條直線上，所以小明與小光家的距離應(yīng)在1千米至5千米之間。3、甲乙兩個(gè)港口相距400千米，一艘輪船從甲港順流而下，20小時(shí)可到達(dá)乙港。已知順?biāo)偈悄嫠俚?倍。有一次，這艘船在由甲港駛向乙港途中遇到突發(fā)事件，反向航行一段距離后，再掉頭駛向乙港，結(jié)果晚到9個(gè)小時(shí)。輪船的這次航行比正常情況多行駛了多少千

16、米？（第四屆希望杯試題）答案：順?biāo)俣仁?0020=20（千米）逆水速度是202=10（千米）反向航行一段距離順?biāo)畷r(shí)用的時(shí)間是9（21）=3（小時(shí)）比正常情況多行駛的路程是2032=120（千米）4、兩列相同而行的火車(chē)恰好在某站臺(tái)相遇。如果甲列車(chē)長(zhǎng)225米，每秒行駛25米，乙列車(chē)每秒行駛20米，甲、乙兩列車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)間是9秒。求：（1）乙列車(chē)長(zhǎng)多少米？（2）甲列車(chē)通過(guò)這個(gè)站臺(tái)用多少秒？（3）坐在甲列車(chē)上的小明看到乙列車(chē)通過(guò)用了多少秒？（第二屆希望杯試題）答案：（1）乙列車(chē)長(zhǎng)180米（2）甲列車(chē)通過(guò)這個(gè)站臺(tái)用多9秒（3）坐在甲列車(chē)上的小明看到乙列車(chē)通過(guò)用了4秒5、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地沿相同的方

17、向行駛，甲車(chē)如果每小時(shí)行60千米，則5小時(shí)可追上前方的乙車(chē)；如果每小時(shí)行駛70千米，則3小時(shí)可追上前方的乙車(chē)。由上可知，乙車(chē)每小時(shí)行駛多少千米？（第三屆希望杯試題）答案：乙車(chē)每小時(shí)行駛45千米?！揪C合練習(xí)】1、甲、乙兩車(chē)分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車(chē)到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車(chē)到達(dá)A城需6小時(shí)，問(wèn)：兩車(chē)出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？答案：240（24042406）2.4（小時(shí)）.2、小明家在學(xué)校東400米處，小紅加在小明家的西200米處，那么小紅家距離學(xué)校多少米？ （第三屆希望杯試題）答案：畫(huà)圖解題，小紅家距學(xué)校200米。3、甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而

18、行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離？答案：A、B兩地間的距離： 4339（千米）. 兩次相遇點(diǎn)的距離：9432（千米）.4、周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長(zhǎng)是480米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而行。在他們第10次相遇后，王老師再走多少米就回到出發(fā)點(diǎn)？（第四屆希望杯試題）答案：幾分鐘相遇一次：480（5565）=4（分鐘）10次相遇共用：410=40（分鐘）王老師40分鐘行了：5540=2200（米）2200480=4（圈）280（米

19、）所以正好走了4圈還多280米，480280=200（米）答：再走200米回到出發(fā)點(diǎn)。5、“希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”兩列火車(chē)相向而行，“希望號(hào)”車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)280米，“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)385米，坐在“希望號(hào)”車(chē)上的小明看見(jiàn)“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)駛過(guò)的時(shí)間是11秒，求：（1）“希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)的速度和？ （2）坐在“奧運(yùn)號(hào)”車(chē)上的小強(qiáng)看見(jiàn)“希望號(hào)”車(chē)駛過(guò)的時(shí)間？ （3）兩列火車(chē)的會(huì)車(chē)的時(shí)間？答案：（1）速度和35米/秒；（2）8秒；（3）會(huì)車(chē)時(shí)間19秒。5小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他

20、們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.35甲、乙、丙是一條路上的三個(gè)車(chē)站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和小明同時(shí)分別從甲

21、、丙兩站出發(fā)相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過(guò)乙站100米時(shí)與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立即返回，經(jīng)過(guò)乙站300米時(shí)又追上小明，問(wèn)：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫(huà)圖如下：分析與解：結(jié)合上圖，我們可以把上述運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段來(lái)考察：第一階段從出發(fā)到二人相遇：小強(qiáng)走的路程=一個(gè)甲、乙距離+100米，小明走的路程=一個(gè)甲、乙距離-100米。第二階段從他們相遇到小強(qiáng)追上小明，小強(qiáng)走的路程=2個(gè)甲、乙距離-100米+300米=2個(gè)甲、乙距離+200米， 小明走的路程=100+300=400（米）。從小強(qiáng)在兩個(gè)階段所走的路程可以看出：小強(qiáng)在第二階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路也是第一

22、階段的2倍，即第一階段應(yīng)走4002200（米），從而可求出甲、乙之間的距離為200100=300（米）。47、現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？分析與解：3點(diǎn)時(shí)分針指12，時(shí)針指3。分針在時(shí)針后5315（個(gè)）格.48、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整。那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？解：10時(shí)整，分針與時(shí)針距離是10格，需要追擊的距離是（60-10）格，分針走60格，時(shí)針走5格，即分針走1格，時(shí)針走5/60=1/12格。第一次重合經(jīng)過(guò) （60-10）/（1-1/12）=54（6/11）（分）第二次重合再經(jīng)過(guò)60/（1-1/12）=65（5/11

23、）（分）答：經(jīng)過(guò)54（6/11）分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過(guò)65（5/11）分鐘，分針與時(shí)針第二次重合。2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？分析與解：在2點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針52=10（個(gè)）格，當(dāng)分針與時(shí)針第一次成直角時(shí)，分針超過(guò)時(shí)針60（90360）=15（個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走10+15=25（個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：49、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？分析與解：分兩種情況進(jìn)行討論。分針與時(shí)針的夾角為180角：當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180角時(shí)，分針落后時(shí)針60（180360）=30（個(gè)）格，而在9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針59=

24、45（個(gè)）格.因此，在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走45-30=15（個(gè)）格，而每分鐘分針比時(shí)針多走（分鐘）。分針與時(shí)針的夾角為0，即分針與時(shí)針重合：9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針59=45（個(gè)）格，而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)，分針要比時(shí)針多走45個(gè)格，因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：45(1-1/12)49又1/11（分鐘）19、甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。解：先畫(huà)圖如下：【方法一】 若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，

25、甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6）=20（分）。同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50（266）=1600（米）.所以，甲的速度為16002080（米/分），由此可求出A、B間的距離。50（26+6）（26-6）=50322080（米/分）（80+50）61306=780（米）答：A、B間的距離為780米?！痉椒ǘ吭O(shè)甲的速度是x米/分鐘那么有(x-50)26=(x+50)6解得x=80所以?xún)傻鼐嚯x為(80+50)6=780米5小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回

26、），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.例20 從甲市

27、到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車(chē)速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車(chē)速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車(chē)速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車(chē)分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的1/3處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？解一：畫(huà)出如下示意圖：當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車(chē)走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車(chē)走完第一段的到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分兩車(chē)在第二段的1/3處相遇，水明甲城汽車(chē)從D到E走完第一段，與乙城汽車(chē)走完第二段的1/3從C到F，所用時(shí)間相同，設(shè)這一時(shí)間為一份，一小時(shí)20分相當(dāng)于因

28、此就知道，汽車(chē)在第一段需要第二段需要 30390（分鐘）；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車(chē)從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車(chē)逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類(lèi)似思路，僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.解二：走第一段的2/5,與走第三段時(shí)間一樣就得出第一段所用時(shí)間第三段所用時(shí)間=52.D至E與C至F所用時(shí)間一樣，就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時(shí)間一樣。第一段所用時(shí)間第二段所用時(shí)間=59.因此，三段路程所用時(shí)間的比是：592.行程問(wèn)題（三）相遇問(wèn)題是指兩個(gè)物

29、體在行進(jìn)過(guò)程中相向而行，然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：總路程=速度和相遇時(shí)間追及問(wèn)題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過(guò)程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問(wèn)題。其主要數(shù)量關(guān)系式為：路程差=速度差追及時(shí)間例1 姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車(chē)以每分鐘240米的速度從學(xué)校往家中騎，經(jīng)過(guò)幾分鐘妹妹可以追上姐姐？分析：經(jīng)過(guò)12分鐘，姐姐到達(dá)A地，妹妹騎車(chē)回家。如下圖所示：例2 一輛公共汽車(chē)和一輛小轎車(chē)同時(shí)從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車(chē)每小時(shí)行35千米，小轎車(chē)每小時(shí)行55千米，幾小時(shí)后兩車(chē)相距90千米？分析：兩車(chē)從相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，

30、距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車(chē)相距90千米。如下圖這時(shí)兩車(chē)共行的路程為36090=270（千米）值得注意的是，當(dāng)兩車(chē)相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車(chē)之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車(chē)再一次相距90千米。如下圖所示例3 兄弟兩人騎自行車(chē)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時(shí)行15千米，弟弟每小時(shí)行10千米。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后哥哥因事返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽擱了1小時(shí)，然后動(dòng)身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時(shí)，距學(xué)校多少千米？分析：本題可以分段考慮，從開(kāi)始一步步分析。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后，哥哥因事返回學(xué)校，在這個(gè)過(guò)程中哥哥和弟弟各行了1小時(shí)，到學(xué)校后哥哥又耽擱了1小時(shí)，這時(shí)弟弟又行了1小時(shí)。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追

31、弟弟時(shí)，弟弟共行了2小時(shí)，弟弟2小時(shí)所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追及時(shí)間。例4 小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫(huà)圖如下例5 在周長(zhǎng)為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車(chē)同時(shí)同向出發(fā)（順時(shí)針）沿圓周行駛，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，甲第二次追上乙？分析：如圖，在出發(fā)的時(shí)候，甲、乙兩人相距半個(gè)周長(zhǎng)，根據(jù)路程差速度差=追及時(shí)間，就可求出甲第一次追上乙的時(shí)間。當(dāng)甲追上

32、乙后，兩人就可以看作同時(shí)同地出發(fā)，同向而行。甲要追上乙，就要比乙多騎一圈400米，從而可求出甲第二次追上乙的時(shí)間。例6 客車(chē)、貨車(chē)、卡車(chē)三輛車(chē)，客車(chē)每小時(shí)行60千米，貨車(chē)每小時(shí)行50千米，卡車(chē)每小時(shí)行55千米?？蛙?chē)、貨車(chē)從東鎮(zhèn)，卡車(chē)從西鎮(zhèn)，同時(shí)相向而行，卡車(chē)遇上客車(chē)后，10小時(shí)后又遇上了貨車(chē)。東西兩鎮(zhèn)相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫(huà)圖當(dāng)卡車(chē)與客車(chē)在A點(diǎn)相遇時(shí)，而貨車(chē)行到B點(diǎn)，10小時(shí)后，卡車(chē)又遇到貨車(chē)，說(shuō)明在10小時(shí)內(nèi)卡車(chē)與貨車(chē)合行路程是（卡車(chē)與客車(chē)相遇時(shí)）客車(chē)與貨車(chē)所行的路程差?？蛙?chē)與貨車(chē)相差A(yù)B的路程所用的時(shí)間就是卡車(chē)與客車(chē)的相遇時(shí)間。例7 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走

33、得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級(jí)有：A80級(jí) B100級(jí) C120級(jí) D140級(jí) （2005年中央真題）解析；這是一個(gè)典型的行程問(wèn)題的變型，總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X，則可列方程如下，（X+2）40=（X+3/2）50解得 X=0.5 也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)數(shù)=（2+0.5）40=100所以，答案為B。例8 姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走

34、60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來(lái)跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來(lái)。問(wèn)小狗共跑了多少米? A600米 B800米 C1200米 D1600米 （2003年中央A類(lèi)）解析：此題將追及問(wèn)題和一般路程問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，是一道經(jīng)典習(xí)題。首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分4分=600米。所以，正確答案為A。練習(xí)：甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行6千米

35、，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時(shí)跑12千米，這只狗同甲一道出發(fā)，；碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝甲這邊跑，碰到甲時(shí)又往乙那邊跑，直到兩人相遇，這只狗一共跑了多少千米？例9 某校下午2點(diǎn)整派車(chē)去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來(lái)，途中遇到接他的車(chē)，便坐上車(chē)去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問(wèn)汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的幾倍? A5倍 B6倍 C7倍 D8倍 （2003年中央B類(lèi)）解析， 如果接勞模往返需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車(chē)2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來(lái)，這說(shuō)明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車(chē)所行的距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程5/4A=1/4AX 解得 X=5所以，正確答案為A。例1