定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用.ppt

1、,四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充),二、體積,第二節(jié),一、 平面圖形的面積,三、 平面曲線的弧長,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,第六章,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,1.直角坐標(biāo)系情形,一、 平面圖形的面積,解,兩曲線的交點,面積元素,選 為積分變量,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,問題：,積分變量只能選 嗎？,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時得圓面積公式,例4. 求由擺線,的一拱與

2、 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,對應(yīng) 從 0 變,例5. 計算阿基米德螺線,解:,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,到2 所圍圖形面積 .,解,由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,解,利用對稱性知,心形線(外擺線的一種),即,點擊圖中任意點 動畫開始或暫停,尖點:,面積:,弧長:,參數(shù)的幾何意義,例. 計算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,

3、圓柱,圓錐,圓臺,二、體積,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積為,解,直線 方程為,例. 計算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對稱性),方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積,解,星形線,星形線是內(nèi)擺線的一種.,點擊圖片任意處 播放開始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動,時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線),解,分部積分,注,(利用“偶倍奇零”),補充,利用這個公式，可知上例中,例 求曲線,與 x 軸圍成的封閉圖形,繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.

4、,(94 考研),解: 利用對稱性 ,故旋轉(zhuǎn)體體積為,在第一象限,例 設(shè),在 x0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,解,體積元素為,2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)定軸為x軸，所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標(biāo)系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,三、平面曲線弧長,定理: 任意光滑曲線

5、弧都是可求長的.,并稱此曲線弧為可求長的.,弧長元素,弧長,1、直角坐標(biāo)情形,曲線弧為,弧長,2、參數(shù)方程情形,曲線弧為,弧長,3.、極坐標(biāo)情形,解,所求弧長為,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對稱性,第一象限部分的弧長,例15. 擺線,一拱,的弧長 .,解:,解,證,根據(jù)橢圓的對稱性知,故原結(jié)論成立.,解,例. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長.,解,例. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,成懸鏈線 .,求這一段弧長 .,解:,下垂,懸鏈線方程為,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充),設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,取側(cè)面積元素:,側(cè)面積元

6、素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積S 的,注意:,側(cè)面積為,例. 計算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .,解: 對曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺高 h2R 時, 得球的表面積公式,例. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .,解: 利用對稱性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小,五、小結(jié),3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,

7、旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸 :,4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積元素為,(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式),繞 y 軸 :,(柱殼法),思考題1,思考題1解答,兩邊同時對 求導(dǎo),積分得,所以所求曲線為,思考題2,解答,交點,立體體積,思考題3,不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長,解答,思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .,提示: 交點為,弧線段部分,直線段部分,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,故以 y 為積分變量.,2. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,提示:,方法1 利用對稱性,旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .,方法2 用柱殼法,說明: 上式可變形為,此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).,求側(cè)面積 :,利用對稱性,上式也可寫成,它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.,練 習(xí) 題1,練習(xí)題1答案,練 習(xí) 題2,練習(xí)題2答案,練 習(xí) 題3,練習(xí)題3答案,備用題,解：,1. 求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其它.,又,故在區(qū)域,分析曲線特點,2.,解:,與 x 軸所圍面積,由圖形的對稱性 ,也合于所求., 為何值才能使,與 x 軸圍成的面積等,故,3.,求曲