金融數(shù)學課件第四章資本資產(chǎn)定價模型CAPM.ppt

1、金融數(shù)學,第四章 資本資產(chǎn)定價模型CAPM,均值方差模型提出了的證券選擇問題，解決了最優(yōu)地持有有效證券組合，即在同等收益水平之下風險最小的證券組合 夏普等人在該模型基礎上發(fā)展了經(jīng)濟含義 任何證券組合收益率與某個共同因素的關系 資產(chǎn)定價模型（CAPM）,第一節(jié) 傳統(tǒng)標準CAPM的定價公式推導,一般所說的CAPM就是傳統(tǒng)的標準的 在一定假設條件下成立 不“傳統(tǒng)的標準的”CAPM，是對假設條件的一些放寬 本章主要介紹“傳統(tǒng)的”,CAPM的假設條件及其說明,根據(jù)“版本”不同，假設條件略有差異，但基本含義相同 本教材列舉了9條假設 1投資者僅依據(jù)投資收益率的均值和方差作決策，投資者永不滿足 2投資者對預

2、期回報率、標準差和證券之間的協(xié)方差具有相同的理解。 3單期（single period）投資,4資產(chǎn)都無限可分，可以購買一個股份的任意比例的部分。市銷的（Marketed），即，可以隨意買入賣出 5對賣空沒有約束 6存在無風險資產(chǎn)，可以以無風險利率貸出或借入任意數(shù)量的該種資產(chǎn)。利率對所有投資者相同 7忽略稅收和交易成本，信息是免費并可立即得到 8沒有通貨膨脹和利率的變化 9單個投資者不能通過其買賣行為影響資產(chǎn)價格，即完全競爭,假設條件的放寬問題,這些假設條件是標準的CAPM的假設 有一些明顯與實際情況相違背 本章后面將討論這些假設的放寬問題 用效用函數(shù)的方式等方式討論更一般形式的最優(yōu)證券組合選

3、擇的問題 這些定價公式的“模樣”基本相同,市場有效性假設EMH,假設2是以有效性假設EMH為前提 EMH是指價格已經(jīng)反映了所有可能得到的信息。 基于某一信息集的交易是否賺取較高的收益，若不能，則說明價格反映了該信息集的所有信息 3種形式：弱、半強、強有效 弱有效（weak form efficiency）：信息集僅包含價格或收益的歷史記錄信息；現(xiàn)在的市場價格反映了有關該證券的所有歷史記錄中的信息 半強有效（semi-strong form efficiency）：信息集包括所有公開的，投資者共知的所有信息；現(xiàn)在的市場價格不僅反映了該證券過去的信息，而且還反映了有關該證券的所有公布于眾的信息,強

4、有效（strong form efficiency）：信息集包括任何市場參與者所掌握的一切信息；現(xiàn)在的市場不僅反映了有關該證券過去的信息和公布于眾的信息，而且還反映任何交易者掌握的私人信息 強有效表明，即使是內(nèi)線人（insider）也無法壟斷信息，研究者的成果與基金管理者對市場的評估均已反映到市場價格中 一些學者用統(tǒng)計檢驗方法證明，對于半強有效，在一些規(guī)范成熟的證券市場中成立 證券市場中許多異?，F(xiàn)象（anormal phenomenon）說明，市場不符合強有效 在實際證券市場中應用CAPM，還有很大障礙,資本市場線CML（capital market line）,投資者的最優(yōu)證券組合是風險資產(chǎn)

5、組合e和無風險資產(chǎn)P0的線性組合 所有的投資者面對同一個有效前沿進行最優(yōu)組合選擇，他們的差異體現(xiàn)在無差異曲線上 如果有效前沿是“直的”射線，最優(yōu)組合有“簡單的”敘述用點P0和e將最優(yōu)組合線性表示 用無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)組合e的線性組合將最優(yōu)證券組合表示；線性組合中的系數(shù)就是投資的權(quán)重 投資者之間，無差異曲線的不同將導致選擇的最優(yōu)組合中，無風險P與有風險組合e的比例發(fā)生變化 愿意“冒險”的投資者，風險資產(chǎn)組合e的比例大,分離定理separation theorem,如果把投資者持有的風險資產(chǎn)“挑出來”比較 相對于總的資產(chǎn)，單個風險證券的權(quán)重不相同 僅僅相對于風險資產(chǎn)來說，每種單個的風險資產(chǎn)在總的

6、風險資產(chǎn)中占的比例，對于每個投資者來說是相同的，而且與組合e點“同結(jié)構(gòu)” 投資者投資于風險資產(chǎn)的“相對權(quán)重”與投資者個人的 “風險喜好”程度無關 兩者是分離的分離定理,市場組合Market portfolio切點e,投資者通過持有e，間接地體現(xiàn)持有風險資產(chǎn)，而不直接考慮單獨風險資產(chǎn)持有情況 定義：證券組合P被稱為市場組合，當且僅當該證券組合P投資于每個風險資產(chǎn)j的權(quán)重正好等于Wmj Wmj表示風險資產(chǎn)j的市值與風險資產(chǎn)的總 值的比例 用m表示市場組合 切點e就是市場組合（書上有證明過程）,兩個結(jié)論,引理4.1：如果投資者的效用函數(shù)u（）是嚴格遞增和凹函數(shù)的時候，投資者一定不會持有期望收益率rf

7、的證券組合 定理4.1： 如果風險厭惡的投資者都具有嚴格遞增的效用函數(shù)，那么當所有風險資產(chǎn)都是嚴格正的供給時，在CAPM假設下，市場證券組合的風險溢價，一定是嚴格正的 從而， rfA/C一定成立,CML的方程式,CML表示有效證券組合p的收益與風險之間關系的函數(shù) 每個投資者的最優(yōu)組合選擇均取自該直線 表達式中用到了市場組合的收益風險 假定市場組合的收益風險可以計算出來 從圖上可以簡單推導出該方程,資本資產(chǎn)定價模型CAPM,第三章結(jié)論：在市場均衡狀態(tài)下，對任意證券或組合q，可以用（3.35）定價 用市場組合m取代（3.35）中的前沿證券P 得到CAPM q的系數(shù),證券市場線 SMLsecurit

8、ies market line,將CAPM看成一條直線，就是SML 位于 SML與CML對比： 都是組合p的收益與風險之間關系的函數(shù) SML對任意的證券組合成立 CML僅對前沿證券組合成立 “橫坐標”不同：標準差，系數(shù),SML的含義,處在SML上的投資組合點，處于均衡狀態(tài)。如圖中的m、Q點和O點 高于或低于直線SML的點，表示投資組合不是處于均衡狀態(tài)。如圖中的 O點和點 市場組合m的系數(shù)mm1，表示其與整個市場的波動相同，即，其預期收益率等于市場平均預期收益率Em SML對證券組合價格有制約作用 市場處于均衡狀態(tài)時，SML可以決定單個證券或組合的預期收益率，也可以決定其價格,高于SML的點（圖

9、中的O點）表示價格偏低的證券。（可以買入，需求增加） 其市價低于均衡狀況下應有的價格 預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必高于市場的平均預期收益率 價格偏低，對該證券的需求就會“逐漸”增加，將使其價格上升 隨著價格的上升，預期收益率將下降，直到下降到均衡狀態(tài)為止 O點下降到其SML所對應的O點,低于SML的點（圖中的Q點）表示價格偏高的證券。（應該賣出，供給增加） 其市價高于均衡狀況下應有的價格 預期收益率相對于其系統(tǒng)風險而言，必低于于市場的平均預期收益率 價格偏高，對該證券的供給就會“逐漸”增加，將使其價格下降 隨著價格的下降，預期收益率將上升，直到上升到均衡狀態(tài)為止 Q點上升到其SML所對應

10、的Q點,B,A,EO,m,im,EQ,Em,O,O,Q,Q,mm =1,系數(shù)含義,系數(shù)表示證券或組合的系統(tǒng)風險 根據(jù)系數(shù)將證券或組合分為兩種 SML上的B點在m點的左邊，其系數(shù)值小于1。表明證券B的變動幅度小于整個市場的變動，稱為防衛(wèi)性證券或證券組合（defensive securities） SML上的A點在m點的右邊，其系數(shù)值大于1。表明A的變動幅度大于整個市場的變動，稱為攻擊性證券或證券組合（Aggressive securities）,CAPM的事后形式“特征線”,類似于計量經(jīng)濟中回歸的表達式,風險的分解,由事后形式，忽略聯(lián)動性，近似認為誤差項不相關 風險由系統(tǒng)和非系統(tǒng)兩部分組成（等式

11、右邊兩項） 公式中X表示投資權(quán)重,非系統(tǒng)風險趨向于0,非系統(tǒng)風險是方差表達式中第二項 引理4.2：如果每個證券的非系統(tǒng)風險有界，即 則，在高度分散化的情況下，組合p的非系統(tǒng)風險趨向于0，即 組合p高度分散化是一個極限的過程，應該從“密度”的觀點看待。詳細內(nèi)容第五章 因為能夠被避免，所以稱為可分散風險,組合風險的近似公式 im作為證券i對組合p的風險做出的“貢獻”的度量 證券的系統(tǒng)風險體現(xiàn)在證券的系數(shù)上 im作為對證券i的系統(tǒng)風險的度量 把系數(shù)看成對證券i的總風險的一個度量風險。風險具有線性可加性 是市場真正給予補償或估值的風險,單個證券對組合風險的貢獻,用風險和風險價格解釋CAPM,在CAPM

12、的表達式中， 風險溢價（補償） 風險（橫坐標） 風險價格（直線斜率） 單位風險溢價,度量風險和風險價格的另外兩種方式,CAPM公式變形,第二節(jié) CAPM應用和系數(shù)估計,運用CAPM公式就需要了解3個數(shù)據(jù) 1.系數(shù) 2.市場風險溢價 3.無風險利率 運用CAPM的難點就在于如何計算或估計這3個數(shù)據(jù),系數(shù)的估計,沒有理由認為證券或證券組合的系數(shù)恒定不變 真正的系數(shù)的取值是未來的系數(shù) 只有當認為未來的情況不會有大的差別時，才將現(xiàn)在的系數(shù)用于未來 先看過去和現(xiàn)在如何，再看將來會發(fā)生什么變化 對系數(shù)的預測還有很多，這里是幾種方法最基本 1）用歷史數(shù)據(jù)估計出的值作為系數(shù)的預測值； 2）用歷史的值調(diào)整后得到

13、的值作為系數(shù)預測值 3）用基礎系數(shù)作為系數(shù)的預測值,事后系數(shù)的估計,所謂事后系數(shù)，是從市場的實際表現(xiàn)，來估計過去到現(xiàn)在一段時期以來，實際表現(xiàn)的值是多大，因而它屬于一個實證而非預測的范疇 由于用的是歷史的數(shù)據(jù)，所以也稱為歷史的方法 假定i，i為常數(shù)。用資產(chǎn)i的收益率和市場價格指數(shù)收益（市場組合收益率替代物）的歷史數(shù)據(jù)，建立線性回歸模型，得到i和i的估計值*i，*i： riti+irmt+it ，t1，2，T 具體估計過程分選取樣本和估計兩個步驟 分段計算系數(shù),布魯姆（Blume）歷史調(diào)整法,布魯姆1971年提出 將樣本期0T分為兩段，0T1和T1T 估計第1段和第2段的值i1和i2 用橫截面數(shù)據(jù)

14、12，N2，對11，21，N 1；作最小二乘回歸 N在樣本期都存在的股票個數(shù) 將其作為證券i在下一個時期的系數(shù)的預測值 經(jīng)驗表明，比直接用i2預測誤差小 查看Blume(1971),基礎方法,上市公司的基礎因素（例如公司的規(guī)模、流動性等）影響股票風險?；A=fundamental 選擇市場變量或者反映公司基本特征的基礎變量。如股利支付率（股利每股盈利）、資本增長率（資本增長量總資本）、流動性（流動資產(chǎn)流動負債）、公司規(guī)模（總資產(chǎn)）和盈利變動性（市盈率的標準差） 用基于歷史的值對基礎變量的橫截面數(shù)據(jù)（公司i的基礎變量X1，Xk的平均值）進行回歸 估計X1，Xk ，進而估計值 假定所有公司的對基礎

15、變量的反應程度一樣,對未來系數(shù)的預測,用歷史的系數(shù)作為預測，承認未來的風險等于過去的風險 美林公司公布的系數(shù)是修正的系數(shù)，以5年中的舊數(shù)據(jù)為抽樣單位 國外一些機構(gòu)定期公市股票系數(shù) 可采用某一機構(gòu)公布的系數(shù)，也可對機構(gòu)公布的系數(shù)平均 預測未來系數(shù)的最簡單辦法是 用最近一段時間的事后系數(shù)估計值作為未來某個時間段的系數(shù)的預測值 用移動取樣計算事后估計比較合理,如果認為時間上相鄰的系數(shù)之間存在線性關系，可以首先明了這種關系，然后利用這種關系預測未來的系數(shù) 1.計算每個分段時期的系數(shù) 2.利用回歸分析等工具明確系數(shù)之間的線性關系 3.分析各個時間段計算出的系數(shù)之間的相關性，建立線性關系,風險價格和無風險

16、收益率估計,短期國債收益率作為無風險收益率的估計 股票是長期證券，計算股權(quán)資本成本，用長期國債收益率 真正的市場組合M是理想化的，是不可觀測的 用股票價格指數(shù)作為M的替代物 如果組合中含有債券，用股票指數(shù)和債券指數(shù)構(gòu)造一個綜合的指標作為M的替代物 選擇股票指數(shù)有“人為性” 市場風險溢價是變化的。如果要用CAPM估算股權(quán)收益成本，應該采用本期最新的預測值 第四節(jié)有關市場組合的替代物是否“勝任”的問題,用CAPM確定資產(chǎn)價格是否合理,資產(chǎn)j在投資期末的預期價格是隨機變量 資產(chǎn)j在投資期末的預期收益率 資產(chǎn)j的均衡收益率是 期初的市場價格為 （已知的） 市場組合的收益率 資產(chǎn)j的期初均衡價格 問題：

17、 投資期初的（現(xiàn)在的）市場價格是否合理 可否利用該資產(chǎn)的定價偏高或偏低獲得收益,用系數(shù)判斷定價合理,定價適當 定價偏低 定價偏高,實際中尋找市價與均衡價格有差異的資產(chǎn),選定過去某時刻到現(xiàn)在（現(xiàn)期）作為樣本期 用 作線性回歸，得到 檢驗常數(shù)項是否與0有顯著差異 如果有差異，定價不合理,發(fā)現(xiàn)不合理定價后證券組合調(diào)整,發(fā)現(xiàn)了定價不當?shù)馁Y產(chǎn)j后，可以構(gòu)造新的證券組合PN 證券組合PN在坐標系中的點位于市場組合m點的左邊 PN與無風險證券的再組合的前沿為超有效證券前沿（supper efficient portfolio frontier） PN的公式復雜Page xx,第三節(jié) 關于市場組合的替代物的兩

18、個結(jié)論,市場組合的收益率是不可觀測的 只能觀測替代物（Market Proxy） 替代物而在什么情況下可以代表真正的市場組合m 兩個有用的結(jié)論,定理4.2：如果市場組合m的替代物 具有單位值，即， 并且，單個證券j的收益率與替代物之間的線性回歸的余項（誤差項）與真正市場組合m不相關，那么，證券j真正的系數(shù)是可以估計的，,定理4.3：如果選N個證券為樣本，并且知道它們真正的貝塔值m（1m，2m，Nm）T，那么可以由這N個樣本證券構(gòu)造出一個市場組合的替代物，使得這N個樣本證券相對于替代物的系數(shù)與相對于真正市場組合m的系數(shù)一致 證明：構(gòu)造組合的權(quán)重如下,第四節(jié) 兩組合分離性,兩組合分離性的=two

19、funds separation 放寬CAPM模型中假設1的條件 將“馬可維茨擁護者”變?yōu)椤帮L險厭惡型投資者” “風險厭惡的投資者”如何選擇最優(yōu)證券組合 所有證券組合前沿上的組合可以用任意兩個不相同的前沿證券組合的組合表示 “空間的維數(shù)2”,兩組合分離性定義,定義：稱資產(chǎn)集 具有兩組合分離性，如果存在兩個資產(chǎn)組合1和2，使得，對于任意證券組合可以找到實數(shù)（與有關），使得下面的不等式對所有凹函數(shù)u成立,“二維空間”,因為兩個組合1和2的組合可以“優(yōu)于”任何一個證券組合 只需要考慮1和2就夠了 盡管不能確定具體是哪兩個組合 但是，數(shù)量是確定的2 類似于線性空間的“維數(shù)” 兩組合分離可以理解為是“二

20、維空間”,兩組合分離的性質(zhì),CAPM中的假設1放寬后，在什么情況下，風險厭惡的投資者會偏好于前沿證券組合 定理4.4：滿足兩組合分離中定義中的1和2一定是前沿證券組合 定理4.5：如果資產(chǎn)集具有兩組合分離性，那么，任何兩個不相同的前沿證券都可作為定義中的兩分離組合1和2 。 特別地，可以任意取某個前沿證券p（mvp）和它的零協(xié)方差證券組合zc(p)。,兩組合分離的等價條件,定理4.6：設p是某個給定的前沿證券組合，下面3種說法等價 1）存在兩組合分離性； 2）對任意的組合q和所有的凹函數(shù)u 3）對任意的組合q，,定理4.7：p是某個前沿證券組合，則，如果存在兩組合分離現(xiàn)象，那么，對所有的凹函數(shù)

21、u和任意組合q， =0是下面優(yōu)化問題的解 定理的證明過程分為兩個部分,單組合分離,設想：兩組合分離性中的兩個證券組合“相距很近”，其極限結(jié)果就是單組合分離性 單組合分離性可以理解成兩組合分離性的退化形式 定義：對于資產(chǎn)集， 如果存在證券組合，使得， 對任意證券組合和所有凹函數(shù)u成立，稱資產(chǎn)集具有單組合分離性,單組合分離性是指： 對于每個風險厭惡的投資者，存在單獨一個證券組合，它優(yōu)于任何其它可行的證券組合 定理4.8：單組合分離性中的證券組合必定是最小方差的證券組合（mvp）。 定理4.9：單組合分離的充要條件是,兩組合分離性資產(chǎn)集的存在性,如果資產(chǎn)集如果具有兩組合分離性，那么，任何風險厭惡的投

22、資者都會在證券組合前沿上尋找其最佳投資策略，此時，CAPM的假設1可以去掉，只要求投資者是風險厭惡型。 實際市場中，存在具有兩組合分離性的資產(chǎn)集 某些證券收益的分布都會產(chǎn)生兩組合分離的現(xiàn)象 正態(tài)分布具有兩組合分離性 一些穩(wěn)定的Paretian分布和具有相對更極端值的肥尾分布的非穩(wěn)定Paretian分布，也具有兩組合分離性,正態(tài)分布情況下,隨機變量（資產(chǎn)集） 服從正態(tài)分布 第一，正態(tài)分布的線性組合仍然是正態(tài)分布 第二，兩個正態(tài)分布隨機變量，不相關等價于獨立 結(jié)論4.1：如果資產(chǎn)集服從多元正態(tài)分布，則，具有兩組合分離性 結(jié)論4.2：如果資產(chǎn)集合不僅服從多元正態(tài)分布，而且，具有相等的期望值，那么，具

23、有單組合分離性 結(jié)論4.3：假設投資者的效用函數(shù)都是遞增和嚴格凹的（風險厭惡），則，市場組合是有效前沿證券,第五節(jié) 不存在無風險資產(chǎn)情況下的CAPM,對標準的CAPM中假設6的放寬 假設條件6具體內(nèi)容是： 存在無風險資產(chǎn)，單個投資者能以無風險利率借入或貸出任意數(shù)量的該種資產(chǎn)，這個利率對所有投資者都相同 現(xiàn)在假設，沒有無風險資產(chǎn)存在 針對這種情況，布萊克（Black）1972年得到了一個一般的CAPM，稱之布萊克CAPM,用zc(m)代替無風險資產(chǎn) 根據(jù)第3章第5節(jié)的定價公式，任意風險資產(chǎn)i，可以按照下面的公式進行定價 本來公式中雙曲線上任何一個非左端點的點 這里指定m是市場組合，就是布萊克的C

24、APM 布萊克CAPM中的zc(m)是未觀察的變量 比標準的CAPM復雜得多 zc(m)相對于m的系數(shù)zc(m)m=0 布萊克 CAPM又被稱為0貝塔 CAMP Zero-beta CAPM,第六節(jié) 對賣空和無風險證券條件的放寬,標準CAPM模型的假設5： 對賣空沒有約束，允許無限制地賣空 實際中，對賣空是有限制的。我國的上海和深圳證券交易所都不允許賣空。 在允許賣空情況下，所有投資者都持有的風險證券的“結(jié)構(gòu)”與市場組合中的風險證券“結(jié)構(gòu)”相同?？紤]連接無風險證券和市場組合m的直線的斜率km。,限制賣空與否 不改變CAPM,可賣空的規(guī)劃問題P1 最大斜率 不賣空的規(guī)劃問題P2,市場組合M是P1的解，M的權(quán)重非負 兩個問題的解相同,對無風險資產(chǎn)借人貸出假定的修正,標準的CAPM假定6： 存在無風險資產(chǎn)，單個投資者可以以一個無風險利率貸出（即投資）或借入任意數(shù)量的該種資產(chǎn)。這個利率對所有投資者都相同 分為三種情況 第一，不能以無風險利率借入，也不能貸出； 第二，能貸出，但不能借入； 第三，能貸能借，但是借入和貸出的利率不相等,情形1：不能借也不能貸,相當于不存在無風險資產(chǎn) 第四節(jié)的Black0CAPM模型 注：羅斯（ROSS）證明： 在既不允許以無