數(shù)學(xué)物理方程第一章-復(fù)變函數(shù).ppt

1、第一篇 復(fù) 變 函 數(shù) 論,復(fù)變函數(shù) 微分和積分 泰勒展開和洛朗展開 留數(shù)定理 傅立葉變換 拉普拉斯變換,z,y,x,1,1,O,第一章 復(fù)變函數(shù),代數(shù)表示: x ,y 為實(shí)數(shù)，i 為單位虛數(shù)，則,且 x 為其實(shí)部，y 為虛部，記,1.1. 復(fù)數(shù),為復(fù)數(shù),且,和,主值,復(fù)共軛,又稱為模,其它概念,x 軸為實(shí)軸，y 軸為虛軸，構(gòu)成復(fù)數(shù)平面復(fù)數(shù) z 為此平面上的一點(diǎn),幾何表示,從幾何上看，復(fù)數(shù)又是此平面上的一個(gè)矢量,為矢量長(zhǎng)度,為幅角,記,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,加法,減法,乘法,除法,冪（n整數(shù)）,根,逼近,測(cè)地投影和無限遠(yuǎn)點(diǎn),如左圖，一球的南極與復(fù)數(shù)平面的原點(diǎn)相切，平面上任意點(diǎn) A 與球的北極由一條直線相

2、連，直線與球相交于 A 。由此，每一有限的復(fù)數(shù) 投影到球上一點(diǎn) 。這個(gè)投影叫測(cè)地投影，這個(gè)球叫復(fù)數(shù)球。,所有的無窮大復(fù)數(shù)（平面上無限遠(yuǎn)點(diǎn)）投影到唯一的北極 N。故我們?yōu)榉奖?，將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作一個(gè)點(diǎn)。其模無窮大，幅角無意義。,復(fù)數(shù) z 是兩個(gè)獨(dú)立變量 (x, y) 的集合。 它在數(shù)值計(jì)算中是一個(gè)整體，服從通常的四則運(yùn)算規(guī)則和虛單位的特殊規(guī)則； 它可以看作具有兩個(gè)獨(dú)立分量的量來表示（矢量）和計(jì)算。,小結(jié),1.2. 復(fù)變函數(shù),比較與實(shí)變函數(shù)相對(duì)應(yīng)的定義,實(shí)函數(shù)：,x,x,定義域、值域,y=f(x),y=f(x),復(fù)函數(shù),定義 在復(fù)平面上一點(diǎn)集 E 中每一點(diǎn)，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，稱 為 z 的

3、函數(shù)，E 為定義域，,記,E,實(shí)函數(shù)： 定義: 對(duì)于實(shí)數(shù)域中一區(qū)域 B 中的每一實(shí)數(shù) x ，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)。則稱 y 為 x 的函數(shù)。 B為此函數(shù)的定義域，記 。 連續(xù)，可微：,n 次可微,無限可微,鄰域,區(qū)域 B 的內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),境界點(diǎn),境界線,區(qū)域,內(nèi)點(diǎn)組成的連通集合,閉區(qū)域,區(qū)域和境界線的全體,全體境界點(diǎn)的集合,不是內(nèi)點(diǎn)，也不是外點(diǎn)的點(diǎn)。,z 和它的鄰域都不屬于 B， 則 z 為 B 的外點(diǎn)。,z 和它的鄰域都屬于 B， 則 z 為 B 的內(nèi)點(diǎn)。,復(fù)平面上圓 內(nèi)點(diǎn)的集合,幾個(gè)概念,z,z,r,區(qū)域,例,多項(xiàng)式,有理分式,根式,指數(shù)函數(shù),三角函數(shù),雙曲函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),冪函數(shù)

4、,連續(xù)：,或：,視 z 為矢量,這是平面上的矢量場(chǎng),可以設(shè)矢量函數(shù),1.3. 導(dǎo)數(shù),定義,運(yùn)算規(guī)則,復(fù)函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)（實(shí)部和虛部），復(fù)數(shù)空間又是個(gè)二元空間，故復(fù)函數(shù)類似于一個(gè)矢量場(chǎng)，其導(dǎo)數(shù)一般應(yīng)與方向有關(guān)。,可導(dǎo)：對(duì)任何方向的 ，極限都存在并唯一。,可導(dǎo)：對(duì)任何方向的 ，極限都存在并唯一。,因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性強(qiáng)的多的條件。,柯西黎曼方程,沿實(shí)軸,沿虛軸,可導(dǎo)，要求二者相等,必要條件,柯西黎曼方程,必要條件,可導(dǎo)的充分條件:,的,存在，連續(xù)且滿足柯西黎曼方程。,1.4. 解析函數(shù),在點(diǎn) 解析，即在這點(diǎn)可導(dǎo)。,為在區(qū)域 B 中解析函數(shù)，即在區(qū)域的點(diǎn)點(diǎn)解析。,性質(zhì),曲線族,相互正交。,即,由柯西黎曼方程,兩族曲線的梯度正交,兩族曲線正交,(1),已知 U 求 V,當(dāng)它們是某解析函數(shù)的實(shí)部和虛部,可由 (1) 曲線積分 (2) 湊全微分顯式 (3) 不定積分 求出,滿足拉普拉斯方程,由柯西黎曼方程,調(diào)和函數(shù),(2),例,求,解:,u 是調(diào)和函數(shù);,(1),二元函數(shù)的線積分，將來在熱力學(xué)中出現(xiàn)。,全微分的積分與路徑無關(guān),(2),(3),視 x 為參量，對(duì) y 積分,求 滿足的方程,小結(jié),復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義是實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義的自