2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案

1、第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)必備知識(shí)考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)考點(diǎn)2空間兩條直線的位置關(guān)系1位置關(guān)系的分類異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)2平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行3等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(2)范圍：.考點(diǎn)3空間直線、平面的位置關(guān)系 必會(huì)結(jié)論1公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推

2、論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面2異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線考點(diǎn)自測(cè) 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分()(2)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.()(3)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線()(4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線()答案(1)(2)(3)(4)22018福州質(zhì)檢已知命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析若

3、直線a，b不相交，則a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件故選A.3課本改編若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是()AbBbCb或bDb與相交或b或b答案D解析b與相交或b或b都可以故選D.42018衡中調(diào)研已知直線a，b，c，有下面四個(gè)命題：若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交；若ab，則a，b與c所成的角相等；若ab，bc，則ac.其中真命題的序號(hào)是_答案解析a，c可能相交、平行或異面；a，c可能相交、平行或異面；正確；a，c可能相交、平行或異面5.2018大連模擬如圖，在三棱錐CABD 中，E，F(xiàn)分別是AC和BD的中點(diǎn)，若C

4、D2AB4，EFAB，則EF與CD所成的角是_答案30解析取CB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EGAB，F(xiàn)GCD，EF與CD所成的角為EFG或其補(bǔ)角又EFAB，EFEG.在RtEFG，EGAB1，F(xiàn)GCD2，sinEFG，EFG30，EF與CD所成的角為30.板塊二典例探究考向突破考向平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)證明(1)如圖所示，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)

5、EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P.則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點(diǎn)觸類旁通1證明三點(diǎn)共線的兩種方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這三點(diǎn)都在交線上，即三點(diǎn)共線(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在這條直線上，從而得三點(diǎn)共線2證明三線共點(diǎn)的思路先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題化歸為證明點(diǎn)在直線上的問題通常是先證兩條直線的交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，而第三條直線恰好是兩個(gè)平面的交線【變式訓(xùn)練1】如圖，空

6、間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P.求證：P，A，C三點(diǎn)共線證明(1)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)由(1)知EF綊BD，GH綊BD.四邊形FEGH為梯形，GE與HF交于一點(diǎn)，設(shè)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三點(diǎn)共線考向空間兩條直線的位置關(guān)系 命題角度1兩直線位置關(guān)系的判定例220

7、15廣東高考若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交答案D解析由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交故選D.命題角度2異面直線的判定例3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)

8、都填上)答案解析因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故錯(cuò)；取DD1中點(diǎn)E，連接AE，則BNAE，但AE與AM相交，故錯(cuò)；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故正確；同理正確，故填.觸類旁通空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法考向異面直線所成的角 例42017全國(guó)卷已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)

9、形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角 ，所以cos.故選C.觸類旁通用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角【變式訓(xùn)練2】如圖，在三棱錐

10、ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.M為AD的中點(diǎn)，MKAN，KMC(或其補(bǔ)角)為異面直線AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N為BC的中點(diǎn)，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK.在CKM中，由余弦定理，得cosKMC，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是.核心規(guī)律1.三個(gè)公理的作用是證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面、線共點(diǎn)等幾何問題2.求異面直線所成的角就是要通過平移轉(zhuǎn)化的方法，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成同一平面內(nèi)的直

11、線所成的角，放到同一個(gè)可解的三角形中去求解滿分策略1.正確理解異面直線“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”2.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線”條件3.兩條異面直線所成角的范圍是(0，90.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考題型技法系列 11構(gòu)造法判定空間線面位置關(guān)系 2018西安模擬已知m，n是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有真命題的序號(hào)是()A B C D解題視點(diǎn)判斷空間線面的位置關(guān)系，常利用正(長(zhǎng))方體及其他幾何體模型來判斷，把平面、直線看作正(長(zhǎng))方體內(nèi)及

12、其它幾何體平面、側(cè)棱、對(duì)角線等進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證，使抽象的推理形象具體化解析對(duì)于，可以得到平面，互相垂直，如圖(1)所示，故正確；對(duì)于，平面，可能垂直，如圖(2)所示；對(duì)于，平面，可能垂直，如圖(3)所示；對(duì)于，由m，可得m.因?yàn)閚，所以過n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙g，所以mn.答案A答題啟示由于長(zhǎng)方體或正方體中包含了線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直及面面垂直等各種位置關(guān)系，故構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體來判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系，顯得直觀、易判斷.構(gòu)造時(shí)注意其靈活性，想象各種情況反復(fù)驗(yàn)證.跟蹤訓(xùn)練2018鄭州模擬設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，()A若l，l，則 B

13、若l，l，則C若，l，則l D若，l，則l答案B解析解法一：設(shè)a，若直線la，且l，l，則l，l，因此不一定平行于，故A錯(cuò)誤；由于l，故在內(nèi)存在直線ll，又因?yàn)閘，所以l，故，所以B正確；若，在內(nèi)作交線的垂線l，則l，此時(shí)l在平面內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知，若a，la，且l不在平面，內(nèi)，則l且l，因此D錯(cuò)誤解法二：借助于長(zhǎng)方體模型解決本題：對(duì)于A，如圖，與可相交；對(duì)于B，如圖，不論在何位置，都有；對(duì)于C，如圖，l可與平行或l內(nèi)；對(duì)于D，如圖，l或l或l.板塊四模擬演練提能增分 A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)12018濟(jì)寧模擬直線l1，l2平行的一個(gè)充分條件是()Al1，l2都平行于同一個(gè)平面Bl1，l2與同一個(gè)平面所

14、成的角相等Cl1平行于l2所在的平面Dl1，l2都垂直于同一個(gè)平面答案D解析對(duì)A，當(dāng)l1，l2都平行于同一個(gè)平面時(shí)，l1與l2可能平行、相交或異面；對(duì)B，當(dāng)l1，l2與同一個(gè)平面所成角相等時(shí)，l1與l2可能平行、相交或異面；對(duì)C，l1與l2可能平行，也可能異面，只有D滿足要求故選D.22018太原期末已知平面和直線l，則內(nèi)至少有一條直線與l()A平行 B相交 C垂直 D異面答案C解析直線l與平面斜交時(shí)，在平面內(nèi)不存在與l平行的直線，A錯(cuò)誤；l時(shí)，在平面內(nèi)不存在與l異面的直線，D錯(cuò)誤；l時(shí)，在平面內(nèi)不存在與l相交的直線，B錯(cuò)誤無論哪種情形在平面內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直故選C.3已知a，b，c為三

15、條不重合的直線，已知下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案B解析解法一：在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，并且相交或異面時(shí)不一定垂直，所以錯(cuò)，顯然成立解法二：構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷，錯(cuò)，正確故選B.4若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3

16、為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1l4，故排除A，B，C.故選D.5.如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過()A點(diǎn)A B點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點(diǎn)C也在與的交線上故選D.62018大連模擬已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面，b平面，c.若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；若ab，則必有ac；若ab，ac，則必有.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答

17、案C解析中若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交，故正確；中平面平面時(shí)，若bc，則b平面，此時(shí)不論a，c是否垂直，均有ab，故錯(cuò)誤；中當(dāng)ab時(shí)，則a平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得ac，故正確；中若bc，則ab，ac時(shí)，a與平面不一定垂直，此時(shí)平面與平面也不一定垂直，故錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.故選C.7.如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，由AB1，AA12，則

18、A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.故選D.8.如圖，在三棱錐DABC中，ACBD，且ACBD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG.E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)GAC，EGBD，且FGAC，EGBD.EFG為EF與AC所成的角ACBD，F(xiàn)GEG.ACBD，F(xiàn)GEG，F(xiàn)GE90，EFG為等腰直角三角形，EFG45，即EF與AC所成的角為45.故選B.9.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四

19、面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_答案解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.102018許昌模擬如下圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_答案解析中HGMN；中GMHN且GMHN，所以直線HG與MN必相交B級(jí)知能提升12018泉州模擬設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A存在唯一直線l，使得la，且lbB存在唯一直線l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a

20、，且b答案C解析a，b是互不垂直的兩條異面直線，把它放入正方體中如圖，由圖可知A不正確；由la，且lb，可得ab，與題設(shè)矛盾，故B不正確；由a，且b，可得ab，與題設(shè)矛盾，D不正確故選C.2.2018赤峰模擬如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平行答案D解析如圖，連接C1D，在C1DB中，MNBD，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镃C1平面ABCD，所以CC1BD，所以MN與CC1垂直，故A項(xiàng)正確；因?yàn)锳CBD，MNBD，所以MN與AC垂直，故B項(xiàng)正確；因?yàn)锳1B1與BD異面，MNBD，所以MN與A1B1不可能平行，D項(xiàng)錯(cuò)誤故選D.3.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是_(填序號(hào))A，M，O三點(diǎn)共線；A，M，O，A1四點(diǎn)共面；A，O，C，M四點(diǎn)共面；B，B1，O，M四點(diǎn)共面答案解析連接AO，則AO是平面AB1D1與平面AA1C1C的交線因?yàn)锳1C平面AA1C1C，MA1C，所以M平面AA1C1C.又M平面AB1D1，所以MAO，故A，M，O三點(diǎn)共線，