數(shù)學(xué)教學(xué)論課件-命題及論證的教學(xué).ppt

1、二、推理、證明與學(xué)習(xí)心理,為準(zhǔn)確地運(yùn)用概念和判斷進(jìn)行推理或 證明，就必須掌握形式邏輯的基本規(guī) 律同一律、矛盾律、排中律和充足 理由律,（一）形式邏輯的基本規(guī)律,1、同一律 同一律的內(nèi)容是：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確定，且前后保持一致 同一律的公式是：AA，即A是A 根據(jù)同一律的內(nèi)容，它具體有兩點(diǎn)要求： 一是思維的對象應(yīng)保持同一（在思維的過程中所考察的對象必須確定，要始終如一，不能中途變更）； 二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一（在思維的過程中，要以同一概念表示同一思維對象，不能用不同的概念來表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起來用同一個(gè)概念來表示） 違反同

2、一律的錯(cuò)誤，在概念中主要表現(xiàn)為偷換概念或所使用的概念不明確等；在推理中主要是論題不明確或偷換論題等,2、矛盾律,矛盾律的內(nèi)容是：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程 中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么即在同一思維 過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假 矛盾律的公式是： 即A 不是 矛盾律實(shí)為“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形 式表達(dá)同一律內(nèi)容的矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作 用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性這里所 說的思維矛盾，是人們思想陷入混亂狀態(tài)或故意玩弄詭辯時(shí) 所產(chǎn)生的邏輯矛盾它與客觀事物本身所存在的矛盾是不同 的 兩個(gè)矛盾判斷不能同真，但可能同假例如

3、，ABC是銳角 三角形與ABC是鈍角三角形是兩個(gè)矛盾的判斷，其中一個(gè) 正確，另一個(gè)必錯(cuò)誤；但其中一個(gè)錯(cuò)誤，另一個(gè)未必正確， 這是因?yàn)檫€存在ABC為直角三角形的第三種情況,3、排中律,排中律的內(nèi)容是：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。 排中律的公式是： ，即 或 。 排中律要求人們的思維有明確性，它是反證法的邏輯基礎(chǔ)。 例如， 是無理數(shù)與 是有理數(shù)，這是兩個(gè)互相矛盾的判斷，但不能同時(shí)存在，其中必有且只能有一個(gè)是正確的。,排中律和矛盾律的關(guān)系,排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又

4、有區(qū)別其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識(shí)，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答其區(qū)別在于：矛盾律指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ),4、充足理由律,充足理由律的內(nèi)容是：任何一個(gè)真判斷，必須有充足理由，即對于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據(jù) 充足理由律可表示為：若有B，則必有A，使得

5、由A可以推出B充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系 例如，在數(shù)學(xué)命題中，充分條件、充要條件都可以作為結(jié)論的充足理由，原定理可作為它的逆否命題的充足理由等等。,充足理由律和前面三個(gè)規(guī)律有著密切的聯(lián)系,同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷(或概念)本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力因此，在思維過程中，如果違反了同一律、和排中律，那么就必然導(dǎo)致違反充足理由律 總之，數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對象確定(同一律)，判斷不自相矛盾(矛盾律），不模棱兩可(排中律)，有充分根據(jù)(充足理由律)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格遵守這些邏輯規(guī)律進(jìn)行

6、思考的習(xí)慣，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。,（二）推理、證明與學(xué)習(xí)心理,推理是數(shù)學(xué)的基本思維方法，是數(shù)學(xué)的靈魂，沒有推理就沒有數(shù)學(xué)。 推理與證明，是數(shù)學(xué)的基本思維過程，推理一般包括合情推理和演繹推理。 證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。,中學(xué)階段對推理、證明的學(xué)習(xí)要求是：了解合情推理與演繹推理，體會(huì)二者之間的關(guān)系與差異；體會(huì)證明的特點(diǎn)。了解證明的基本方法，包括直接證明和間接證明的方法；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生表達(dá)清楚、養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法解決數(shù)

7、學(xué)和日常生活中的問題。,1.數(shù)學(xué)推理,推理：根據(jù)判斷間的關(guān)系，從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷作出一個(gè)新的判斷的思維過程叫做推理 推理結(jié)構(gòu)：包括前提和結(jié)論兩部分；所根據(jù)的已有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理的結(jié)論正確的推理要求合乎邏輯形式，遵守推理規(guī)則 推理作用：在實(shí)踐中有兩方面的作用，一是幫助人們從已知的知識(shí)推出新的知識(shí);二是證明的工具；,推理的形式：由于劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同,推理可以分成許多種類。直接推理與間接推理直接推理的前提只有一個(gè)，比較簡單；間接推理則是由兩個(gè)或兩個(gè)以上前提組成的推理，它又可分為歸納推理、類比推理和演繹推理三類 數(shù)學(xué)推理：是指從數(shù)學(xué)的已知事實(shí)或假設(shè)事實(shí)出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯引出結(jié)

8、論的過程。 數(shù)學(xué)推理包括合情推理與演繹推理。 例1 角平分線上任一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等,因此,到角兩邊的距離不等的點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上。 例2 矩形的對角線平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的對角線平分且相等。,合情推理：是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果)以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果和推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng) 例如 工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸子；人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇. 演繹推理：是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的

9、結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程 合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密，相輔相成,(1)合情推理,歸納推理 歸納推理是一種由特殊到一般的推理，即從個(gè)別或特殊的事物所作判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的思維過程，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，又分為完全歸納法與不完全歸納法 如果歸納推理的前提中一個(gè)或幾個(gè)判斷范圍的總和等于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法就是根據(jù)對某類事物的全部對象的考察而進(jìn)行的歸納推理。,完全歸納法：,S1、S2、Sn是A類事物中所有的對象 S1 具有(或不具有)P S2 具有(或不具有)P Sn 具有(或不具有)P - A類事物

10、具有(或不具有)P 例如，分別考察某班每一個(gè)同學(xué)，確認(rèn)全班五十位同學(xué) 在期終考試中每門功課都及格，從而推出結(jié)論，該班全 體同學(xué)在期終考試中全部過關(guān)。,其表示形式是：,完全歸納推理的特點(diǎn)： 1、前提完備：前提應(yīng)包括某類事物的全部對象。 2、結(jié)論可靠：結(jié)論的斷定范圍沒有超出前提的斷定 范圍，所以它確實(shí)可靠。 由于完全歸納法在前提判斷中已對結(jié)論的判斷范圍作 出了判斷，如果皆是真實(shí)的，則所得結(jié)論是完全可靠 的，所以完全歸納法可作為數(shù)學(xué)上的一種嚴(yán)格推理方 法但在應(yīng)用時(shí)，須注意前提的判斷范圍既不能重復(fù)， 也不能遺漏，即前提判斷范圍的總和不能小于結(jié)論判斷 的范圍,如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷

11、的范 圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法是從一個(gè)或幾個(gè) （但不是全部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理。 其表示形式是： 、 、 是A類事物中部分的對象 具有(或不具有)P 具有(或不具有)P 具有(或不具有)P A類事物具有(或不具有)P,不完全歸納法：,例如，中學(xué)數(shù)學(xué)中從具體實(shí)數(shù)的運(yùn)算概括出實(shí)數(shù)的運(yùn)算律以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)等的推理都是不完全歸納法，一些氣象諺語、農(nóng)業(yè)諺語、人們的養(yǎng)生之道等也是根據(jù)不完全歸納法得到的 歸納推理的作用：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中歸納的作用主要表現(xiàn)在啟發(fā)解題思路，預(yù)測解題答案利用歸納法考察原問題的特殊情形，為我們提供信息，幫助從特殊性到普遍性的認(rèn)識(shí)，指明探索方向，發(fā)現(xiàn)解題途徑,類比推理

12、 類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個(gè) (或兩類)事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們 在別的性質(zhì)上也可能相同或相似稱為類比推 理.(簡稱:類比)。 其表示形式是： A類事物具有性質(zhì) a b c d B類事物具有性質(zhì) a b c - B類事物可能具有性質(zhì)d,例如，代數(shù)中根據(jù)分式與分?jǐn)?shù)都具有分子、分母這 個(gè)相同的形式，從而推測分式可以如同分?jǐn)?shù)一樣進(jìn) 行化簡與計(jì)算；由平面上直線與直線之間的關(guān)系可 以推測空間中平面與平面之間的關(guān)系等，這都是類 比推理 類比推理的作用： 在數(shù)學(xué)發(fā)展中類比的作用是提出新問題作出新發(fā) 現(xiàn)類比能提供線索、幫助分析猜想、發(fā)現(xiàn)解決問 題的途徑類比是擴(kuò)大知識(shí)范圍、獲得新知

13、識(shí)、發(fā) 現(xiàn)真理的重要手段，類比在獲得科學(xué)成果和數(shù)學(xué)命 題中有重要作用,類比推理的幾個(gè)特點(diǎn)： 1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果. 2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性. 3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠, 有些結(jié)論，還有待于實(shí)踐和理論的證明但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.,（2）演繹推理,演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類 事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個(gè)別、 特殊事物判斷的思維形式 簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實(shí)現(xiàn) 的 三段論推理由兩個(gè)前提(大前提、小前提)推出 一個(gè)結(jié)論的思維形式稱為三段論推

14、理, 又稱三段 論法。三段論推理是演繹推理的最主要形式，是 中學(xué)階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn),其表現(xiàn)形式是： 集合M中的元素具有(或不具有)P zM - 也具有(或不具有)P 三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提-是指一般性事物, 如已知的公理、定理、定義、性質(zhì)等,反映一般原理的判斷，小前提-反映個(gè)別對象與大前提有關(guān)系的判斷，以及結(jié)論三個(gè)判斷如果大前提、小前提都正確，則結(jié)論一定正確。,例1，因?yàn)樨?fù)數(shù)無對數(shù)(大前提)； -1是負(fù)數(shù)(小前提)； 所以，-1無對數(shù)(結(jié)論) 例2，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分(大前提)； ABCD是平行四邊形(小前提)； 所以，ABcD的對角線AC與BD互相平分(結(jié)論),（3）合情推理與演繹推

15、理的關(guān)系,合情推理與演繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成合情推理用于探索，猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論演繹推理用于確認(rèn)結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想 在探索自然規(guī)律時(shí)，首先要確定一個(gè)目標(biāo)，或者提出一個(gè)要解決的問題；然后通過日常的實(shí)踐、分析和合情推理，總結(jié)出一個(gè)預(yù)期的解決方案或猜想；最后還需對此猜想作出嚴(yán)格的證明證明的過程中則需要按演繹推理的規(guī)則進(jìn)行，證明完前一步，下一步又該如何演繹，仍需依靠合情推理提供思路，直至完成全部證明可見，合情推理與演繹推理在實(shí)際問題推論中相輔相成的。,2、中學(xué)數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)證明是應(yīng)用已經(jīng)確定其真實(shí)性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)命題來論證某一數(shù)學(xué)命題的推理過程 邏

16、輯證明是由論題、論據(jù)、論證三個(gè)部分組成的 論題是需要證明其真實(shí)性的判斷，論據(jù)是用來證明論題真實(shí)性所引用的那些判斷，論證就是由論據(jù)出發(fā)進(jìn)行一系列推理來證明論題的真實(shí)性的過程 數(shù)學(xué)證明習(xí)慣上分成已知、求證、證明三個(gè)部分來寫其中論據(jù)是包括論題給定的條件和證明論題時(shí)所引用的那些論據(jù)，以及已知的公理、定理、公式、定 義、法則、性質(zhì)等命題；求證就是論題的結(jié)論，即有待于證明具有真實(shí)性的命題；證明就是論證，即證明論題真實(shí)性的推理過程,證明格式常用的有聯(lián)用式與推進(jìn)式兩種 聯(lián)用式是聯(lián)用“因?yàn)?、所以”表示推理關(guān)系的書寫格式 .聯(lián)用式給人以“亂”的感覺。 推進(jìn)式是借助符號(hào)“ ”表示蘊(yùn)含關(guān)系或推理關(guān)系的書寫格式，且都可

17、分為橫、豎兩種基本形式推進(jìn)式給人以“繁”的感覺。 中學(xué)常用的幾種證明方法直接證明和間接證明,（1）直接證法 在數(shù)學(xué)證明中，從正面證明論題真實(shí)性的證明方法，叫做直接證法 凡是用演繹法證明命題真實(shí)性的都是直接證法它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的證明方法。在數(shù)學(xué)證明中，分析法與綜合法是直接證明的兩種基本的方法。一種是由已知走向求證，即從數(shù)學(xué)問題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求的問題，這一方法稱為綜合法；另一種則是反過來，由求證走向已知，即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件，這種方法稱為分析法,（2）間接證法 不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過證

18、明論題的否定論題不真實(shí)，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實(shí)性的證明方法，叫做間接證法間接證法主要有反證法與同一法 反證法 反證法的一般步驟如下： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立(即結(jié)論的否定成立)； (2)從否定結(jié)論出發(fā)，逐層進(jìn)行推理，得出與公理，或 前述的定理、定義或題設(shè)條件，或與臨時(shí)假設(shè)等自相矛 盾(即說明結(jié)論不能否定)； (3)根據(jù)排中律，最后肯定原命題成立,同一法 如前所述，兩個(gè)互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時(shí)，該命題與其逆命題(或否命題)才等效，這個(gè)原理叫做同一原理對于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以，

19、改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法 同一法的一般步驟如下： (1)當(dāng)命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都唯一存在時(shí)，先作出(設(shè) 定)符合命題結(jié)論的圖形(或算式)； (2)證明所作圖形(或設(shè)定的算式)符合已知條件； (3)根據(jù)唯一性，確定所作圖形(或設(shè)定的算式)與已知圖形 重合(或與已知關(guān)系式相同)； (4)最后肯定原命題成立,反證法與同一法都是間接證法它們的主要區(qū)別是： 方法不同反證法先否定結(jié)論，然后再予以反駁；同一法先作出(設(shè)定)符合命題結(jié)論的圖形(或算式)，然后推證所作圖形(或算式)與已知圖形(或關(guān)系式)相同 根據(jù)不同反證法的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性來證明的；同一法

20、的邏輯依據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價(jià)性來證明的 適用范圍不同反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，只要能推出矛盾就行，而這個(gè)矛盾不一定由于圖形(或關(guān)系式)的“唯一存在性”引起的因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題,內(nèi)容歸納起來就是：,推理的方法,思維的理路,證明的方法,歸納法,類比法,演繹法,分析法,綜合法,直接證明法,簡接證明法,完全歸納法,不完全歸納法,反證法,同一法,歸謬法,窮舉法,推證同法,以數(shù)學(xué)方法研究邏輯的分科，叫做數(shù)理邏輯或符號(hào)邏輯。,3、推理論證的學(xué)習(xí)心理,推理論證素質(zhì)的形成主要依賴于批判性思維和邏輯修養(yǎng)批 判性思維是指善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過 程的思維方式批判性思維具體呈現(xiàn)在以下幾個(gè)特點(diǎn)上： 分析性在思維過程中不斷地分析解決問題所依據(jù)的條件 和反復(fù)驗(yàn)證業(yè)已擬定的假設(shè)、計(jì)劃和方案； 策略性在思維課題面前，根據(jù)自己原有的思維水平和知 識(shí)經(jīng)驗(yàn)在頭腦中構(gòu)成相應(yīng)的策略或解決問題的手段，然后使 這些策略在解決思維任務(wù)中生效； 整體性在思維活動(dòng)中，善于客觀地考慮正反兩方面的論 據(jù)，認(rèn)真把握問題的進(jìn)展情況，隨時(shí)堅(jiān)持正確計(jì)劃，修改錯(cuò) 誤方案； 獨(dú)立性堅(jiān)持規(guī)則，不為情境性的暗示所左右，不人云亦 云，盲從附和。 嚴(yán)謹(jǐn)性思維過程嚴(yán)謹(jǐn)，組織有條理，堅(jiān)持實(shí)事求是,推理論證的學(xué)習(xí)心理：,以似真為必真(27) 初學(xué)推理者習(xí)慣于接納合情推理，認(rèn)為推理