高等數(shù)學第二章-導數(shù)與微分

1、,一、問題的提出,1.自由落體運動的瞬時速度問題,如圖,取極限得,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,播放,如圖,如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,二、導數(shù)的定義,定義,其它形式,即,關于導數(shù)的說明：,注意:,播放,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.右導數(shù):,單側導數(shù),1.左導數(shù):,三、由定義求導數(shù),步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,四、導數(shù)的幾何意義與物理意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法

2、線方程為,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時變化率.,變速直線運動:路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度.,交流電路:電量對時間的導數(shù)為電流強度.,非均勻的物體:質量對長度(面積,體積)的導數(shù)為物體的線(面,體)密度.,五、可導與連續(xù)的關系,定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例,例如,注意: 該定理的逆定理不成立.,例如,例如,例8,解,六、小結,1. 導數(shù)的實質: 增量比的極限;,3. 導數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;,5. 求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù).,6. 判斷可導性,不連續(xù),一定不可導.,連續(xù),直接用定義;,看左右導數(shù)是

3、否存在且相等.,思考題,思考題解答,練習題答案,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)