水力學(xué)第4章 相似原理和量綱分析.ppt

1、水力學(xué)教學(xué)課件,主講教師：劉偉 答疑地點(diǎn)：綜合實(shí)驗(yàn)樓106,描述流體運(yùn)動(dòng)的各種方程式,由于流體運(yùn)動(dòng)及邊界條件的復(fù)雜性，某些問題無法求解,某些極其復(fù)雜的流動(dòng)，難于導(dǎo)出數(shù)學(xué)表達(dá)式,解決許多流體力學(xué)問題,理論分析,定性的理論分析和實(shí)驗(yàn)方法,第四章 量綱分析與相似理論,第一節(jié) 相似理論,為使模型流動(dòng)能表現(xiàn)出實(shí)型流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動(dòng)上預(yù)測出實(shí)型流動(dòng)的結(jié)果，就必須使兩者在流動(dòng)上相似，即兩個(gè)互為相似流動(dòng)的對(duì)應(yīng)部位上對(duì)應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。 具體來說，兩相似流動(dòng)應(yīng)幾何相似 、運(yùn)動(dòng)相似、 動(dòng)力相似 。,兩流動(dòng)相似應(yīng)滿足的條件,原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。,模型：通常把原型（實(shí)物）按一

2、定比例關(guān)系縮小（或放大）的 代表物，稱為模型。,力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的 原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn) 行觀測和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型 中，分析判斷原型的情況。,流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、 各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是 相似的。,1、幾何相似：流場幾何形狀相似，相應(yīng)長度成比例，相應(yīng)角度相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。,長度比尺,2、運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前提。流體質(zhì)點(diǎn)流過相應(yīng)的位移所用時(shí)間成比例。,在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場速度圖

3、相似，即相應(yīng)點(diǎn)速度大小成比例，方向相同。,長度比尺,時(shí)間比尺,長度比尺,時(shí)間比尺,3、動(dòng)力相似：在對(duì)應(yīng)位置和對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場中各種成分的力（時(shí)變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且五種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。,作用力比尺,式中 Fp原型某點(diǎn)上的作用力； Fm模型對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的作用力。,由牛頓第二定律：F = ma = V a,則力的比尺為,因?yàn)?則,即,上式可寫成,上式說明，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的牛頓數(shù)相等；反之兩個(gè)流動(dòng)的牛頓數(shù)相等，則兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似。 在相似原理中，兩個(gè)動(dòng)力相似流動(dòng)中的無量綱數(shù)，如牛頓數(shù)，稱為相似準(zhǔn)數(shù)

4、。動(dòng)力相似條件（相似準(zhǔn)數(shù)相等）稱為相似準(zhǔn)則。, 無量綱數(shù),在相似原理中稱為牛頓數(shù)Ne,四、初始條件和邊界條件的相似 初始條件：適用于非恒定流。 邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等。 五、流動(dòng)相似的含義 幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)； 動(dòng)力相似是決定兩個(gè)流體運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素； 運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)； 凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。,上面討論了流動(dòng)相似的基本理論，即兩流動(dòng)相似，應(yīng)具有幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似及初始條件和邊界條件相似這些要求。一般說來，幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力

5、相似的前提和依據(jù)，動(dòng)力相似是決定兩流動(dòng)相似的主導(dǎo)因素，運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)。因此，在幾何相似的前提下，要保證流動(dòng)相似，主要看動(dòng)力相似。,二. 相似準(zhǔn)則,在模型實(shí)驗(yàn)中，只要使其中起主導(dǎo)作用外力滿足相似條件，就能夠基本上反映出流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 作用在流體上的力主要是粘性力。 粘性力 （牛頓內(nèi)摩擦定律）,粘性力比尺,由于作用力僅考慮粘性力，F(xiàn) = T ，即,于是,1.雷諾準(zhǔn)則,上式說明，若作用在流體上的力主要是粘性力時(shí)，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的雷諾數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在粘性力作用下動(dòng)力相似。,化簡后,或者, 無量綱數(shù),即 雷諾數(shù),上式說明，若作用在流

6、體上主要是重力，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的弗汝德數(shù)相等，反之，兩個(gè)流動(dòng)的弗汝德數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在重力作用下動(dòng)力相似。,作用在流體上的力主要是重力。即：重力 G = mg = Vg 重力比尺,由于作用力F中僅考慮重力G，因而 F = G，即f = G,于是,化簡得：,或, 無量綱量,弗汝德數(shù),所以,2.弗汝德準(zhǔn)則,上式說明，若作用在流體上的力主要是壓力，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，則它們的歐拉數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個(gè)流動(dòng)的歐拉數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在壓力作用下動(dòng)力相似。,作用在流體上的力主要是壓力P。即：壓力 P = pA,由于作用力F中只考慮壓力P，因而 F = P，即,壓力比尺,于是可得,化簡

7、得,則, 無量綱數(shù),歐拉數(shù),所以,3.歐拉準(zhǔn)則,1.雷諾準(zhǔn)則,2.弗汝德準(zhǔn)則,3.歐拉準(zhǔn)則,相似準(zhǔn)則：,重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等,壓差力相似，即歐拉數(shù)相等,粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等,4.韋伯（表面張力相似）準(zhǔn)則,表面張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則：,當(dāng)表面張力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：,5.彈性力相似準(zhǔn)則(馬赫數(shù)),彈性力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）：,柯西數(shù),令,彈性模量,4.2 模型試驗(yàn) 模型律的選擇 模型設(shè)計(jì),在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),應(yīng)該測量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無量綱表達(dá)式包含的所有物理量,實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似準(zhǔn)數(shù)和其它無量綱量來表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實(shí)驗(yàn)

8、結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。,在什么條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?,應(yīng)該測量哪些物理量?,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何應(yīng)用?,如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?,模型的設(shè)計(jì)，首先要解決模型與原型各種比尺的選擇問題，即所謂模型律的問題。,一、模型律的選擇 在進(jìn)行模型設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)原型的物理量確定模型的量值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應(yīng)依據(jù)相似準(zhǔn)則來確定。 現(xiàn)在僅考慮粘性力與重力同時(shí)滿足相似。 由雷諾準(zhǔn)則,則,（1）,由佛汝德準(zhǔn)則,通常g = 1，則上式為,（2）,可見粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變 g 和 . 而我們知道改變 g 是不大可能的（由此可知為什么有些實(shí)驗(yàn)要在航天飛機(jī)上做），改變 的可能性也不大，因?yàn)榱黧w力學(xué)實(shí)驗(yàn)可供選擇的流

9、體種類是很少的。通常我們只能抓主要矛盾，保證起決定作用的那個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)相等，稱為 。,部分相似,在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),完全相似,嚴(yán)格地要求相似準(zhǔn)數(shù)都相同,難于做到,g相同,相同,例如,要達(dá)到主要?jiǎng)恿ο嗨凭蛻?yīng)該根據(jù)所研究或所需解決的原型流動(dòng)的性質(zhì)來決定，如對(duì)于重力起支配作用的流動(dòng)，選用Froude準(zhǔn)數(shù)為主要相似準(zhǔn)數(shù)（決定性相似準(zhǔn)數(shù)），滿足Frm=Frp ，此外 管道流動(dòng)，流體機(jī)械中的流動(dòng) ：Rem=Rep，Re數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù) 可壓縮流動(dòng)：Mam=Map，Ma數(shù)為決定性相似準(zhǔn)數(shù)。 總之，根據(jù)流動(dòng)的性質(zhì)來選取決定性相似準(zhǔn)數(shù),決定性相似準(zhǔn)數(shù)的定義： 對(duì)該性質(zhì)的流動(dòng)以該決定性相似準(zhǔn)數(shù)來判斷是否滿足了

10、主要?jiǎng)恿ο嗨啤?只要滿足了決定性相似準(zhǔn)數(shù)相等后，就滿足了主要?jiǎng)恿ο嗨?，抓住了解決問題的實(shí)質(zhì)。 （注意：對(duì)于Eu準(zhǔn)數(shù)而言，在其他相似準(zhǔn)數(shù)作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)滿足相等時(shí)， Eu準(zhǔn)數(shù)同時(shí)可以滿足）,二、模型設(shè)計(jì) 模型設(shè)計(jì)首先定出長度比尺 ，再以選定的比尺 縮?。ɑ蚍糯螅┰偷膸缀纬叨?，得出模型流動(dòng)的幾何邊界。 通常，模型和原型采用同一種類流體，則 ，然后按所選用的相似準(zhǔn)則確定相應(yīng)的速度比尺，再按下式計(jì)算出模型流的流量：,按以上步驟，便可實(shí)現(xiàn)原型、模型流動(dòng)在相應(yīng)準(zhǔn)則控制下的流動(dòng)相似。,或,例1：一橋墩長lp =24m，墩寬bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，兩橋臺(tái)的距

11、離Bp=90m。取 =50來設(shè)計(jì)水工模型試驗(yàn)，試求模型各幾何尺寸和模型中的平均流速和流量。,水深,由給定的 = 50 直接計(jì)算,解：（1）模型的各幾何尺寸,橋墩長,橋墩寬,橋臺(tái)距離,（2）模型平均流速與流量 對(duì)一般水工建筑物的流動(dòng)，起主要作用的是重力，所以模型試驗(yàn)只需滿足佛汝德準(zhǔn)則。即,所以,在此g = 1，則 ，模型的流速為,模型流量為,因?yàn)?由于 ，,例2：汽車高h(yuǎn)p=1.5m，最大行速為108km/h，擬在風(fēng)洞中測定其阻力。風(fēng)洞的最大風(fēng)速為45m/s，問模型的最小高度為多少？若模型中測得阻力為1.50kN，試求原型汽車所受的阻力。 解：（1）求模型的最小高度hm 對(duì)于分析氣體阻力問題，可

12、按雷諾準(zhǔn)則計(jì)算。雷諾準(zhǔn)則為,故,此處 ， ，,（2）求原型汽車所受的阻力 由在推導(dǎo)牛頓數(shù)得到的力的比尺為,故,則,4.3 量綱分析,一 量綱分析的基本概念 二 量綱和諧性原理 三 布金漢（Buckingham）定理,4.3.1 量綱分析的基本概念,1 量綱 是物理量的單位種類，又稱因次，如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用L表示。 2 基本量綱 導(dǎo)出量綱 基本量綱是具有獨(dú)立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個(gè)基本量綱：長度量綱L、 時(shí)間量綱T、 質(zhì)量量綱M， 導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示，如 加速度的量綱 a=

13、LT-2 力的量綱 F=ma=MLT-2 任何物理量B的量綱可寫成B=MLT,用 表示物理量的量綱，用（ ）表示物理量的單位,基本量綱具有獨(dú)立性 彼此互不依賴、相互獨(dú)立,誘導(dǎo)量綱由基本量綱導(dǎo)出 的其它物理量量綱,量綱,國際單位制：L、T、M 工程單位制：L、T、F,與溫度無關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題有三個(gè)基本量綱，其它物理量的量綱都可以由此導(dǎo)出。,導(dǎo)出量綱（誘導(dǎo)綱量）,基本綱量,稱為量綱指數(shù),或,如：,物理量q為無量綱量，也稱為純數(shù),則：,對(duì)于任意物理量q，其綱量可寫作：,3 基本量 導(dǎo)出量 一個(gè)物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系得出，前者互為獨(dú)

14、立的物理量。基本量個(gè)數(shù)取基本量綱個(gè)數(shù)，所取定的基本量必須包括三個(gè)基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。 如、v 、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L 、M 、T這三個(gè)基本量綱，而a 、v 、l就不能構(gòu)成基本量，因?yàn)椴话玖烤VM,導(dǎo)出量綱 速度 dim v = LT-1 加速度 dim a = LT-2 密度 dim = M L-3 力 dim F = M L T-2 壓強(qiáng) dim p = M L-1 T-2,一個(gè)幾何學(xué)的量 一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)的量 一個(gè)動(dòng)力學(xué)的量,為確保三個(gè)基本物理量的獨(dú)立性，選擇 三個(gè)基本物理量時(shí)必須保證包含：,4 無量綱量 指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實(shí)際是一個(gè)數(shù)，但

15、與單純的數(shù)不一樣，它是幾個(gè)物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過的相似準(zhǔn)數(shù),定義：物理量的所有量綱指數(shù)為零,相同量綱量的比值或幾個(gè)有量綱量通過乘除組合而成,無量綱量具有如下特點(diǎn)： 1、客觀性：無量綱，無單位。 真正客觀的方程式應(yīng)是由無量綱項(xiàng)組成的方程式 2、不受運(yùn)動(dòng)規(guī)模的影響 規(guī)模大小不同的相似流動(dòng)，相應(yīng)的無量綱數(shù)相同 3、可進(jìn)行超越函數(shù)的運(yùn)算 有量綱量只能做簡單的代數(shù)運(yùn)算，做對(duì)數(shù)、指數(shù)、 三角函數(shù)運(yùn)算是沒有意義的。,4.3.2 量綱和諧,正確反映客觀物理規(guī)律的函數(shù)關(guān)系式或方程式，方程中每項(xiàng)的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的，即：各項(xiàng)的量綱必須一致。,利用量綱和諧原理，可以從一個(gè)側(cè)面來檢驗(yàn)物理

16、方程的正確性。例如，不可壓縮液體恒定總流的能量方程:,式中，每一項(xiàng)都是長度量綱L，因而該方程是量綱和諧的。各項(xiàng)的單位無論是用米還是厘米，能量方程的形式均不變。,任何表示客觀物理規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式，其數(shù)學(xué)形式不隨單位制變換而改變形式。,客觀物理規(guī)律必定可以通過無量綱量之間的關(guān)系式來表達(dá)。 關(guān)系式各項(xiàng)由無量綱數(shù)組成，不會(huì)改變?cè)匠痰谋举|(zhì),這樣即可以避免因選用的單位 不同而引起的數(shù)值不同，又可使方程的參變量減少。,如果用位置水頭去除以能量方程式中的各項(xiàng)，即,量綱和諧原理還可以用來確定經(jīng)驗(yàn)公式中系數(shù)的量綱，以分析經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)構(gòu)是否合理。 例如：明渠均勻流的謝才公式,謝才系數(shù)就是一個(gè)有量綱的系數(shù)，根據(jù)量綱

17、和諧原理：,應(yīng)當(dāng)注意，有些特定條件下的經(jīng)驗(yàn)公式其量綱是不和諧的，說明人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)還不夠全面和充分，這時(shí)應(yīng)根據(jù)量綱和諧原理，確定公式中各項(xiàng)所應(yīng)采用的單位，在應(yīng)用這類公式時(shí)需特別注意采用所規(guī)定的單位。,量綱和諧原理的重要性： 一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。 量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。 可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。,問題1：運(yùn)動(dòng)粘度的量綱是： A. L/T2； B. L/T3 C. L2/T； D. L3/T。 問題2：速度v，長度l，重力加速度 g 的無量綱集合是： A. B. C. D. 問題3：速度v, 密度, 壓強(qiáng) p 的無量

18、綱集合是： A. B. C. D.,(C),(D),(D),量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對(duì)于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過程是十分有益的。,兩個(gè)規(guī)模不同的流動(dòng)相似是流體力學(xué)試驗(yàn)時(shí)必須面對(duì)的問題。,在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對(duì)流體力學(xué)試驗(yàn)研究有重要的指導(dǎo)意義。,科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn),指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的整理,建立物理量之間的關(guān)系,4.3.3 量綱分析法,量綱分析法是依據(jù)物理方程的量綱和諧原 理，充分了解流體運(yùn)動(dòng)的物理過程，找出這一過程中的影響因素，假定一個(gè)未知的函數(shù)關(guān)系，然后運(yùn)用物理方程量綱一致性原則確定這個(gè)函數(shù)關(guān)系。,量綱分析法,瑞利法,定理,4、

19、代入原假設(shè)的函數(shù)式中去，必要時(shí)整理簡化，即得簡明 的反映該物理現(xiàn)象的公式。,2、其中的某一個(gè)物理量可表示為其它物理量冪乘積形式,1.瑞利法,應(yīng)用步驟歸納,1、列出與物理現(xiàn)象有關(guān)的變量,3、將各變量的量綱化為基本量綱，寫出量綱方程式。,3、根據(jù)量綱和諧條件，列出基本量綱的和諧方程式，聯(lián)立 解出各變量的指數(shù)。,下面通過例題說明瑞利法的應(yīng)用步驟。,例 求水泵輸出功率的表達(dá)式。,（1）找出同水泵輸出功率N有關(guān)的物理量，包括單位體 積水的重量,、流量Q、揚(yáng)程H，即：,(2)寫出指數(shù)乘積關(guān)系式,（3）寫出量綱式：,(4) 以基本量綱（M、L、T）表示各物理量量綱,(5) 根據(jù)量綱和諧原理求量綱指數(shù),L:,

20、T:,，,，,M：,得 ： ， ，,(6) 整理得,例 求圓管層流的流量關(guān)系式。 解 圓管層流運(yùn)動(dòng)將在下一章詳述，這里僅作為量綱 分析的方法來討論。 (1) 找出影響圓管層流流量的物理量，包括管段兩端的 壓強(qiáng)差 、管段長 、半徑 、流體的粘度 。根據(jù) 經(jīng)驗(yàn)和已有實(shí)驗(yàn)資料的分析，得知流量 與壓強(qiáng)差 成正 比，與管段長 成反比。因此，可將 、 歸并為 項(xiàng) ，得到： (2)寫出指數(shù)乘積關(guān)系式：,（3）寫出量綱式： （4）以基本量綱(M 、L 、T 、)表示各物理量量綱 （5）根據(jù)量綱和諧求量綱指數(shù) M: L: T: 得： ， ，,(6) 整理方程式: 系數(shù)K由實(shí)驗(yàn)確定， ，則： 其中,由以上例題可以

21、看出，用瑞利法求力學(xué)方程，在有關(guān)物理量不超過4個(gè)，待求的量綱指數(shù)不超過3個(gè)時(shí)，可直接根據(jù)量綱和諧條件，求出各量綱指數(shù)，建立方程。當(dāng)有關(guān)物理量超過4個(gè)時(shí)，則需要?dú)w并有關(guān)物理量或選待定系數(shù)，以求得量綱指數(shù),題 目,試用瑞利法分析溢流堰過流時(shí)單寬流量q 的表達(dá)式。已知q 與堰頂水頭H、水的密度和重力加速度g 有關(guān)。,1. 分析影響因素，列出函數(shù)方程,解：,根據(jù)題意可知，溢流堰過流時(shí)單寬流量q 與堰頂水頭H、水的密度和重力加速度g 有關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為,2. 將q寫成H，g的指數(shù)乘積形式，即,3. 寫出量綱表達(dá)式,4. 選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量的量綱為,5. 由量綱和諧性原理求各量綱

22、指數(shù),L：2=a-3b+c T：-1=-2c M：0=b,a=3/2 b=0 c=1/2,6. 代入指數(shù)乘積式，得,其中，k1為無量綱系數(shù)，即流量系數(shù)m，由實(shí)驗(yàn)來確定。,即,2.定理,物理過程涉及 n 個(gè)物理量，表達(dá)形式為,其中有 m 個(gè)物理量是互相獨(dú)立的，稱為基本量，其余 n-m 個(gè)物理量為導(dǎo)出量，導(dǎo)出量的量綱可表示為：,基本方程式形式：,無量綱項(xiàng),組成的方程式,為原方程組的無量綱表示,物理過程涉及 n 個(gè)物理量，其中有 m 個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成 n-m 個(gè)無量綱量，物理過程則可由這 n-m 個(gè)無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。,物理過程的有

23、量綱表達(dá)形式為 其中 m 個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個(gè)物理量可各自與這m 個(gè)物理量組合成無量綱量 ，定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為,從無量綱表達(dá)看，似乎物理過程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只是這些物理量組合成了若干無量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來，無量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。,應(yīng)用 定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過程涉及的物理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。,定理量綱分析法的應(yīng)用步驟歸納,1、確定影響某種物理現(xiàn)象的有關(guān)變量（設(shè)數(shù)目為n個(gè)）寫出如式 的函數(shù)關(guān)系式。,2、從式中n個(gè)變量中選取m個(gè)（一般為3個(gè)）為基本

24、量。,3、列出（nm）個(gè) 式的組成為 ，其中A、B、C為基本量，y為（nm）個(gè)導(dǎo)出量之一。 為待求的指數(shù)，K可任意假定，一般取為1或1。,4、根據(jù)定理必須是無量綱組合數(shù)的條件，決定指數(shù) 列出i項(xiàng)。,5、帶入原假設(shè)函數(shù)式，則有 。,6、必要時(shí)，可將各項(xiàng)相互或自相乘除，以改變其形式，盡量使它稱為流體力學(xué)上熟悉的準(zhǔn)數(shù)，并根據(jù)理論分析和實(shí)驗(yàn)資料確定函數(shù)f的具體形式。,應(yīng)用定理的兩點(diǎn)說明： （1）m 個(gè)基本量綱是從 n 個(gè)物理量中選取 m 個(gè)基本物理量來代表的。 一般取三個(gè)基本物理量，即 m=3，要求這三個(gè)基本物理量不能組合成一個(gè)無量綱量。如用量綱公式表示基本物理量x1，x2，x3，則,三個(gè)基本物理量一

25、般取幾何長度、流速v、密度含有M、T及L量綱。,因此，x1，x2，x3不能組合成無量綱量的條件是量綱公式中指數(shù)行列式不等于零。即,（2）項(xiàng)的組合除了三個(gè)基本物理量以外，每次輪換取一個(gè)物理量，組合而成。即,式中ai、bi、ci各項(xiàng)的待定指數(shù)。 這樣一共可寫出（n 3）個(gè)項(xiàng)，因?yàn)楦黜?xiàng)是無量綱量，dim = L0 T0 M0，因此，可由量綱和諧原理求出各項(xiàng)的指數(shù)值。,例1：實(shí)驗(yàn)觀察與理論分析指出，恒定有壓管流的壓強(qiáng)損失p與管長l、直徑d、管壁粗糙度、動(dòng)力粘度、密度、流速v等因素有關(guān)。試用定理求出計(jì)算壓強(qiáng)損失p的公式及沿程損失hf的公式。 解：寫出函數(shù)關(guān)系式,其中,選取依次為幾何學(xué)量D、運(yùn)動(dòng)學(xué)量V和動(dòng)

26、力學(xué)量 為基本量，上述七個(gè)物理量可組合成n m =7 3 = 4 個(gè)無量綱項(xiàng)，即1、2、3和5，且有關(guān)系式：,解方程得： a1 = 2， b1 = 0， c1 = 1 a2 = 1， b2 = 1， c2 = 1 a3 = 0， b3 = 1， c3 = 0 a4 = 0， b4 = 1， c4 = 0,量綱表達(dá)式為,則,原函數(shù)關(guān)系式可寫成,或,上式即為有壓管流中計(jì)算壓強(qiáng)損失的公式，如以沿程水頭hf表示，則可寫成,由大量實(shí)驗(yàn)得知，p與管長l成正比，與管徑d成反比，因此 可從函數(shù)式中提出，上式可寫成,則,令 ，,稱為沿程阻力系數(shù)。,定理的解題步驟： 1、選取參變量，寫出函數(shù)關(guān)系； 2、選取基本量； 3、寫出的表達(dá)式； 4、列出指數(shù)指數(shù)方程； 5、求解指數(shù)方程； 6、代入表達(dá)式； 7、組合、整理。,題 目,試用瑞利法和定理（布金漢定理）推導(dǎo)圓柱繞流的阻力FD的表達(dá)式，并說明瑞利法和布金漢定理各適用于何種情況？已知圓柱繞流阻力FD與圓柱的直徑為D、流體的流速為V、流體的密度為和流體的動(dòng)力粘滯系數(shù)為有關(guān)。,1. 已知與阻力FD有關(guān)的物理量為d，V，即,解：一、瑞利法求解,2. 將阻力寫成d，