3.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、3.2.1 幾個(gè)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),射洪縣金華中學(xué) 鄧 波,如果將x0改為x,則求得的是,被稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).,一、復(fù)習(xí)回顧,主題 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 1.怎樣利用定義求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)？,提示：(1)計(jì)算 ，并化簡. (2)觀察當(dāng)x趨近于0時(shí)， 趨近于哪個(gè)定值. (3) 趨近于的定值就是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù).,2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度. (1)函數(shù)yf(x)c(常數(shù))的導(dǎo)數(shù)的物理意義是什么？ (2)函數(shù)yf(x)x的導(dǎo)數(shù)的物理意義呢？,提示：(1)若yc表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y0可以解釋為某物

2、體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài). (2)若yx表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則y1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng).,3.利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，但運(yùn)算比較繁雜，有些函數(shù)式子在中學(xué)階段無法變形，怎樣解決這個(gè)問題？ 提示：可以使用給出的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)，簡化運(yùn)算過程，降低運(yùn)算難度.,4.你能發(fā)現(xiàn)8個(gè)導(dǎo)數(shù)公式之間的聯(lián)系嗎？ 提示：公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.,結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的描述,0,cos x,-sin x,【微思考】 1.對于一些帶有根號的函數(shù)如何求導(dǎo)，如y= ？ 提示：把y= 轉(zhuǎn)化為y= 后再求導(dǎo).,2.若f(x)=+2，則f(x)的導(dǎo)數(shù)是多少？ 提示：函數(shù)

3、f(x)=+2,+2為常數(shù)，所以f(x)的導(dǎo)數(shù)是零.,3.若f(x)=x2,則f(m)的含義是什么？ 提示：含義是函數(shù)f(x)=x2在x=m處對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.,4.原函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)的定義域相同嗎？ 提示：不一定.如f(x)= 與f(x)= 的定義域不同.,【預(yù)習(xí)自測】 1.曲線y=xn在x=2處的導(dǎo)數(shù)為12，則n等于( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】選C.y=xn求導(dǎo)，得y=nxn-1，令n2n-1=12，解得n=3.,2.已知f(x)2x，則f(1)_. 【解析】因?yàn)閒(x) 2x，所以f(x)2xln 2， 所以f(1) 21ln 22ln 2. 答案：2ln 2,3.正弦函數(shù)

4、y=sin x在x= 處的切線方程為_. 【解析】求導(dǎo)，y=cos x，代入x= ，可得曲線 y=sin x在x= 處的切線斜率為 ，又切點(diǎn)縱坐標(biāo)為 sin ，即 ，所以所求切線方程為y- = (x- )，去分母化簡得12y-6= x- ，即 x-12y+6- =0.,4.一物體在曲線s= 上運(yùn)動(dòng)，則該物體在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為_. 【解析】因?yàn)閟=( )= ，所以該物體在 t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為s(3)= = . 答案：,類型一 利用公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【典例1】(1)給出下列結(jié)論： (cos )=-sin ; 若y= ,則y= ; 若f(x)=3x,則f(1)=3; 其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A

5、 1 B 2C 3D 4,【解析】(1)選A.cos = 為常數(shù)，則(cos )=0，所以錯(cuò)誤；y=( )=(x-2)= ，所以正確；因?yàn)閒(x)=3x，所以f(x)=3,所以f(1)=0,所以錯(cuò)誤；,(2)f(x) ，則f(1)( ) A. B.-C. D.-,【解析】選D.因?yàn)閒(x) ， 所以f(x) ， 所以f(1) .,【方法總結(jié)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)的兩個(gè)注意事項(xiàng) (1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)不需對公式說明,掌握這些公式的基本結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律直接應(yīng)用即可. (2)對一些函數(shù)求導(dǎo)時(shí),要弄清一些函數(shù)的內(nèi)部關(guān)系,合理轉(zhuǎn)化后再求導(dǎo)，如y= 可以轉(zhuǎn)化為y= 后再求導(dǎo).,【鞏固訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1

6、)y= . (2)y= .,【解析】(1) . (2) .,類型二 導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,動(dòng)手試試,練1. 求曲線 的斜率等于4的切線 方程.,練2. 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),【鞏固訓(xùn)練】,【延伸探究】 1.求曲線y=x4過點(diǎn)Q(0，-3)的切線方程.,【解析】顯然點(diǎn)Q不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)， 因?yàn)閥=4x3， 所以4x30= ，與y0=x40聯(lián)立方程組， 解得 x0=1， y0=1,所以當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線斜率為4，切線方程為4x-y-3=0；當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí)，切線斜率為-4，切線方程為4x+y+3=0.,【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)法解決切線問題 (1)利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是一種非常有效的方法，它適用于任何可導(dǎo)函數(shù)，是高考的熱點(diǎn). (2)求曲線的切線方程時(shí)，一定要注意已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).若切點(diǎn)沒有給出，一般是先設(shè)出切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求切線方程.,【課堂小結(jié)】 1.知識(shí)總結(jié),2.方法總結(jié):基本