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1、3.2.1 幾個(gè)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),射洪縣金華中學(xué) 鄧 波,如果將x0改為x,則求得的是,被稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).,一、復(fù)習(xí)回顧,主題 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式 1.怎樣利用定義求函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)?,提示:(1)計(jì)算 ,并化簡. (2)觀察當(dāng)x趨近于0時(shí), 趨近于哪個(gè)定值. (3) 趨近于的定值就是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù).,2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率,物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度. (1)函數(shù)yf(x)c(常數(shù))的導(dǎo)數(shù)的物理意義是什么? (2)函數(shù)yf(x)x的導(dǎo)數(shù)的物理意義呢?,提示:(1)若yc表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y0可以解釋為某物
2、體的瞬時(shí)速度始終為0,即一直處于靜止?fàn)顟B(tài). (2)若yx表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則y1可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng).,3.利用導(dǎo)數(shù)的定義可以求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),但運(yùn)算比較繁雜,有些函數(shù)式子在中學(xué)階段無法變形,怎樣解決這個(gè)問題? 提示:可以使用給出的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo),簡化運(yùn)算過程,降低運(yùn)算難度.,4.你能發(fā)現(xiàn)8個(gè)導(dǎo)數(shù)公式之間的聯(lián)系嗎? 提示:公式6是公式5的特例,公式8是公式7的特例.,結(jié)論:導(dǎo)數(shù)的描述,0,cos x,-sin x,【微思考】 1.對于一些帶有根號的函數(shù)如何求導(dǎo),如y= ? 提示:把y= 轉(zhuǎn)化為y= 后再求導(dǎo).,2.若f(x)=+2,則f(x)的導(dǎo)數(shù)是多少? 提示:函數(shù)
3、f(x)=+2,+2為常數(shù),所以f(x)的導(dǎo)數(shù)是零.,3.若f(x)=x2,則f(m)的含義是什么? 提示:含義是函數(shù)f(x)=x2在x=m處對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.,4.原函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)的定義域相同嗎? 提示:不一定.如f(x)= 與f(x)= 的定義域不同.,【預(yù)習(xí)自測】 1.曲線y=xn在x=2處的導(dǎo)數(shù)為12,則n等于( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】選C.y=xn求導(dǎo),得y=nxn-1,令n2n-1=12,解得n=3.,2.已知f(x)2x,則f(1)_. 【解析】因?yàn)閒(x) 2x,所以f(x)2xln 2, 所以f(1) 21ln 22ln 2. 答案:2ln 2,3.正弦函數(shù)
4、y=sin x在x= 處的切線方程為_. 【解析】求導(dǎo),y=cos x,代入x= ,可得曲線 y=sin x在x= 處的切線斜率為 ,又切點(diǎn)縱坐標(biāo)為 sin ,即 ,所以所求切線方程為y- = (x- ),去分母化簡得12y-6= x- ,即 x-12y+6- =0.,4.一物體在曲線s= 上運(yùn)動(dòng),則該物體在t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為_. 【解析】因?yàn)閟=( )= ,所以該物體在 t=3時(shí)的瞬時(shí)速度為s(3)= = . 答案:,類型一 利用公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【典例1】(1)給出下列結(jié)論: (cos )=-sin ; 若y= ,則y= ; 若f(x)=3x,則f(1)=3; 其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A
5、 1 B 2C 3D 4,【解析】(1)選A.cos = 為常數(shù),則(cos )=0,所以錯(cuò)誤;y=( )=(x-2)= ,所以正確;因?yàn)閒(x)=3x,所以f(x)=3,所以f(1)=0,所以錯(cuò)誤;,(2)f(x) ,則f(1)( ) A. B.-C. D.-,【解析】選D.因?yàn)閒(x) , 所以f(x) , 所以f(1) .,【方法總結(jié)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)的兩個(gè)注意事項(xiàng) (1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)不需對公式說明,掌握這些公式的基本結(jié)構(gòu)和變化規(guī)律直接應(yīng)用即可. (2)對一些函數(shù)求導(dǎo)時(shí),要弄清一些函數(shù)的內(nèi)部關(guān)系,合理轉(zhuǎn)化后再求導(dǎo),如y= 可以轉(zhuǎn)化為y= 后再求導(dǎo).,【鞏固訓(xùn)練】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1
6、)y= . (2)y= .,【解析】(1) . (2) .,類型二 導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,動(dòng)手試試,練1. 求曲線 的斜率等于4的切線 方程.,練2. 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),【鞏固訓(xùn)練】,【延伸探究】 1.求曲線y=x4過點(diǎn)Q(0,-3)的切線方程.,【解析】顯然點(diǎn)Q不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0), 因?yàn)閥=4x3, 所以4x30= ,與y0=x40聯(lián)立方程組, 解得 x0=1, y0=1,所以當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí),切線斜率為4,切線方程為4x-y-3=0;當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí),切線斜率為-4,切線方程為4x+y+3=0.,【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)法解決切線問題 (1)利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是一種非常有效的方法,它適用于任何可導(dǎo)函數(shù),是高考的熱點(diǎn). (2)求曲線的切線方程時(shí),一定要注意已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).若切點(diǎn)沒有給出,一般是先設(shè)出切點(diǎn),然后求出切點(diǎn)坐標(biāo),最后求切線方程.,【課堂小結(jié)】 1.知識(shí)總結(jié),2.方法總結(jié):基本
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