復(fù)習(xí)——概率1,2章.ppt

1、數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 赫孝良 理科樓-310 Email: ,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,第一章 隨機事件與概率,內(nèi) 容,隨機事件,概率,古典概率 計算,條件概率 事件獨立性,隨機試驗,樣本空間、隨機事件,事件運算：并、交、補、差,排列組合,典型問題,概率定義：古典、頻率、公理化,古典概型、 幾何概型,概率性質(zhì): 9條,取球問題,分球入盒問題,條件概率定義,全概率公式、貝葉斯公式,事件獨立性,1.隨機事件,隨機試驗 重復(fù)性、明確性、隨機性。,1.基本概念,樣本空間 隨機試驗E 所有可能的結(jié)果組成的集合。, = |為樣本點,隨機事件 的子集（滿足某些條件的樣本點集合）。,隨機事件發(fā)生,隨機事件中的一個樣本點發(fā)生

2、,特殊隨機事件：必然事件；不可能事件,2 事件及運算,A與B 的并集,A與B 的交集,A與B 的差集,A與B 不相交,事件A與事件B 的和,事件A與事件B 的差,事件A與事件B 的積,事件A與B的互不相容,事件運算的性質(zhì),1、交換律：ABBA，ABBA,2、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC),C,3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC),4、對偶(De Morgan)律：,一般,運算順序： 補、交、并、差，括號優(yōu)先 。,注意:,A-B= A- AB,甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，用A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關(guān)系

3、表示下列事件：,例1,解:,2 概率,公理化定義,統(tǒng)計定義,古典定義,1.定義,1). 古典定義,古典概型:,P(A)=,A 所含的樣本點的個數(shù),樣本空間的樣本點總數(shù),幾何概型,長度、面積、體積,2). 公理化定義,2 性質(zhì),(1)非負性：P(A)0； (2)歸一性：P()1； (3) 可列可加性：,1) 基本性質(zhì),設(shè)事件列A1, A2, An ,滿足AiAj ，(ij), 則有,兩兩互斥,2) 導(dǎo)出性質(zhì),(2) 有限可加性：若AiAj ,(ij), 則有,(1),(3) 若BA，則 P(BA)=P(B)P(A) P(B)P(A) （單調(diào)不減性）,(4) 互補性：P(A)1 P(A);,(5)

4、 加法公式:,P(AB)P(A)P(B)P(AB),（6） 概率的連續(xù)性,設(shè)A1, A2, An ,是事件列，若,，則有,10,設(shè)A1, A2, An ,是事件列，若,，則有,20,3 古典概率的計算,1 排列組合,1） 加法原理：,2） 乘法原理：,3） 有重復(fù)排列：,4） 無重復(fù)排列(選排列),5） 組合,1) 取球問題 設(shè)袋中有N個球，其中M個黑色球，現(xiàn)從中任取n個球，求這n個球中恰有m(mM)個黑色球的概率。,稱為超幾何分布,2 典型問題,取球模型應(yīng)用很多：,產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機取球問題。,把n個球隨機地放到N(Nn)個盒子中,每個盒子容球數(shù)無限制，求

5、下述事件的概率 A=指定的n個盒子各有一球 B=恰好有n個盒子各有一球 C=每盒至多有一球 D=至少有兩個球在同一盒子中 E=指定的一個盒子恰有 k 個球(kn),2) 分球入盒問題,解:,m=n個球放到N個盒子中的放法總數(shù),mA=事件A發(fā)生的放法總數(shù),Maxwell-Boltzmann模型,記,=樣本點總數(shù),=有利于事件A的樣本點數(shù),則有,A=指定的n個盒子各有一球,B=恰好有n個盒子各有一球,C=每盒至多有一球,D=至少有兩個球在同一盒子中,E=指定的一個盒子恰有 k 個球(kn),分球入盒模型應(yīng)用,信封,信,鑰匙,門鎖,生日,人,計算古典概率的注意事項,1) 必須在等可能概型下進行，因此

6、需設(shè)計符合問 題要求的隨機試驗，使其成為等可能概型。,3) 要注意利用概率性質(zhì)，將復(fù)雜問題簡單化。,2) 在計算事件A 所含樣本點的個數(shù)時，應(yīng)注意避免重復(fù)或遺漏?？偟脑瓌t是，以相同方式來計算樣本點總數(shù)n 以及 A 包含的樣本點個數(shù) nA。,4 條件概率與事件的獨立性,條件概率滿足概率的所有性質(zhì),1 條件概率,設(shè)A、B為兩事件, P ( B ) 0 , 則稱,1) 定義,為在B 發(fā)生的條件下，A 發(fā)生的條件概率。,2) 乘法定理,P(A)P(B|A). P（A）0,P(B)P(A|B). P（B）0,P(AB),一般地，設(shè) ,則,例1.（抽簽問題） 有一張奧運會開幕式的入場券，n個人以抽簽方式確

7、定誰能得到。 n個人依次抽簽，問第k（1kn)個人抽中的概率是多少？,3).全概率公式,定理 設(shè)B1, Bn (n可為)是互斥完備事件組，且,P(Bi)0，(i1,n)，則有,全概率公式的作用：,若干個簡單事件的概率計算問題,分解,一個復(fù)雜事件的概率計算問題,4) 貝葉斯公式,定理3 設(shè)B1，B2,Bn (n可為) ，是互斥完備事件群， 并且 P(Bi) 0 ( i = 1，2,n)， P(A)0 , 則有,借助貝葉斯公式可“由結(jié)果推測原因”。,“原因”,2 事件的獨立性,1) 兩事件的獨立性,A 與 B 相互獨立,若以下四對事件,定理,中有一對相互獨立，則另外三對也相互獨立。,在實際問題中，

8、往往是從試驗的具體條件和事件的性質(zhì)來判斷它們之間是否相互獨立，然后再利用獨立性來計算積事件的概率。,2) 多個事件的獨立性,定義,若對任意的k,和任意的,都有,則稱n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立.,n個事件相互獨立 其中任意k個事件相互獨立,A1,A2,An相互獨立 A1,A2,An兩兩獨立,特別,設(shè) A1, A2, , An 相互獨立，則把其中任意 m (1mn)個事件相應(yīng)地換成其對立事件，所得的 n 個事件仍相互獨立。,定理,事件的相互獨立與事件的互斥的區(qū)別：,1o不同的概念，不要混淆,若 則,“事件A與事件B相互獨立”和“事件A與事件B互斥” 不能同時成立 。,2o 二者

9、有不同的作用,當(dāng)事件 A1，A2，An 兩兩互斥時，有,當(dāng)事件A1，A2，An相互獨立時，有,P(A1A2An) = P(A1)P(A2)P(An),設(shè)兩事件與互斥，且P(A)0，P(B)0， 則下述結(jié)論正確的是 1) 與 互斥 2) 與 互斥 3). P(AB)=P(A)P(B) 4). P(A-B)=P(A),判斷題,2 設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,則下述 結(jié)論正確的是,1). P(A B|A )=P(B) 2). P(AB|B)=P(A) 3). P(A|B)=0 4). P(A B)=P(A)+P(B),往屆考題(第一章),類型1 基本計算,1. 已知,，求,2014

10、.1.13,2 已知,，求,= 。,2012.1.9,3 已知,，則A,B至少發(fā)生一個,的概率為_；,2011.7.8,4 已知,，求,= 。,2010.1.10,5 已知 A,B相互獨立， A,C互斥,且,2014.6.22,求,2 已知,，求,= 。,1. 已知,求,解:,解:,因為,則,故,3 已知,則A,B至少發(fā)生一個的概率為_；,解:,由全概率公式,得,故,4 已知,求,= 。,解:,故,由乘法公式,5 大家練習(xí),類型2概念題,設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,則下述結(jié)論正確 的是（） a). P(A B|A )=P(B) b). P(AB|B)=P(A) c). P(A

11、|B)=0 d). P(AB)=P(A)+P(B),2 設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,都存在， 則下列等式錯誤的是（）,a). b). c). d).,2014.6.22,1.,2014.1.13,2012.1.9,3,2011.7.8,類型3應(yīng)用題,一個學(xué)生宿舍有4名同學(xué)，（1）求4人生日都不在星期日的概率；（2）求4人生日不都在星期日的概率,甲、乙、丙獨立解一道題，他們能單獨解出的概率分別為,則此題能被解出的概率是 。,2,對有100名學(xué)生的班級考勤情況進行評估，從課堂上隨機點了10位同學(xué)的名字，如果班上學(xué)生的缺勤人數(shù)從0到2是等可能的，并且該班點名為全勤，計算該班實際上確實全勤的概率。,4,

12、2010.1.20,設(shè)有6件產(chǎn)品，其中3件合格品，3件次品。從中隨機的取出3件放入甲盒，余下的放入乙盒?，F(xiàn)從兩盒中各取一件產(chǎn)品，結(jié)果都是合格品。試求：（1）這兩件產(chǎn)品都是合格品的概率；（2）在這兩件產(chǎn)品都是合格品的條件下，甲盒有2件合格品，乙盒有1件合格品的概率。,某廠生產(chǎn)的碳素筆芯按盒出售，每盒50只，假設(shè)各盒含0,1,2 只次品的概率依次為0.7，0.2，0.1。一顧客欲購一盒筆芯，顧 客開盒隨機察看5只，若無次品，則買下該盒筆芯，否則不購 買。求 (1)顧客買下該箱的概率。 (2)在顧客買下的一箱中確實沒有次品的概率。,2014.6.22,1.,一個學(xué)生宿舍有4名同學(xué)，（1）求4人生日都

13、不在星期日的概率；（2）求4人生日不都在星期日的概率,m,mA1=,=樣本點總數(shù),有利于事件A1的樣本點數(shù),mA2=,有利于事件A2的樣本點數(shù),解:,記,mA3=,有利于事件A3的樣本點數(shù),有,故,2,對有100名學(xué)生的班級考勤情況進行評估，從課堂上隨機點了10位同學(xué)的名字，如果班上學(xué)生的缺勤人數(shù)從0到2是等可能的，并且該班隨機點名為全勤，計算該班實際上確實全勤的概率。,記 Ak =有k個人缺勤,已知,B=隨機點名為全勤,要計算,點名為全勤,解:,則,由貝葉斯公式,3,甲、乙、丙獨立解一道題，他們能單獨解出的概率分別為,則此題能被解出的概率是 。,記 A、B、C 為甲、乙、丙解出此題,要計算,

14、已知條件：A、B、C相互獨立，,故,解:,4,設(shè)有6件產(chǎn)品，其中3件合格品，3件次品。從中隨機的取出3件放入甲盒，余下的放入乙盒?，F(xiàn)從兩盒中各取一件產(chǎn)品。試求：（1）這兩件產(chǎn)品都是合格品的概率；（2）在這兩件產(chǎn)品都是合格品的條件下，甲盒有2件合格品，乙盒有1件合格品的概率。,記 A=甲乙兩盒中各取一件新產(chǎn)品為合格品,Bk=甲盒中有k件合格品, k=0,1,2,3;,B0, B3 是互斥完備事件組,(1) 由全概率公式,故,(2) 所求概率為,解:,(2),解法2,從6件產(chǎn)品取兩件產(chǎn)品都是合格品,從兩盒中各取一件產(chǎn)品，這兩件產(chǎn)品都是合格品,(1),記 A=甲乙兩盒中各取一件新產(chǎn)品為合格品,B=甲

15、盒中有2件合格品,故,故,5 大家練習(xí),1 證明：若 ，則A,B互斥與A,B相 互獨立不能同時成立。,類型4證明題,證：,若A,B互斥，則,故,由條件,反之若A,B相互獨立，則,故,A,B不互斥,2011.7.8,A,B不獨立,第二章 隨機變量與概率分布,內(nèi) 容,一維 隨機 變量,二維 隨機 變量,分布 函數(shù),離散型,連續(xù)型,分布律,典型分布,典型分布,概率密度,兩點分布 二項分布 泊松分布,均勻分布 正態(tài)分布 指數(shù)分布,聯(lián)合分 布函數(shù) 邊緣分 布函數(shù),離散型,連續(xù)型,分布律、邊緣分布律,典型分布,概率密度、邊緣概率密度,均勻分布 正態(tài)分布,設(shè) X 為隨機變量，記,1) 分布函數(shù)定義,稱 F(

16、x) 為 X 的分布函數(shù),1.一維隨機變量,由F(x)可計算X 落在任意區(qū)間( a , b的概率。,1 隨機變量與分布函數(shù),2)分布函數(shù)的性質(zhì),(1) F (x) 是單調(diào)增(不減 )函數(shù)，即,(3) F(x) 右連續(xù)，即,反之,如果一個函數(shù)滿足上述三條性質(zhì)，那么它必定是某個隨機變量的分布函數(shù)。,2 離散型隨機變量,1)分布律（概率函數(shù)） pi = PX = xi ( i = 1，2， ),2)分布律的性質(zhì),(1) pi 0 (i =1，2，)；,(2),3)分布律與分布函數(shù)的關(guān)系,4) 典型離散型概率分布,(1)單點分布（退化分布）,(2)兩點分布,PX=a0=1-p，PX=a1= p，（ 0

17、p1）,特別 0-1 分布,XB(1，p),記作 X B(n，p)。,(3)二項分布,（0 p 1）,記為 X P(),(4)泊松分布,（ 0）,泊松分布與二項分布的比較,（= np）,3 連續(xù)型隨機變量,1)概率密度,分布函數(shù),概率密度,f (t),F(x),x,研判一個函數(shù) 是否為 概率密度,(4) 若 f ( x )在 x 點處連續(xù)，則有,(3) 對 ab，有,2)概率密度的性質(zhì),3)典型連續(xù)型分布,(1) 均勻分布,記作 X U(a, b),X 的概率密度為：,(2)正態(tài)分布,X 的概率密度為,記為 XN(, 2)。, = 2,o,x, = 1, = 0.5,0.2,0.4,0.8,參

18、數(shù) 決定了圖形中峰的陡峭程度.,參數(shù) 決定了圖形的中心位置,正態(tài)分布的兩個特點：,標準正態(tài)分布 XN(0, 1),f (x),o,x,0.4,標準正態(tài)分布的性質(zhì),（2）若XN(, 2)，則,正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的分布，它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。,(3) 指數(shù)分布,X的概率密度,記作 X Exp(),(0)，,若 X Exp()，則對任意 s, t 0，有,指數(shù)分布的性質(zhì) 無記憶性,y,x,指數(shù)分布的分布函數(shù)為,2.二維隨機變量,1. 二維隨機變量與聯(lián)合分布函數(shù),( X ,Y ) 的（聯(lián)合）分布函數(shù),1）,(x, y),o,.,F (x, y),(X , Y )落入矩形區(qū)域,內(nèi)的概率為, F (x1, y2),=F (x2, y2), F (x2, y1),+ F (x1, y1),2）聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),(1),F (x, y) 對每個變量是單調(diào)增的,(2),F (