S域分析,零極點(diǎn)ppt課件

1、第五章 S域分析、極點(diǎn)與零點(diǎn),決定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 決定系統(tǒng)頻率響應(yīng) 決定系統(tǒng)穩(wěn)定性,1,系統(tǒng)函數(shù)的定義,系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應(yīng)的拉氏變換與激勵拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數(shù)，記作H(s). 可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、策動點(diǎn)阻抗或?qū)Ъ{,2,系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布,3,5.1 由系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布決定 時(shí)域特性（1）時(shí)域特性h(t),反變換,第 i個極點(diǎn)決定,總特性,Ki與零點(diǎn)分布有關(guān),4,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(a)一階極點(diǎn)在原點(diǎn),5,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(b)一階極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸,6,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(c)一階極點(diǎn)在正實(shí)軸,7,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(d)一階

2、共軛極點(diǎn)在虛軸上,8,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(e)共軛極點(diǎn)在虛軸上，原點(diǎn)有一零點(diǎn),9,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(f)共軛極點(diǎn)在左半平面,10,（2） 幾種典型的極點(diǎn)分布(g)共軛極點(diǎn)在右半平面,11,（3） 有二重極點(diǎn)分布(a)在原點(diǎn)有二重極點(diǎn),12,（3） 有二重極點(diǎn)分布(b)在負(fù)實(shí)軸上有二重極點(diǎn),13,（3） 有二重極點(diǎn)分布(c)在虛軸上有二重極點(diǎn),14,（3） 有二重極點(diǎn)分布(d)在左半平面有二重共軛極點(diǎn),15,一階極點(diǎn),16,二重極點(diǎn),17,極點(diǎn)影響小結(jié)：,極點(diǎn)落在左半平面 h(t) 逞衰減趨勢 極點(diǎn)落在右半平面 h(t)逞增長趨勢 極點(diǎn)落在虛軸上只有一階極點(diǎn) h(t) 等幅振蕩

3、，不能有重極點(diǎn) 極點(diǎn)落在原點(diǎn) h(t)等于 u(t),18,（4） 零點(diǎn)的影響,零點(diǎn)移動 到原點(diǎn),19,（4） 零點(diǎn)的影響,零點(diǎn)的分布只影響時(shí)域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率,幅度多了 一個因子,多了相移,20,結(jié)論,H(s)的極點(diǎn)決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，與激勵無關(guān) 自由響應(yīng)的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點(diǎn)有關(guān)，即零點(diǎn)影響 K i , K k 系數(shù) E(s)的極點(diǎn)決定了強(qiáng)迫響應(yīng)的振蕩頻率，與H(s) 無關(guān) 用H(s)只能研究零狀態(tài)響應(yīng)， H(s)中零極點(diǎn)相消將使某固有頻率丟失。,21,激勵E(s)的極點(diǎn)影響,激勵E(s)的極點(diǎn)也可能是復(fù)數(shù) 增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作 用下穩(wěn)下來，或與系統(tǒng)

4、某零點(diǎn)相抵消 等幅，穩(wěn)態(tài) 衰減趨勢，暫態(tài),22,例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,（1）求e(t)的拉氏變換,23,（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(s),（3）求系統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換,暫態(tài),穩(wěn)態(tài),24,(5) 求第一個周期引起的響應(yīng)的拉氏變換V01(t),（4）求暫態(tài)響應(yīng)，它在整個過程中是一樣的。,固定常數(shù),衰減因子,25,（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),26,（8）整個周期矩形信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),暫態(tài)響應(yīng),穩(wěn)態(tài)響應(yīng),完全響應(yīng),27,5.2 由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻率特性,什么是系統(tǒng)頻率響應(yīng)？ 不同頻率的正弦激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：,28,由正弦激勵的極點(diǎn) 決定的穩(wěn)態(tài)

5、響應(yīng),如系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 該項(xiàng)最后衰減為零,29,穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 有關(guān)的,幅度該變,相位偏移,30,若 換成 變量,系統(tǒng)頻率 特性,幅頻特性,相位特性,31,用幾何法求系統(tǒng)頻率特性,32,例：已知 試求當(dāng)時(shí)的幅頻和相位,33,5.3 一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析,已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點(diǎn)在S平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線,34,（1）一階系統(tǒng),一零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn) 一在原點(diǎn)的零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn) 只有無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)一在實(shí)軸的極點(diǎn),35,例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性,+ U1 ,+ U2 ,C,R,M,N,-1/RC,36,37,例： 求一階低通濾波器的頻率特性,R,C,

6、+ U1 _,+ U2 _,M,沒有零點(diǎn),38,幅頻特性,相位特性,39,（2） 二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析,只考慮單極 點(diǎn)使系統(tǒng)逞 低通特性,只考慮一極點(diǎn) 和一零點(diǎn)使系 統(tǒng)逞高通特性,中間狀態(tài)是個常數(shù),低通,高通,總體是個帶通,40,例：,41,高通,低通,42,較小時(shí) 起作用,逐漸增加,高通,43,較大時(shí) 起主要作用,低通特性,逐漸增加,44,帶通,45,例：若已知H(s)零極點(diǎn)分布如圖(a)-(h)試粗略給出它們的,46,47,48,5.4 二階諧振系統(tǒng)的S域分析,諧振頻率 衰減阻尼因子 頻率變化影響 高品質(zhì)因素,49,（一）諧振頻率,衰減因素,諧振頻率,50,(二)阻尼衰減因子 的影響

7、,若 不變，則共軛極點(diǎn)總是落在以原點(diǎn)為圓心，以 為半徑的左半圓弧上,等幅震蕩,衰減震蕩,51,臨界 不起振,實(shí)數(shù),根本不起振,52,（三）頻率變化影響,當(dāng)頻率變化時(shí) 在S平面沿著虛軸移動，將 代入Z(s)， 則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿 變化。,53,討論 的前提下， 不變 而 變化的情況,54,55,斜邊乘高,直 角邊之積,56,顯著增長，而 增長緩慢些,57,(四)高品質(zhì)因素的影響,品質(zhì)因素定義為 包括了 兩方面的影響 高，若諧振頻率一定，則 小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳 低，則相反,58,例如：當(dāng) 時(shí)的情況,當(dāng) 在 附近時(shí),59,60,邊帶,帶寬,高 帶窄,61,例如：高階系統(tǒng)

8、（極零點(diǎn)靠近虛軸）,無損電路，即 很小,62,63,有非?？拷撦S的零極點(diǎn),64,5.5 全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò),65,5.5全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò),系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對于 軸互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)。 全通，即幅頻特性為常數(shù) 相移肯定不是零,66,全通網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)分布,從對稱零點(diǎn)極點(diǎn)之和為180度 逐漸減少最后為-360度,67,68,例：,一些對稱性強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò),69,最小相移網(wǎng)絡(luò),零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大 零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小 定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的網(wǎng)絡(luò)函

9、數(shù)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)” 非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián),70,相互抵消,乘,71,5.6 系統(tǒng)穩(wěn)定性,一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù) 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關(guān) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性,72,穩(wěn)定性的三種情況,穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點(diǎn)落在左半平面（除虛軸外） 不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點(diǎn)在右半平面，或虛軸有二階以上重極點(diǎn)，不收斂。 邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階極點(diǎn)，等幅震蕩,73,穩(wěn)定系統(tǒng)對零極點(diǎn)的要求,在右半平面不能有極點(diǎn)，全在左半面 在虛軸上只能有一階極點(diǎn) 分子方次最多比分母方次高一次，即：轉(zhuǎn)移函數(shù) 策動點(diǎn)函

10、數(shù) 中分母的 的因子只能是 的形式，其中 都是正值，乘得的系數(shù)也是正值。,74,從最高次冪到最低次冪無缺項(xiàng)，b 0 可以為零。 要么全部缺偶次項(xiàng) 要么全部缺奇次項(xiàng) 的性質(zhì)也使用于,75,2. 羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為,76,H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。若ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)

11、號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則(R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。,77,羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則 (R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。,78,若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算：,79

12、,羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則) 指出： 多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,80,綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0, 1,

13、 2, , n)。 若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項(xiàng)并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,81,例 4.8-2 已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為,判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。,82,解 H1(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項(xiàng)式無缺項(xiàng)且系數(shù)全為正值，因此，進(jìn)一步用R-H準(zhǔn)則判斷。H3(s)的分母為,A3(s)的

14、系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為,83,根據(jù)式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得,因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。,84,例 4.8-3 圖 4.8-4 所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為,圖 4.8-4 例 4.8-3 圖,K取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。,85,解 令加法器的輸出為X(s)， 則有,由上式得,86,根據(jù)H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得,87,由式(4.8-20)和式(4.8-21)計(jì)算陣列的未知元素，得到陣列為,根據(jù)R-H準(zhǔn)則，若 和-K0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 根據(jù)以上

15、條件，當(dāng)K0時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。,88,4.8.5 拉普拉斯變換與傅里葉變換,若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里葉變換F(j)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為,由于s=+j，因此，若能使=Res等于零，則F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，這取決于F(s)的收斂域。 F(s)的收斂域?yàn)镽es0, 0為實(shí)數(shù)，稱為收斂坐標(biāo)。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。,89,1. 00 如果00，則F(s)的收斂域包含j軸(虛軸)，F(xiàn)(s)在j軸上收斂。若令=0，即令s=j，則F(s)存在。這時(shí)，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=j，則F(s)等于F(j)。 即,例如， ，其單邊拉普拉斯變

16、換為,的傅里葉變換為,90,2. 0=0,若收斂坐標(biāo)0=0，F(xiàn)(s)的收斂域?yàn)镽es0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含j軸，故F(s)在j軸上不收斂。若令s=j，則F(s)不等于F(j)。和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn)為m個一階極點(diǎn)ji(i=1, 2, , m)。將F(s)展開為部分分式，表示為,式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點(diǎn)對應(yīng)的分式。令FN(s)的原函數(shù)為fN(t)，則F(s)的原函數(shù)為,91,的傅里葉變換為,由于 是 的原函數(shù)，并且 的極點(diǎn)在左半面，故,92,根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于(t)的傅里葉變換為， 因此得,93,3. 00 若00，則F(s)的收斂域也不包含j軸，收斂域的邊界在右半平面內(nèi)。 因此，不能用式(4.8-24)得到F(j)。例如， f(t)=e2t(t), F(s)= ，F(xiàn)(s)的收斂域?yàn)镽es2， f(t)的傅里葉變換不存在。,94,例 4.8-4 已知f(t)=e-2tcos t(t)的單邊拉氏變換為,求 傅里葉變換,解 F（S）的收斂坐標(biāo) ，即 。因此,95,另一方面，根據(jù)傅里葉變換的調(diào)制定理，由于,所以有,96,例 4.8-5 已知f(t)=(1-e-t)(t)的單邊拉氏變