高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象知識巧解學(xué)案新人教A版必修

1、1.4.3 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)皰工巧解牛知識巧學(xué)一、正切函數(shù)的周期 是正切函數(shù)的周期.在這里，我們用兩角和的正切公式tan(+)=證明是正切函數(shù)的最小正周期. 設(shè)T是正切函數(shù)的最小正周期且0T，那么，根據(jù)周期函數(shù)的定義，當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有tan(x+T)=tanx.令x=代入上式，得tan(+T)=tan=1，即 =1，解得tanT=0，此時T=k，kZ，這與0T相矛盾.這說明上述tanT=0是不可能的，于是T必須等于，即正切函數(shù)的最小正周期是.學(xué)法一得 (1)周期函數(shù)的定義中“當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時”的“每一個”的含義是指函數(shù)定義域內(nèi)的所有x值，如果存在一個x0，使得

2、f(x0+T)f(x0)，那么T就不是函數(shù)f(x)的周期.(2)根據(jù)問題所給的全部信息，選包含在問題中的題設(shè)或結(jié)論中的某個特殊值，導(dǎo)出問題的答案，再進一步論證其正確性的方法，稱之為特殊化法.二、正切函數(shù)的奇偶性 由誘導(dǎo)公式三可知，tan(-x)=-tanx.又因為正切函數(shù)的定義域是xR，且x+k,kZ，它關(guān)于原點對稱，所以正切函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱.三、正切函數(shù)的單調(diào)性 過單位圓與x軸的正半軸的交點A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊(當(dāng)角為第一、四象限時)或其反向延長線(當(dāng)角為第二、三象限時)相交于點T，我們就把有向線段AT叫做角的正切線. 設(shè)角(,)，當(dāng)由小變大時，可見它的

3、正切線在負的方向上由長逐漸變短到零，再在正的方向上由零逐漸變長.結(jié)合正切函數(shù)的周期性可知，正切函數(shù)在開區(qū)間(-+k, +k),kZ內(nèi)都是增函數(shù).四、正切函數(shù)的值域由正切函數(shù)線的變化規(guī)律可知，正切函數(shù)在給定的定義域上沒有最值，它的值域是yR.五、正切函數(shù)的對稱性 正切函數(shù)是中心對稱圖形，同一支曲線的對稱中心是圖象與坐標軸的交點(k，0)，kZ.相鄰的兩支曲線的對稱中心是它們的公共漸近線同坐標軸的交點(+k，0)，kZ.由于終邊落在坐標軸上的角是=，kZ，可知切函數(shù)的對稱中心是(，0).六、用正切線作正切函數(shù)y=tanx，x(，)的圖象1.由任意角的三角函數(shù)的定義可知，正切函數(shù)y=tanx的定義域

4、是x|xR且x+k，kZ ，即角x的終邊不能落在y軸上.結(jié)合單位圓中正切線的畫法及其周期性，我們選擇在(，)這一區(qū)間內(nèi)作它的圖象是最為適宜的.2.作正切函數(shù)y=tanx，x(，)的圖象的步驟(1)建立直角坐標系，在x軸的負半軸上任取一點O1，以O(shè)1為圓心作單位圓;(2)把單位圓中的右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出其相應(yīng)的正切線;(3)在x軸上，把到這一段分成8等份，依次確定單位圓上8個分點在x軸上的位置;(4)把角x的正切線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合;(5)用光滑的曲線把正切線的終點連結(jié)起來，就得到y(tǒng)=tanx，x(，)的圖象.如圖14-1-2所示.圖1-4-123.根據(jù)正切函

5、數(shù)的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴展(每次擴展的整數(shù)倍)，得到正切函數(shù)y=tanx，xR且x+k，kZ的圖象，并把它叫做正切曲線(如圖1-4-13).從下圖可以看到，正切曲線是由相互平行的直線x=+k(kZ)(稱為正切曲線的漸近線)所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的.圖1-4-13學(xué)法一得 (1)一般說來，對函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識，然后再從代數(shù)的角度對性質(zhì)作出嚴格的表述.但對正切函數(shù)，本書采用了先根據(jù)已有的知識研究性質(zhì)，然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.在函數(shù)性質(zhì)的指導(dǎo)下，更加有效地研究圖象，使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的更加完美.(2)畫正切函數(shù)的簡

6、圖時，可按照開區(qū)間(,),(,),(,),分段，這些開區(qū)間的長度都等于個單位.在每一個開區(qū)間上，都有一支曲線與x軸交于一點，且與漸近線無限接近但永不相交.與x軸的交點及漸近線在確定圖象的形狀時起關(guān)鍵作用，利用它可以畫出正切函數(shù)的簡圖.類似于正弦、余弦函數(shù)的“五點法”作圖，正切曲線的簡圖可用“三點兩線法”，這里的三個點分別為(k,0),(k+,1),(k-,-1),其中kZ.兩線為直線x=k+ (kZ)和直線x=k- (kZ).(3)當(dāng)把單位圓的右半圓等分時，分的份數(shù)越多，圖象就越精確，所分份數(shù)以4的倍數(shù)為佳.正切曲線中，相互平行的直線x=+k，kZ都是它的漸近線.在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，圖象向上、向

7、下無限地接近這些線，但永遠不能相交.典題熱題知識點一 周期性例1 求下列正切函數(shù)的周期：(1)y=2tan(2x+)；(2)y=3tan()；(3)y=Atan(x+)，xR,x+k(其中A、為常數(shù)，且A0,0).思路分析：利用周期函數(shù)的定義或最小正周期的公式求解.解：(1)令z=2x+，那么函數(shù)y=2tanz的周期是.由于z+=(2x+)+=2(x+)+，所以自變量x只要并且至少要增加到x+時，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T=是能使等式2tan2(x+T)+=2tan(2x+)成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)y=2tan(2x+)的周期是.(2)令z=，那么函數(shù)y=3tanz的周期是.由于z+=()+=(

8、x+2)-，所以自變量x只要并且至少要增加到x+2時，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T=2是能使等式3tan(x+T)-=3tan()成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)y=3tan()的周期是2.(3)令z=x+，那么y=Atanz的周期是. 由于z+=(x+)+=(x+)+，所以自變量只要并且至少要增加到時，函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn)，即是能使等式Atan(x+T)+=Atan(x+)成立的最小正數(shù)，從而函數(shù)y=Atan(x+)的周期是.方法歸納 函數(shù)y=Atan(x+)(0)的周期是.對于上述結(jié)論，在以后的學(xué)習(xí)中可直接利用它求正切函數(shù)的周期.對于較復(fù)雜的三角函數(shù)式，可先化簡成這種形式，再求周期.例2 求f(x)=|

9、tanx|的最小正周期.思路分析：函數(shù)f(x)=|tanx|=的圖象可看作把y=tanx的圖象在x軸下半平面的部分沿x軸翻折上去而得到的.解：先作出y=tanx的圖象，然后將它在x軸上方的圖象保留，而將其在x軸下方的圖象向上翻(即作出關(guān)于x軸的對稱圖象)，就可得到y(tǒng)=|tanx|的圖象.如圖1-4-14,顯然它的最小正周期是.圖1-4-14方法歸納 最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的那個最小正數(shù)，這個最小正數(shù)是相對x而言的.正切函數(shù)y=Atan(x+)的最小正周期為.知識點二 奇偶性例3 試判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|；(2)f(x)=x2

10、tanx-sin2x；(3)f(x)=tanxcotx.思路分析：利用函數(shù)奇偶性的定義去判斷.解：(1)因為該函數(shù)的定義域是x|x+k，kZ，關(guān)于原點對稱，且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|= 1-2cosx+|tanx|=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(2)因為函數(shù)f(x)的定義域是x|x+k，kZ，關(guān)于原點對稱，又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x，f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(3)因為該函數(shù)的定義域是x|x，kZ ，關(guān)于原點對稱，且f(x)=tanxcotx=

11、1，對定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=1=f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù).方法歸納 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(y軸)對稱是該函數(shù)具有奇偶性的一個充要條件.奇(偶)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱;反過來，圖象關(guān)于原點(或y軸)對稱的函數(shù)是奇(偶)函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；二看f(-x)與f(x)的關(guān)系.若定義域關(guān)于原點對稱且滿足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)，否則就是非奇非偶函數(shù).知識點三 單調(diào)性例4 比較不同角的三角函數(shù)值的大小.(1)tan10015與tan13830；(2)tan()與tan()；(3)ta

12、n509與tan140.思路分析：利用誘導(dǎo)公式把它們轉(zhuǎn)化成銳角的正切函數(shù)或轉(zhuǎn)化成同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的正切函數(shù).解：(1)tan10015=tan(180-7945)=-tan7945，tan13830=tan(180-4130)=-tan4130.04130794590，且正切函數(shù)y=tanx，x(0，90)是增函數(shù)，tan4130tan7945，即tan10015tan13830.(2)tan()=-tan(5-)=tan，tan()=-tan(5-)=tan，且正切函數(shù)y=tanx，x(0，)是增函數(shù)，即.(3)tan509=tan(3180-31)=tan(-31)=-tan31，tan14

13、0=tan(180-40)=tan(-40)=-tan40.0314090，且正切函數(shù)y=tanx，x(0，90)是增函數(shù)，tan31tan40，即tan509tan140.例5 求函數(shù)y=tan(3x-)的單調(diào)區(qū)間.思路分析：利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令u=3x-，則y=tanu.u=3x-為增函數(shù)且y=tanu在區(qū)間(-+k，+k)，kZ上是增函數(shù)，y=tan(3x-)在-+k3x-+k，即在x()，kZ上是增函數(shù).方法歸納 由于切函數(shù)是奇函數(shù)，對于負角的切函數(shù)，可先轉(zhuǎn)化成正角的切函數(shù)；由于切函數(shù)的周期是，對于非銳角可直接轉(zhuǎn)化成k或k180，是銳角的形式，利用誘

14、導(dǎo)公式對其化簡；函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一個區(qū)間而言的.正切函數(shù)在每一個開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，但在整個定義域上不是單調(diào)函數(shù).例6 解下列不等式：(1)tanx1；(2)tan(2x-)+30.思路分析：利用切函數(shù)的圖象及其單調(diào)性求解.解：(1)如圖1-4-15，在區(qū)間(，)上，滿足tanx1的角是x，所以不等式的解集是x|+kx+k，kZ. 圖1-4-15 圖1-4-16(2)原不等式可化為tan(2x-)-3，設(shè)z=2x-.如圖1-4-16，在(，)上滿足tanz-3的角的范圍是，所以在整個定義域上有，kZ，即，kZ.解得，kZ.所以原不等式的解集是x|，kZ.知識點四 對稱性例7 下列各點中是

15、函數(shù)y=tan(x+)(xR且x+k，kZ)的一個對稱中心的為( )A.(0，0) B.(，0) C.(，0) D.(，0)思路分析：因為切函數(shù)的對稱中心是使函數(shù)值為零或使函數(shù)值無意義的點，不妨采用直接代入法求解.答案：C知識點五 函數(shù)的定義域例8 求函數(shù)的定義域.思路分析：求該函數(shù)的定義域不僅要考慮到tanx1，還要考慮到自身的限制條件.解：要使函數(shù)有意義，必須tanx1，且x+k,kZ，即該函數(shù)的定義域是x+k,kZ且x+k,kZ.方法歸納 函數(shù)y=Atan(x+)的定義域是它的漸近線集在實數(shù)中的補集，因此可從研究它的漸近線方程入手，來確定它的定義域.這也是一種非常重要的求補集思想.知識點

16、六 函數(shù)的值域例9 求函數(shù)y=tan2x-2tanx-3，x，+k，kZ的值域.思路分析：換元后，用配方法求二次函數(shù)的值域.解：設(shè)t=tanx，x，+k，kZ，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得t，1.則y=t2-2t-3=(t-1)2-4.因為y=t2-2t-3在區(qū)間，1上是減函數(shù)，所以當(dāng)t=時，ymax=；當(dāng)t=1時，ymin=(1-1)2-4=-4.所以，所求函數(shù)的值域為-4，.方法歸納 (1)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域.它是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的.(2)求二次函數(shù)的最值時，要注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)對稱軸不在給定區(qū)間時，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，其最值在區(qū)間的兩個端點處取

17、得；當(dāng)對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)時，在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠的區(qū)間端點處取另一最值.問題探究誤區(qū)陷阱探究問題1 正弦與余弦函數(shù)圖象形狀相同，因此在若干性質(zhì)上差別不大，但正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)相比較，就有了較多的不同點，那么在把握正切函數(shù)性質(zhì)時，與正弦、余弦函數(shù)對比，要注意些什么問題？探究過程：正切函數(shù)y=tanx,xk+,kZ，其定義域不是R，又正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)對應(yīng)法則不同，因此一些性質(zhì)與正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)有了較大的差別.如正弦、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，而正切函數(shù)則是無界函數(shù)；正弦、余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，反映在圖象上是連續(xù)無間斷點，而正切函數(shù)在R上不連續(xù)，它有無數(shù)條漸近線x=k+，圖

18、象被這些漸近線分割開來；正、余弦函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間又有單調(diào)減區(qū)間，而正切函數(shù)在每一個區(qū)間(k-,k+)(kZ)上都是增函數(shù).同作為三角函數(shù)，它們也存在許多相同點：如均為周期函數(shù)，且對y=Atan(x+)(0)而言，T=,y=tanx是奇函數(shù)，它的圖象既可以類似用正切線的幾何方法作圖，又可以用“三兩線法”作簡圖，這里三個點為(k,0),(k+,1),(k-,-1)，直線x=k+，直線x=k-(其中kZ)，作出這三個點和這兩條漸近線，便可得到y(tǒng)=tanx在一個周期上的簡圖.正弦、余弦函數(shù)與正切函數(shù)同是中心對稱圖形(正、余弦函數(shù)同時也是軸對稱圖形). 函數(shù)y=tanx的對稱中心的坐標是(,0)(kZ)，y=tanx的值域為R是顯然的.探究結(jié)論：對正切、余切函數(shù)相關(guān)的表示式的一些性質(zhì)不能由正弦、余弦函數(shù)的結(jié)論作一般的推廣，需論證后加以應(yīng)用，例如：y=|sinx|的周期是y=sinx的周期的一半，而y=|tanx|與y=tanx的周期卻相同，