第2章-光纖傳輸基本理論

1、第2章 光纖傳輸基本理論,2.1 光纖傳輸基本方程及解 2.2 多模光纖的光傳輸特性 2.3 單模光纖的光傳輸特性 2.4 光纖傳輸中的非線性現(xiàn)象,2.1 光纖傳輸基本方程及解,由于任何光信號(hào)都可分解成具有一定相對(duì)關(guān)系的單色光的組合，為了得到光纖傳輸?shù)奶匦裕覀冃枰獙?dǎo)出在單色光輸入情況下光纖的輸出特性。本節(jié)分析光纖中光的傳輸特性。,2.1.1 麥克斯韋方程與波動(dòng)方程 光信號(hào)在光纖中的傳輸由麥克斯韋方程描述，可寫,(2.1),式中,E(r,t)、H(r,t)分別為電場強(qiáng)度矢量和磁場強(qiáng)度矢量；D(r,t)、B(r,t)分別為電位移矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量；Jf(r,t)為電流密度矢量，f(r,t)為電

2、荷密度分布，是電磁場的源。 當(dāng)介質(zhì)內(nèi)傳輸?shù)碾姶艌鰪?qiáng)度E(r,t)和H(r,t)增大時(shí)，電位移矢量D(r,t)和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B(r,t)也隨之增大，它們的關(guān)系通過物質(zhì)方程聯(lián)系起來 D(r,t)=0E(r,t)+P(r,t) B(r,t)=0H(r,t)+M(r,t),(2.2),式中,0為真空中的介電常數(shù)，0為真空中的磁導(dǎo)率；P(r,t)、M(r,t)分別為感應(yīng)電極化強(qiáng)度和磁極化強(qiáng)度。對(duì)光纖這種無自由電荷的非磁性介質(zhì)，Jf(r ,t)=0，f(r,t)=0，M=0，感應(yīng)電極化強(qiáng)度可表示為 P(r,t)=PL(r,t)+PNL(r,t) (2.3),式中,PL為電極化強(qiáng)度的線性部分，PNL為電極

3、化強(qiáng)度的非線性部分，它們與電場強(qiáng)度的關(guān)系為,(2.4),在本節(jié)，我們只考慮光纖為線性介質(zhì)的情況，非線性問題留在本章第4節(jié)中討論。假設(shè)光纖為各向同性介質(zhì)，則 D(r,t)=E(r,t)=0(1+(1)E(r,t) B(r,t)=H(r,t),(2.5),考慮上面所提到的光纖的一些特性，光信號(hào)在光纖中傳輸?shù)柠溈怂鬼f方程可簡化為,(2.6),考察輸入為單色光的情況，光纖中任一點(diǎn)上的光信號(hào)的場強(qiáng)分布可表示為 E(r,t)=E(r)exp(-t) H(r,t)=H(r)exp(-t),(2.7),將上式代入式（2.6），并作適當(dāng)?shù)淖儞Q可得,(2.8),實(shí)際使用的光纖一般是弱導(dǎo)光纖，即纖芯和包層的折射率非

4、常接近，在一個(gè)波長的空間范圍內(nèi)的變化非常緩慢，上式中的/可以忽略不計(jì)，則有,(2.9a),(2.9b),其中，k0=2/，是自由空間波數(shù)，是波長，n=()1/2是介質(zhì)的折射率。這就是描述光纖中光場分布的基本方程，稱為波動(dòng)方程或亥姆霍茲方程。這是一個(gè)矢量方程，n只有在均勻介質(zhì)中才是常數(shù)。,2.1.2 波動(dòng)方程的近似解 根據(jù)光纖的具體結(jié)構(gòu)，利用上述矢量波動(dòng)方程，原則上是可以得到某些少數(shù)特定結(jié)構(gòu)的光纖中光場的精確分布。但方法煩瑣，結(jié)果復(fù)雜，利用這些結(jié)果去分析光纖的色散特性很困難。本節(jié)我們通過一種標(biāo)量的近似解法結(jié)合階躍光纖進(jìn)行求解。給出一些物理意義明確的結(jié)果。,我們知道，對(duì)通信用光纖，纖芯、包層折射率

5、相差很小，1。在這種情況下，纖芯、包層界面上全反射角的臨界角接近90，光纖中導(dǎo)行波的射線幾乎是與光纖軸平行傳播的。這種波接近TEM波。電磁場的軸向分量很小，橫向分量占優(yōu)勢，該橫向場的極化方向在傳播過程中基本保持不變，橫向電場和磁場之間的關(guān)系可用波阻抗Z=(0/)1/2來表示。,現(xiàn)在我們近似假定橫向場的極化方向保持不變，這樣就 可用一個(gè)標(biāo)量來描述它，它將滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程。由此我們可以通過解該橫向場的標(biāo)量亥姆霍茲方程求得解答。這種方法叫標(biāo)量近似分析法。可以看出，標(biāo)量近似分析法是以n1n2為前提的。下面我們將用標(biāo)量近似分析法推導(dǎo)出場方程、特征方程，介紹標(biāo)量解的模式分布，討論各模式的傳輸特性及光纖

6、中的功率分布等。,1.標(biāo)量場方程 由于假定了弱導(dǎo)波光纖中的橫向場的極化方向保持不變，采用直角坐標(biāo)系來表示場分量比較方便，因此，分析問題時(shí)將同時(shí)采用直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系，如圖2.1所示。假定折射率為n2的包層無限大，在后面我們將看出該假設(shè)的合理性。,圖2.1 光纖坐標(biāo),選橫向場的極化方向與y軸一致，即電場只有y分量，x分量為零，則式（2.9a）變?yōu)?(2.10) 解此方程并滿足纖芯、包層交界面上的邊界條件，就可得到光纖的標(biāo)量解。將式（2.10）寫到圓柱坐標(biāo)系中，得到,(2.11),根據(jù)光纖截面折射率分布的圓柱對(duì)稱性和軸向平移不變性，在以光纖軸線為軸的柱坐標(biāo)系統(tǒng)中，光纖中光場的分布應(yīng)有下列形式

7、Ey(r,z)=R(r)cosmexp(jzt) (2.12) 這里z是z方向的傳播常數(shù)，如果z方向有能量損失，則z是復(fù)數(shù)，虛數(shù)部分代表單位距離的損失，實(shí)數(shù)部分代表單位距離相位的傳播。將式（2.12）代入式（2.11），整理后得,上式中第一個(gè)式子是m階貝塞爾方程，第二個(gè)式子是變質(zhì)的貝塞爾方程。m、z對(duì)應(yīng)著方程的某一種解，表示光場的某種特定分布，這種特定分布通常稱為某種模式。為了方便起見，引入兩個(gè)有用的參量，令,(2.13),u叫做導(dǎo)波的徑向歸一化相位常數(shù)，w叫做導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)。它們各表示在纖芯和包層中導(dǎo)波場沿徑向的變化情況。下面分析場方程的解。在纖芯內(nèi)，R(r)的解應(yīng)是貝塞爾函數(shù)的組

8、合,(2.14),(2.15),其中，Jm為貝塞爾函數(shù)，Ym為聶曼函數(shù)。R(r)在纖芯處應(yīng)為駐波解，由于Ym(0)為無窮大，與場的實(shí)際情況不符，因此B為0。在包層內(nèi)，R(r)的解應(yīng)是修正貝塞爾函數(shù)的組合,(2.16),其中，Im和Km分別為第一類和第二類修正的貝塞爾函數(shù)。R(r)在包層中隨r的增加應(yīng)減小，是衰減解，而Im在r趨近無窮時(shí)也趨于無窮，所以C應(yīng)為0。于是R(r)可寫為,(2.17),J與K兩種函數(shù)的曲線示于圖2.2中。利用上式，光纖中Ey的表示式可寫成,(2.18),在推導(dǎo)上式中利用了纖芯界面上的邊界條件，E1=E2，簡化掉了一個(gè)常數(shù)。 橫向磁場只包含Hx分量，根據(jù)Ey可寫成,(2.

9、19),圖2.2 貝塞爾函數(shù)和修正的貝塞爾函數(shù)圖形,從麥克斯韋方程，可求出Ez和Hz的表示式：,ra,(2.20),ra,ra,ra,(2.21),比較場的軸向和橫向分量的大小，可以發(fā)現(xiàn)，弱波導(dǎo)光纖的軸向分量比橫向分量的值小得多。因?yàn)檩S向分量的表示式中含有u/aK0和w/aK0，而,(2.22),它們都在數(shù)量級(jí)。所以合成場基本在光纖橫截面 上，近似一個(gè)TEM波。,2.標(biāo)量解的特征方程 根據(jù)邊界條件可以導(dǎo)出特征方程，前面在求解場的橫向分量的表示式時(shí)已用了纖芯界面上場的角向分量連續(xù)的條件，現(xiàn)在再用界面上軸向分量連續(xù)的條件。在r=a處，Ez1=Ez2，則,(2.23),(2.24),利用弱導(dǎo)條件，上

10、式可寫成下面兩個(gè)式子,1) LPmn模的截止條件 我們先簡單分析一下光纖中傳輸?shù)膶?dǎo)行波的特性?？疾彀鼘又械碾妶?，我們有,(2.25),根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的特性，上式近似為,(2.26),式中，C為比例常數(shù)。從上式可以看出，當(dāng)w20時(shí)(即w為實(shí)數(shù)時(shí))，場在纖芯外呈指數(shù)衰減型，在r相當(dāng)大處，E(r)趨于零。這時(shí)光波封閉在光纖中傳輸，對(duì)應(yīng)為傳導(dǎo)模。根據(jù)式（2.14），若,(2.27),w成為虛數(shù)，包層中的場將成振蕩型，而振幅不減小，意味著光能向外輻射，這時(shí)的光場為輻射模式。顯然，w=0剛好是傳導(dǎo)模和輻射模的分界處，將wc=0定義為傳導(dǎo)模的截止條件。 下面考察截止這種極端情況下特征方程的解。首先我們引

11、入一個(gè)有用的參量歸一化頻率，定義為,(2.28),它與光纖的參數(shù)和傳導(dǎo)光波的波長有關(guān)，在wc=0時(shí)，Vc=uc，分別稱為歸一化截止頻率和歸一化截止相位常數(shù)。顯然，在截止條件下得到的特征函數(shù)的解uc就是所對(duì)應(yīng)模式的截止條件Vc。 在截止條件下，w=0，Km(w)近似為,(2.29),可以證明，特征方程（2.23）的右端在任何值時(shí)都為零。于是，截止時(shí)有,當(dāng)uc不為0時(shí),(2.30),(2.31),這就是截止情況下的特征方程，由此可以解出uc， 確定截止條件。uc是m-1階貝塞爾函數(shù)的根。,當(dāng)m=0時(shí)，J-1(uc)=J1(uc)=0，可解出uc=1,n-1=0，3.83171，7.01559，10

12、.17347，這里1,n-1是一階貝塞爾函數(shù)的第n-1個(gè)根，n=1,2,3,。顯然，LP01模的截止頻率為0，LP02模的截止頻率為3.83171，這意味著當(dāng)歸一化頻率V小于3.83171時(shí)，LP02模不能在光纖中傳輸，而LP01?？偸强梢栽诠饫w中傳輸?shù)摹?當(dāng)m0時(shí)，Jm-1(uc)=0，可解出uc=m-1，n，它是m-1階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，n=1,2,3,。對(duì)于m=1，uc=0n=2.40483，5.52008，8.65373，。表2.1列出了較低階LPmn模截止時(shí)的uc值。,表2.1 截止時(shí)較低階LPmn模的uc值,2) LPmn模遠(yuǎn)離截止時(shí)的解及其物理意義 從上面對(duì)模式截止條件的分析

13、可以看出，在光纖中，隨著歸一化頻率V的增大，它所截止的模式的階數(shù)也增加，即傳播的模式增加?，F(xiàn)在我們分析另一種極端情況：遠(yuǎn)離截止時(shí)的情況。隨著光纖歸一化頻率的增加，導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)w越來越大，這意味著導(dǎo)波在包層中徑向衰減加快，導(dǎo)波能量往光纖纖芯中集中，當(dāng)V和w足夠大時(shí)，除靠近V的幾個(gè)高階模外，導(dǎo)波能量基本集中在光纖纖芯當(dāng)中。我們把這種狀態(tài)稱為遠(yuǎn)離截止的情況。,根據(jù)V的定義，當(dāng)V時(shí)，比值a/，于是那些遠(yuǎn)離截止的較低階模的衰減常數(shù)w，這時(shí)Km(w)可用大宗量下的近似式表示,(2.32),將上式代入特征方程（2.24）可得,(2.33),因而遠(yuǎn)離截止時(shí)的特征方程可簡化為 Jm(u)=0 (2.

14、34) 遠(yuǎn)離截止時(shí)的特征值是m階貝塞爾函數(shù)的根mn（n=1,2,3,）。表2.2中列出了mn較低階的值。,表2.2 遠(yuǎn)離截止時(shí)LPmn模的u值,綜上所述，LPmn模的u值在截止時(shí)為m-1階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，在遠(yuǎn)離截止時(shí)為m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，在一般情況下應(yīng)在這兩者之間變化。由特征方程式（2.24）并結(jié)合V的定義，用數(shù)值方法可作出一般情況下u-V的關(guān)系曲線，如圖2.3所示。由該圖可清楚地看出各模式的截止條件和允許的u值的范圍。,圖2.3 u-V關(guān)系曲線,上面討論了沿y方向極化的LP模，并假定它沿圓周方向是cosm變化的。實(shí)際上還存在著與Ey垂直的x方向的極化場Ex。這兩種極化波又都有選取

15、sinm和cosm的自由。盡管它們有形式上的差別，但在弱導(dǎo)近似下的傳播常數(shù)是相同的，可用同一組標(biāo)號(hào)m、n表征，統(tǒng)稱為LPmn模，又稱之為簡并模。每一個(gè)LPmn模一般有四重簡并。當(dāng)m=0時(shí)，sinm=0，LP0n模只有兩重簡并。圖2.4給出了LP01模和LP11模的各種可能分布。,圖2.4 LP01和LP11模電場的可能分布,在LP模分析法中，各LPmn模的標(biāo)號(hào)m、n有明確的物理意義，它們表示對(duì)應(yīng)模場在光纖橫截面上的分布規(guī)律。由式（2.18）可知，LPmn模在纖芯中的橫向電場分布為,(2.35),它沿圓周及半徑方向的分布規(guī)律分別為,(2.36),(2.37),顯然，光場在圓周方向上的變化情況與m

16、有關(guān)，當(dāng)m=0時(shí),(正弦規(guī)律),(余弦規(guī)律),(2.38),說明在圓周方向上無光場變化，在圓周方向上出現(xiàn) 最大值的個(gè)數(shù)為0。當(dāng)m=1時(shí),(2.39),由式（2.37）可見，光場沿徑向的變化與n有關(guān)。下面以m=0為例加以說明。這時(shí)LP0n模的場沿徑向按零階貝塞爾函數(shù)的規(guī)律變化。在遠(yuǎn)離截止的情況下，對(duì)LP01模u=01=2.40483，它沿徑向的變化規(guī)律為,(2.40),在r=0處，R(0)=1；在r=a處，R(a)=0，它沿r的變化情況如圖2.5(a)所示。對(duì)LP02模u=02=5.52008，它沿徑向的變化規(guī)律為,在r=0處，R(0)=1；在r=0.4357處，R(r)=0；在r=a處，R(a

17、)=0，它沿r的變化情況如圖2.5(b)所示，沿半徑有兩個(gè)最大值?？梢?，n表示沿半徑最大值的個(gè)數(shù)。,圖2.5 LP0n模的電場強(qiáng)度徑向分布,2.1.3 標(biāo)量場模的光功率分布 計(jì)算各模式在纖芯和包層中的功率分布是有實(shí)際意義的。首先，從計(jì)算結(jié)果可以看出功率在纖芯中的集中程度。另外，實(shí)際光纖中存在損耗，這些損耗分別產(chǎn)生在纖芯、包層及兩者的分界面上，而各部分的衰減與各部分的傳輸功率成正比。因此，為了計(jì)算損耗也需知道功率在光纖中的分布情況。,將軸向玻印亭矢量分別在纖芯和包層橫截面上積分，就可求出纖芯和包層中傳輸?shù)墓β史謩e為,(2.42),(2.43),將式（2.18）和式（2.19）代入式（2.42）得

18、到纖芯中傳輸?shù)墓β蕿?(2.44),類似地，可得包層中的傳輸功率為,(2.45),對(duì)弱導(dǎo)光纖，n1n2=n，并令C=-a2A2/4Z0，則,(2.46),光纖纖芯中光功率與總功率之比為,(2.47),在推導(dǎo)上式時(shí)利用了特征函數(shù)。光纖包層中光功率與總功率之比為,(2.48),利用上式可求得包層中光功率與V的關(guān)系曲線，如圖 2.6所示。,圖2.6 各模的包層功率與V值的關(guān)系,下面我們討論V和V逐漸減小兩種情況下的光功率分布。V時(shí)，LPmn模的u值對(duì)應(yīng)m階貝塞爾函數(shù)的根。Jm(u)=0，且wV，所以Pcore/Ptotal=1說明光功率完全集中在纖芯中。隨著V值減小，高的模次逐漸截止，即w0，則,(

19、2.49),上式可進(jìn)一步表示成,(2.50),2.1.4 單模與多模光纖的分類及處理方法 上面我們?cè)趦煞N極端情況下對(duì)光纖的傳輸特性進(jìn)行了分析，可以看出，光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)由歸一化頻率決定，當(dāng)歸一化頻率確定后，光纖中所傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)和模式分布也就確定了。 一般情況下，光纖中有許多模式，每一模式有其特定的傳播常數(shù)。由于模式之間的傳播常數(shù)不同，各模式之間將有色散，這種色散稱為模間色散。光纖的傳輸特性由所有能夠傳輸?shù)哪Ｊ蒋B加后確定。,根據(jù)前面的分析，當(dāng)光纖的歸一化頻率小于LP11模的截止頻率時(shí)，光纖中將只有LP01模能夠運(yùn)行，我們將,(2.51),稱為光纖的單模傳輸條件。因?yàn)闅w一化頻率是工作波長和折射率

20、分布的函數(shù)，當(dāng)光纖參數(shù)確定后，只有工作波長大于某一特定波長時(shí)，光纖才能實(shí)現(xiàn)單模傳輸。我們稱這個(gè)特定波長為光纖的截止波長，可表示為,(2.52),2.2 多模光纖的光傳輸特性,在上一節(jié)我們指出，用波動(dòng)理論研究多模光纖的傳輸特性非常復(fù)雜，很難得到一些簡潔的、有意義的結(jié)果。在多模光纖中，由于波長一般遠(yuǎn)小于光纖的直徑，可以用射線光學(xué)來研究它的傳輸特性。所謂射線光學(xué)是波長趨于0時(shí)由波動(dòng)理論近似后得到的一種描述光波行為的理論。它的核心方程為射線微分方程，由麥克斯韋方程在波長趨于0的情況下得到，可表示為,這是矢量形式的射線微分方程，其中，r是一條光線上某代表點(diǎn)的矢量位置，s是該點(diǎn)在光線上從某固定點(diǎn)量起的長度

21、，上式右邊為折射率梯度。利用該方程，原則上就可以對(duì)各種折射率分布情況下光線的傳輸特性進(jìn)行描述。但實(shí)際上在折射率分布復(fù)雜的情況下解該矢量微分方程并不容易，一般不直接使用該方程，,(2.53),而是靈活使用由該方程在一些具體條件下得到的更簡單的方程，如折射、反射定律等。下面我們利用射線光學(xué)理論分析最常見的階躍光纖和梯度光纖的傳輸特性。,2.2.1 階躍光纖的傳輸特性 階躍折射率分布的多模光纖是結(jié)構(gòu)最簡單的多模光纖，它的纖芯和包層的折射率分布都是均勻的，分別為n1和n2，且n1n2。通過這種光纖的光線有兩種：子午光線和斜射光線，如圖2.7所示。所謂子午光線是那些在光纖內(nèi)的兩次全反射中通過光纖軸線的光

22、線，而斜射光線就是一些與光纖中心軸既不平行，也不相交的光線。這兩種光線在光纖傳輸過程中具有不同的性質(zhì)。,圖2.7 子午光線和斜射光線 (a)子午光線及其入射條件；(b)斜射光線的概念,1. 階躍光纖中子午光線的傳輸特性 在光纖中，通過光纖中心軸的任何平面都稱為子午面，而位于子午面內(nèi)的光線就是子午光線。子午面有無限多個(gè)，它在光纖端面上的投影即為光纖端面上的直徑。根據(jù)光的反射定律，如果光纖是一個(gè)均勻的直圓柱體，子午線將始終位于一個(gè)子午面內(nèi)，且在光纖入端的入射角等于光纖出端的出射角。所以，對(duì)子午光線的研究可在子午平面內(nèi)進(jìn)行。如圖2.7(a)所示，假定在某子午面內(nèi)，光線以入射角入射到光纖端面中心再射入

23、到光纖中，,在光纖內(nèi)，此光線與軸線的夾角為0。由式(2.53)可以導(dǎo)出，在兩均勻介質(zhì)的分界面處有,(2.54),上式為描述光在兩介質(zhì)截面上折射行為的斯涅爾定律，其中n0為空氣中的折射率，其值一般取1。如果要該光線能夠在光纖中傳播而不折射出去，則必須滿足在纖芯、包層界面上產(chǎn)生全反射的條件，即,(2.55),在上式中，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)對(duì)應(yīng)的入射角稱為最大入射角，以max表示。也就是說只有在光纖端面入射角max的光線才能在光纖中傳播。對(duì)光纖而言，這個(gè)可能的最大的入射角叫做光纖的接受角，它僅與n1、n2有關(guān)。習(xí)慣上，我們將接受角的正弦值定義為光纖的數(shù)值孔徑，用N.A表示,將上式代入式（2.54）就得到入射

24、子午光線傳播的條件,(2.56),(2.57),由于以小于光纖接受角進(jìn)入光纖中的子午光線都可以在光纖中傳輸，而這些光線所走的路徑不同，這些光線之間將出現(xiàn)色散，這就是我們?cè)谏瞎?jié)中提到的模間色散。下面我們計(jì)算軌跡不同的光線到達(dá)光纖輸出端產(chǎn)生的傳輸時(shí)間差及相應(yīng)的色散。,式中,為芯包間相對(duì)折射率差，表示為,(2.58),在圖2.7(a)中，=0時(shí)的入射光線傳播時(shí)間最短，而傳播時(shí)間最長的光線對(duì)應(yīng)于max：,(2.59),通常用沿光纖單位長度傳播時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的信號(hào)時(shí)延展寬來度量模間色散。用0和max分別表示為0和max兩條光線沿光纖單位長度傳播的時(shí)間，則時(shí)延展寬為,(2.60),顯然，時(shí)延展寬與成正比。對(duì)

25、多模光纖而言，一般為1%左右。設(shè)纖芯折射率為n1=1.5，則0=n1/c=5s/km，當(dāng)=1%時(shí)，可算得=50ns/km，對(duì)應(yīng)的傳輸帶寬僅為20MHz/km。,2.階躍光纖中斜射光線的傳輸特性 入射到光纖端面的光束除了子午光線外，還有很多斜射光線。斜射光線就是一些與光纖中心軸既不平行，也不相交的光線。它們和光軸是異面直線，所以對(duì)于斜射光線的討論必須在三維空間中以矢量方法進(jìn)行。由于斜射光線與光纖中心軸不在一個(gè)平面，斜射光線在光纖內(nèi)進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，其端面上的投影如圖2.7所示。它可以是左旋折線，也可以是右旋折線，并且這些螺旋折線和光軸是等距離的。

26、,在圖2.8中，方向矢量為S0=L0i+M0j+N0k的光線入射到光纖端面的位置P0=x0i+y0j上（i、j、k為單位矢量）。設(shè)m為表示第m次反射點(diǎn)的徑向矢量，而Sm為緊接第m次反射前的光線方向矢量，根據(jù)反射前后光線共面的條件有： (Sm-Sm+1)m=0 (2.61) 再由入射角等于反射角的條件有 (Sm+Sm+1)m=0 (2.62),圖2.8 均勻光纖中的斜射光線,此外，在纖芯、包層交界面發(fā)生全反射的條件為,(2.63),為了研究在光纖入射端什么樣的斜射光線可以在光 纖中傳播，我們將S0和P0代入式（2.63）得,(2.64),稍作變化，上式可寫成,(2.65),這就是說，滿足上式的入

27、射端的入射光線，都可以成為斜射光線在光纖中傳輸。如果入射光線在x0=a，y0=0處入射，則 n1L0N.A (2.66),2.2.2 梯度光纖的傳輸特性 由式（2.60）可知，階躍光纖模間色散很大，脈沖展寬嚴(yán)重，傳輸帶寬很窄，限制了通信容量。為了盡量減小模間色散，人們研制了梯度折射率分布的光纖。所謂梯度折射率分布光纖是指光纖纖芯中折射率分布是隨r變化的光纖。下面我們分析梯度折射率光纖的傳輸特性。,1.梯度折射率光纖中的光線 與階躍折射率分布光纖一樣，梯度光纖中的光線也分子午光線和斜射光線兩種。由于梯度光纖中纖芯折射率分布是隨r變化的，光纖中子午光線不是直線傳播，而是曲線傳播。如圖2.9(a)所

28、示。光線的彎曲是遵循折射定律的。為了說明問題，我們將沿徑向r方向連續(xù)變化的折射率分為不連續(xù)變化的若干層表示，如圖2.9(b)所示。假定一射線以入射角射向光纖端面的K點(diǎn)，進(jìn)入纖芯后，它先是從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)傳播。,圖 2.9,這時(shí)，每經(jīng)過一個(gè)界面，它將折離法線，其軸向角將逐漸減小，在某一半徑r=rm處，射線與光軸平行。在此以后，光線將由光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)傳播，每經(jīng)過一個(gè)界面，它將折向法線，其軸向角逐漸增大。這樣就形成了周期變化的子午線軌跡。顯然，折射率分布不同的光纖，有不同的射線軌跡。同一光纖中，以不同角度入射的光線的軌跡也將不同。,斜射光線是不經(jīng)過光纖軸心的空間曲線，射線軌跡同樣按照折射定律

29、發(fā)生彎曲，形狀比較復(fù)雜。圖2.10中示出了不同光線在光纖端面上的投影。顯然，斜射光線被限制在兩個(gè)圓柱面之間，這兩個(gè)圓柱面被稱為焦散面。若兩個(gè)焦散面重合，就得到螺旋線，它在端面上的投影為一個(gè)圓。斜射線情況很復(fù)雜，既不容易激勵(lì)，也不容易傳播（衰減大），實(shí)際上傳播的光線都是子午光線。下面的討論僅限于子午光線。,圖2.10 梯度光纖中的光線在端面上的投影 (a)子午光線；(b)斜射光線,2.子午光線的軌跡方程 對(duì)非均勻折射率介質(zhì)中光線軌跡的分析一般要利用式(2.53)給出的射線方程。但是，采用該方程所做的分析在數(shù)學(xué)上非常復(fù)雜。為了容易理解，在本問題中我們直接應(yīng)用折射定律給出一種簡潔的分析。,圖2.11

30、 梯度光纖中子午光射線軌跡剖析,圖2.11給出了梯度光纖中的一個(gè)子午面。纖芯折射率分布n(r)隨半徑r的增加而減小。子午光線的軌跡由n(r)決定。由于射線是彎曲的，它的軸向角z隨坐標(biāo)而變化。在z=0處，射線離光纖軸的距離是r0，軸向角為z0，光纖在該點(diǎn)的折射率是n0，r0、n0、z0表示射線的起始狀態(tài)。根據(jù)折射定律，該射線滿足下列條件 n(r)cosz=n0cosz0 (2.67),上式表明，射線上任一點(diǎn)軸向角的余弦與該點(diǎn)的折射率的乘積等于一個(gè)常數(shù)n0cosz0。令N0=cosz0，則 n(r)cosz=n0N0 (2.68) 若在圖2.11中射線的軌跡上任取一單元長度ds，則,(2.69),

31、(2.70),代入式（2.68）得,經(jīng)整理得,(2.71),(2.72),這就是代表射線變化規(guī)律的微分方程。當(dāng)光纖的折射率分布及初始條件n0、N0給定時(shí)，對(duì)該方程積分就可求得射線的軌跡,(2.73),3.光纖的最佳折射率分布自聚焦光纖 研制梯度折射率光纖的目的是降低多模光纖的模間色散，那么，折射率分布n(r)為怎樣的函數(shù)時(shí)，才能使多模光纖的模間色散最小呢?當(dāng)然，最好的分布應(yīng)該使各射線在Z方向的傳播速度一樣，從而實(shí)現(xiàn)自聚焦。只要所有的子午光線都具有相同的空間周期長度，就說明這些子午光線能夠自聚焦。人們已經(jīng)證明，雙曲正割型折射率分布能夠?qū)崿F(xiàn)自聚焦，即,(2.74),式中，A是常數(shù)；n(0)是纖芯中

32、心處折射率。將n(r)代入式（2.73）就可求出子午光線的軌跡方程為,(2.75),從上式可得,(2.76),由此可知，射線的軌跡是Z的周期函數(shù)。設(shè)射線的空間周期長度為L，則從上式可得,(2.77),由于A是表示光纖分布的參數(shù)，與初始條件無關(guān)，因此L也與初始條件無關(guān)。這說明當(dāng)折射率分布為雙曲正割型分布時(shí)，不同初始條件入射的子午光線有相同的軸向速度，能得到自聚焦。,4.拋物線分布光纖的傳輸特性 由于理想的雙曲正割分布是難以實(shí)現(xiàn)的，人們?cè)O(shè)想用平方律分布去近似它。當(dāng)把雙曲正割函數(shù)展開時(shí)，發(fā)現(xiàn)它與平方律分布很接近。,(因?yàn)锳r1),(2.78),因此，有理由認(rèn)為平方律分布的光纖具有較小的模間色散。將式

33、（2.78）代入式（2.73）就可得到平方律分布光纖中光線的軌跡方程。從軌跡方程出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得到平方律分布光纖的信號(hào)時(shí)延展寬為,(2.79),與2成反比。當(dāng)=1%時(shí)，平方律分布光纖的時(shí)延展寬僅為階躍光纖時(shí)延展寬的1/200。即帶寬提高了200倍。,5.梯度光纖的數(shù)值孔徑 梯度光纖芯部折射率是r的函數(shù)，不同r處接收光的能力不一樣。纖芯中心處的數(shù)值孔徑為,(2.80),這與階躍光纖的數(shù)值孔徑表達(dá)式完全一樣。對(duì)端 面上任一點(diǎn)r處，其數(shù)值孔徑為,(2.81),2.3 單模光纖的光傳輸特性,2.3.1 LP01模的特性與光功率分布 在前面已經(jīng)指出，LPmn模的縱向分量很小，可以把它看成是橫電磁

34、波，因此對(duì)LP01模的分析也只考慮橫向電場的情況。 將m=0、n=1代入LPmn模的橫向電場方程式（2.18），并且圓周方向取余弦規(guī)律分布，則可得LP01模的橫向電場分布為,(2.82),(2.83),將m=0、n=1代入LPmn模的特征方程式（2.24），可得LP01模的特征方程,(2.84),功率強(qiáng)度是電場強(qiáng)度的平方，利用式（2.82），纖芯中光功率強(qiáng)度分布為,(2.85),圖2.12示出了V=2.40483時(shí)，LP01模在纖芯中的功率分布。圖中以半徑r=a處的功率Py(a)為參考，示出在不同r/a處的功率比R為,(2.86),圖2.12 LP01模在纖芯的功率分布,因?yàn)榘鼘又杏邢喈?dāng)?shù)墓β?/p>

35、傳輸，為了得到低衰減，單模光纖必須要有足夠厚度的沉積內(nèi)包層，內(nèi)包層厚度的大小取決于包層中場強(qiáng)沿r的分布及剖面的結(jié)構(gòu)。依式（2.82）可知，包層中LP01模的電場強(qiáng)度為,(2.87),根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的近似式,(2.88),在相對(duì)徑向位置t=r/a及r=a處的場強(qiáng)比為,(2.89),包層中LP01模的光功率強(qiáng)度分布為,(2.90),在相對(duì)徑向位置t=r/a及r=a處的功率強(qiáng)度比為,(2.91),如果包層厚度r=6a，那里的光功率密度小于10-8，在這以外的總光功率可以忽略不計(jì)(如圖2.13所示)。 V值不同，電場透入包層的厚度也不同。在保證單模傳輸?shù)那闆r下，V值越大越好。V值大，沉積內(nèi)包層的厚

36、度可以薄一些。圖2.14給出了不同V值下，包層內(nèi)傳輸?shù)墓β史蓊~與徑向位置的關(guān)系。,圖2.13 LP01模功率強(qiáng)度在光纖包層中的,圖2.14 不同V值下包層內(nèi)傳輸功率分布 (V=2.40483)與徑向位置關(guān)系,2.3.2 單模光纖的傳輸特性 在單模光纖傳輸中，實(shí)際傳輸信號(hào)的頻譜都有一定的寬度。頻譜的寬度取決于兩個(gè)因素，一是半導(dǎo)體激光器發(fā)射的光的固有的頻譜寬度，二是電信號(hào)調(diào)制造成的頻譜展寬。一般來說，信號(hào)頻譜寬度遠(yuǎn)小于光信號(hào)的中心頻率。在單模光纖中不同頻率的光的單模傳輸特性不同，這就在不同頻率的光之間引起傳播時(shí)間的差異，產(chǎn)生色散。由第1章第2節(jié)中的討論可知，這種具有一定頻譜寬度的光信號(hào)在一定長度的

37、光纖中傳輸后，單位傳輸距離上的時(shí)間寬度差近似為,式中,f0為信號(hào)中心頻率，f為信號(hào)頻譜寬度。 在單模光纖中，由于沒有模間色散，色散都與波長有關(guān)，因此色散也叫做波長色散。通常用單位波長間隔內(nèi)頻譜成分通過單位長度光纖所產(chǎn)生的色散表示色散，該色散值稱為波長色散系數(shù)，用D()表示，單位是ps/(nmkm)。,(2.92),為求出單模光纖中的色散系數(shù)，需首先得到的解析表達(dá)式。為此，我們定義一個(gè)歸一化傳播常數(shù)b,(2.93),(2.94),將用b表示,(2.95),將上式代入式（2.93），經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算并整理得,(2.96),式中，H為纖芯中所傳輸功率占總功率的比值。顯然，上式第一項(xiàng)只與纖芯和包層

38、的折射率隨波長的變化及在其中傳播的能量有關(guān)，稱為材料色散系數(shù)Dm；第二項(xiàng)只與光纖中導(dǎo)波的傳播常數(shù)隨波長的變化特性有關(guān)，稱為波導(dǎo)色散系數(shù)Dw；第三項(xiàng)既與光纖中導(dǎo)波的傳播常數(shù)隨波長的變化特性有關(guān)，又與折射率差值隨波長的變化有關(guān)，稱為折射率分布色散系數(shù)Dp。 實(shí)際上，d/d很小，Dp0，再考慮到纖芯和包層兩種材料的隨波長變化的二階導(dǎo)數(shù)基本相等，總色散系數(shù)可以簡化為,為了加深對(duì)單模光纖中色散特性的理解，下面將推導(dǎo)上式。首先利用弱導(dǎo)條件，將進(jìn)一步簡化為,(2.97),則,(2.99),(2.98),先求對(duì)0的一階導(dǎo)數(shù),(2.100),其中,(2.101),分別為纖芯和包層中的群折射率。由于,(2.102

39、),因此,(2.103),(2.104),將上式代入式（2.99）得,這就是式（2.97）。第一項(xiàng)是材料色散系數(shù)，第二項(xiàng)與波導(dǎo)的歸一化傳播常數(shù)b和歸一化頻率V有關(guān)，而b和V又都是光纖折射率和光纖結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)，故稱為波導(dǎo)色散。,材料色散與SiO2材料的折射率對(duì)波長的二階導(dǎo)數(shù)成比例。圖2.15示出了SiO2材料的折射率與波長的關(guān)系。圖2.16示出了SiO2材料的色散系數(shù)與波長的關(guān)系。 從圖2.16可以看出，在波長1.29m附近有一零材料色散波長0。不同的摻雜材料和摻雜濃度會(huì)使0有所移動(dòng)，但變化甚微，因此材料色散可用純SiO2的材料色散代替。過了零材料色散波長，在較長波長區(qū)色散為正值。,圖2.15

40、 SiO2材料折射率與波長的關(guān)系,圖2.16 SiO2材料色散與波長的關(guān)系,波導(dǎo)色散項(xiàng)是由傳播常數(shù)隨波長的變化引起的，它與歸一化頻率和歸一化傳播常數(shù)的變化有關(guān)。圖2.17給出了諸波導(dǎo)參數(shù)與V的關(guān)系曲線，從而可以求出波導(dǎo)色散。它的大小可以與材料色散相比擬。在感興趣的波長區(qū)域內(nèi)，波導(dǎo)色散均為負(fù)值。其幅度由纖芯半徑、相對(duì)折射率差及光纖剖面結(jié)構(gòu)確定。一般講，纖芯越小，折射率差越大，波導(dǎo)色散也越負(fù)。在一定的波長范圍內(nèi)，波導(dǎo)色散與材料色散具有相反的符號(hào)。改變光纖的折射率分布和剖面結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以改變波導(dǎo)色散的值，從而在所希望的波長上實(shí)現(xiàn)零色散，如圖2.18所示。,圖2.17 波導(dǎo)參數(shù)與歸一化頻率的關(guān)系,圖2

41、.18 V保持一定改變纖芯半徑移動(dòng)零色散波長,2.3.3 單模光纖中LP01模的高斯近似 階躍光纖中，LP01模的場在纖芯中取零階貝塞爾函數(shù)的形式。由于對(duì)貝塞爾函數(shù)的處理復(fù)雜，而高斯函數(shù)與貝塞爾函數(shù)接近，人們就設(shè)想能否用高斯函數(shù)取代貝塞爾函數(shù)以簡化對(duì)基模的分析。假設(shè)以下列高斯函數(shù)來近似貝塞爾函數(shù),(2.106),現(xiàn)在的問題是能否找到一個(gè)合適的值，使該高斯函數(shù)能以足夠高的精度去取代貝塞爾函數(shù)。我們可以用不同的方法去尋找值，常用的方法是按耦合效率最高的方法來確定值。耦合效率是按下式定義的,(2.107),將精確的貝塞爾函數(shù)場攜帶的能量歸一化為1。在上式中，用式（2.106）表示的高斯場取代精確磁場

42、，而電場以精確解代入。顯然，高斯場取不同的值時(shí)，將得到不同的。改變，可以找出在給定的歸一化頻率下使最大的值，記作0。這個(gè)0就定義為單模光纖的模場半徑。圖2.19給出了0/a和相應(yīng)值與/c同V的函數(shù)關(guān)系?？梢钥闯?，在通常的/c范圍內(nèi)(0.81.8)，96%。這表明高斯近似法是好的。在0.8/c2的范圍內(nèi)，0/a能以優(yōu)于1%的準(zhǔn)確度近似為,(2.108),用高斯場來等效精確場的最大限制是不能用它來等效光纖包層中的場，這是因?yàn)榫_場的衰減比高斯場緩慢。因而包層中的場要尋找另外的近似方法。當(dāng)wr/a2時(shí)，包層中的場可用下式近似,(2.109),此式的準(zhǔn)確度優(yōu)于5%。,利用高斯近似法我們來計(jì)算LP01模

43、在光纖中的功率分布。在高斯近似下，它們具有簡單的形式,(2.110),(2.111),圖2.20示出了兩種公式計(jì)算的功率比與/c的函數(shù)關(guān)系。由圖可以看出，除大的/c值外，高斯近似法得到的準(zhǔn)確度是可以接受的。,圖2.19 0/a ,與/c ,V的關(guān)系曲線,圖2.20 Pcore/Ptotal與/c的關(guān)系曲線,2.3.4 非均勻單模光纖的近似分析 以上我們所做的分析都是在階躍光纖中進(jìn)行的，實(shí)際使用的光纖有時(shí)并不是均勻的。即使是名義上均勻的光纖，由于在制造過程中出現(xiàn)的不完善，其折射率也將是隨半徑變化的非均勻光纖，因此需對(duì)非均勻單模光纖進(jìn)行研究。 有實(shí)際意義的折射率分布有兩種，一種是在光纖纖芯和包層交

44、界面附近，纖芯中的折射率下降，如圖2.21所示。這是由于在制造過程中，纖芯材料與包層材料互相向?qū)Ψ綌U(kuò)散而形成的。另一種情況是光纖軸線上折射率下降，如圖2.22所示，這是MCVD制造方法所引起的一種典型缺陷。,這兩種折射率分布可統(tǒng)一用下式表示,(2.112),式中，f(r/a)是折射率分布形狀函數(shù)。在ra時(shí)f(r/a)=0。對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況,(2.113),圖2.21 梯度折射率分布剖面形狀,圖2.22 中心凹陷梯度分布剖面形狀,對(duì)折射率中心凹陷情況，,(2.114),是中心下降的相對(duì)深度。,對(duì)于這樣的非均勻光纖，有各種近似解法。其中之一是將它等效為一個(gè)均勻光纖來進(jìn)行分析。這種

45、方法是基于以下兩個(gè)事實(shí)為基礎(chǔ)的：第一，非均勻光纖的場型與均勻光纖的場型非常相近；第二，均勻光纖的特性已知。對(duì)于一個(gè)已知折射率分布的非均勻光纖，只要找出其等效的均勻光纖，便可用前面已討論過的均勻光纖來描述它。尋找等效均勻光纖時(shí)常假定其包層折射率就等于真實(shí)光纖包層的折射率，因而需要決定的是其等效半徑、等效相對(duì)折射率差、等效的歸一化頻率。求等效均勻光纖要經(jīng)過比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，這里從略，只給出一種精確度可以接受的近似結(jié)果。,對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況,(2.115),對(duì)折射率中心凹陷情況,(2.116),在這兩種情況下均有,(2.117),如前所述，單模光纖的主要問題之一是求出LP11模的歸

46、一化截止頻率Vc。對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況，由式（2.115）可得,(2.118),由于等效階躍光纖的LP11模的歸一化截止頻率Vec=2.4048，因此實(shí)際光纖LP11模的歸一化截止頻率為,(2.119),這樣，就可確定光纖制造不完善對(duì)單模光纖工作范圍的影響。折射率中心凹陷也將影響LP11模的歸一化截止頻率，但由于LP11模在光纖軸心處為零，因此造成的影響很小。,2.3.5 單模光纖中的偏振態(tài)傳輸特性 單模光纖中，有極化方向互相垂直的兩個(gè)基模LPy01和LPx01，它們的電場各沿y、x方向極化。因而單模光纖實(shí)際上傳輸著兩個(gè)模式。在理想光纖中，光纖橫截面的形狀及折射率分布是均勻?qū)ΨQ的

47、，LPy01和LPx01的傳播常數(shù)相等，即這兩個(gè)模式是完全簡并的。但實(shí)際光纖總帶有某種程度的不完善，例如纖芯幾何形狀的橢圓變形，光纖內(nèi)部的殘余應(yīng)力，光纖的彎曲、扭轉(zhuǎn)等引起的折射率的各項(xiàng)異性，,都將使LPy01和LPx01模的簡并受到破壞，它們的傳播常數(shù)x和y不再相等。這種現(xiàn)象叫做雙折射現(xiàn)象。=x-y是表明雙折射程度的物理量，叫做單模光纖的雙折射。雙折射在單模光纖中引起一系列復(fù)雜的效應(yīng)，影響到單模光纖的傳輸特性。雙折射對(duì)單模光纖傳輸特性的影響主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是引起極化色散，二是使光波的極化狀態(tài)沿光纖的長度而變化。這兩種現(xiàn)象的分析比較復(fù)雜，下面只作簡單介紹。,1.極化色散 由于LPy01和L

48、Px01模的傳播常數(shù)x和y不同，因此引起這兩個(gè)模式傳輸?shù)牟煌?，從而形成色散。這種色散叫做極化色散。極化色散是模間色散的一種，但它與多模光纖中的模間色散不同，在完善光纖中它不存在。 極化色散用LPy01和LPx01兩個(gè)模式的單位長度上的時(shí)延差來表示。這兩個(gè)模式傳輸單位長度所用時(shí)間各為tpx、tpy，于是,(2.120),若用nx和ny分別表示兩個(gè)雙折射軸的折射率，則,(2.121),對(duì)石英光纖，上式時(shí)延差中第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，所 以極化色散可簡化為,(2.122),可見，極化色散與光纖雙折射成正比。,2.單模光纖極化狀態(tài)的變化 由于LPy01和LPx01兩個(gè)模式的相位常數(shù)x和y不同，這兩個(gè)模式

49、在傳輸過程中的相位差將沿光纖發(fā)生變化，這就引起總的電場和磁場的極化方向沿光纖發(fā)生變化。這種效應(yīng)在某些應(yīng)用場合必須加以考慮。比如，在集成光學(xué)器件中，輸入光場必須保持一定的極化方向才能得到高的耦合效率；再如在相干光通信中，從單模光纖輸出的光場要與本地的光場疊加后送到探測器中去檢測，這要求兩光場的極化方向保持恒定。下面我們介紹光纖中光場的一些基本極化特性。,討論一種簡單情況，即單一頻率的線極化波激勵(lì)具有均勻雙折射的單模光纖的情況。具有均勻雙折射的單模光纖有兩個(gè)互相垂直的特定軸，當(dāng)LP01的電場沿這兩個(gè)方向極化時(shí)，將分別得到最大和最小的相位常數(shù)。這兩個(gè)軸稱為雙折射軸。我們使用直角坐標(biāo)系，并使Ox軸和O

50、y軸與光纖的雙折射軸重合，如圖2.23所示。沿這兩個(gè)方向極化的電磁波的相位常數(shù)分別為x和y。今有一頻率為，電場強(qiáng)度幅度為E0的線極化波與Ox軸成角（叫做輸入極化角）對(duì)該單模光纖進(jìn)行激勵(lì)，如圖2.23所示。將E0分解在兩個(gè)軸上，其對(duì)應(yīng)分量的幅度為,圖 2.23,這兩個(gè)分量即LPx01、LPy01模。設(shè)在輸入端它們的相位是相同的，如光纖中沒有衰減，則在沿光纖的任意點(diǎn)z處，LPx01、LPy01模的瞬時(shí)值表示為 Ex=axcos(t-xz)=E0coscos(t-xz) Ey=aycos(t-yz)=E0sincos(t-yz) (2.124),(2.123),這兩個(gè)模式之間的相位差為=(x-y)z

51、，它是隨z變化的。這樣兩個(gè)?；ハ啻怪薄⒎炔坏?、相位差為的線極化波合成為一個(gè)橢圓極化波。因兩波的相位差是隨z變化的，所以其極化狀態(tài)也隨z變化。 為了說明橢圓極化波的性質(zhì)，引入兩個(gè)參數(shù)：輸出極化角和極化橢圓度。沿光纖的橢圓極化波的長軸一般并不與光纖的雙折射軸重合，設(shè)它與Ox軸成角，如圖2.23所示，這一角度稱為輸出極化角。設(shè)極化橢圓的長軸和短軸方向的電場幅度各為amax及amin，相應(yīng)的光強(qiáng)為Imax及Imin，則橢圓極化度的定義,當(dāng)極化橢圓度P=0時(shí)，amax=amin，此時(shí)極化橢圓長軸和短軸相等，橢圓極化波成為圓極化波。當(dāng)P=1時(shí)，amin=0，此時(shí)橢圓極化波變?yōu)榫€極化波。P在01之間變化。

52、,(2.125),(2.126),可見，單模光纖的輸出極化角與輸出極化橢圓度P都與輸入極化角及LPx01、LPy01模在z點(diǎn)的相位差有關(guān)。在不同的地點(diǎn)，不同，因而極化狀態(tài)隨z變化。圖2.24給出了光波的極化狀態(tài)隨變化的情況?？梢钥闯觯瑔文９饫w中光波的極化狀態(tài)是沿z做周期性變化的。當(dāng)經(jīng)過一段長度L后，兩模式的相位差變化2，則極化方向也旋轉(zhuǎn)2的角度，又恢復(fù)到原來的情況。這個(gè)長度L叫做單模光纖的拍長。,圖2.24 相位差不同的橢圓極化波,由于 L(x-y)=2 (2.127) 所以,(2.128),可以看出，拍長越短，雙折射越嚴(yán)重。,2.4 光纖傳輸中的非線性現(xiàn)象,在第1章中我們已經(jīng)講到，由于光纖很

53、細(xì)，纖芯中電場強(qiáng)度很高，又由于光纖中衰減很小，非線性現(xiàn)象的作用時(shí)間可以持續(xù)的較長，這就使得光纖中的非線性效應(yīng)不能被忽視。光纖非線性特性對(duì)光信號(hào)傳輸?shù)挠绊懕容^復(fù)雜，可以造成功率損耗、新頻率成分的產(chǎn)生和光信號(hào)畸變等。在現(xiàn)代光纖通信系統(tǒng)中，隨著光源發(fā)射功率的增加、光纖損耗進(jìn)一步的降低、多信道傳輸方式的采用，光纖中的非線性愈來愈明顯，已經(jīng)成為影響光通信發(fā)展的主要因素。,在石英光纖中，由于材料結(jié)構(gòu)的反演對(duì)稱性，非線性效應(yīng)由三階極化率產(chǎn)生。非線性現(xiàn)象本質(zhì)上是在非線性介質(zhì)中傳輸?shù)墓鈭鲞M(jìn)行能量和動(dòng)量交換的過程。對(duì)光纖中非線性傳輸特性的研究，原則上可以將光纖材料的三階極化率代入麥克斯韋方程，通過推導(dǎo)非線性耦合波

54、方程，來得到各種非線性光學(xué)現(xiàn)象的耦合波方程，最終利用耦合波方程對(duì)各具體非線性光學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行研究。但是，非線性耦合波方程的推導(dǎo)極其復(fù)雜。本節(jié)不做具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，在重點(diǎn)介紹各種非線性光學(xué)現(xiàn)象的物理本質(zhì)后，將直接給出耦合波方程。,在非線性光學(xué)現(xiàn)象中，根據(jù)非線性介質(zhì)是否參與非線性過程的能量交換，可分為彈性非線性現(xiàn)象和非彈性非線性現(xiàn)象。兩者的區(qū)別在于前者非線性介質(zhì)不參與非線性過程的能量交換，而后者參與。在石英光纖中，三階極化率產(chǎn)生的非線性效應(yīng)既含有彈性非線性現(xiàn)象，也含有非彈性非線性現(xiàn)象。光纖介質(zhì)中，當(dāng)窄線寬脈沖激光束在其中傳輸時(shí)，可以出現(xiàn)受激布里淵散射（SBS）、受激喇曼散射（SRS）、自相位調(diào)制（SPM

55、）；,當(dāng)輸入激光的線寬很寬（例如波分復(fù)用系統(tǒng)）時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)四波混頻（FWM）、互相位調(diào)制（XPM）等非線性現(xiàn)象。在這些非線性現(xiàn)象中，受激布里淵散射（SBS）、受激喇曼散射（SRS）屬于非彈性非線性現(xiàn)象，其它則屬于彈性非線性現(xiàn)象。下面我們分別介紹這些非線性光學(xué)現(xiàn)象及其對(duì)傳輸特性的影響。,2.4.1 受激喇曼散射（SRS） 1.喇曼散射與受激喇曼散射 喇曼散射是這樣一種現(xiàn)象，當(dāng)某一頻率的光輸入非線性介質(zhì)時(shí)，在散射輸出光中出現(xiàn)了光頻率偏移的現(xiàn)象。喇曼散射可看成是介質(zhì)中的分子對(duì)入射光的調(diào)制，即分子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致分子電偶極矩隨時(shí)間的周期性調(diào)制，從而對(duì)入射光產(chǎn)生散射作用。設(shè)入射光的頻率為l，介質(zhì)分子的振

56、動(dòng)頻率為v，則產(chǎn)生的散射光的頻率分別為s=l-v及as=l+v，前者稱為斯托克斯散射光（stokes），后者稱為反斯托克斯散射光（anti-stokes），,v只與組成介質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)有關(guān)，與入射光波長無關(guān)。上述兩類散射的圖像可用圖2.25所示的能級(jí)圖來說明。,圖2.25 喇曼散射原理圖 (a)斯托克斯散射光；(b)反斯托克斯散射光；(c)頻譜圖,圖2.25（a）中，介質(zhì)分子原來處于基態(tài)（V=0），如其吸收一頻率為l的入射光子就會(huì)躍遷到一個(gè)虛能級(jí)（圖中虛線所示）上，經(jīng)過約亞皮秒時(shí)間后，該分子又從虛能級(jí)躍遷到較低的(V=1)能級(jí)上形成聲子，同時(shí)發(fā)射一個(gè)頻率為s=l-v的stokes光子。另一方面，

57、如果分子原來就處在激發(fā)態(tài)(V=1)能級(jí)上（即聲子），如圖2.25（b）所示，則吸收一頻率為l的入射光子后會(huì)躍遷到一個(gè)虛能級(jí)（圖中虛線所示）上，經(jīng)過約亞皮秒時(shí)間后，,該分子又從虛能級(jí)躍遷到較低的(V=0)能級(jí)上，激發(fā)一個(gè)anti-stokes光子，然后回到基態(tài)。次后，將stokes光子和anti-stokes光子視為輸入光子，又產(chǎn)生s-v=l-2v和as+v=l+2v等的二階光子和anti-stokes光子。如圖2.25（c）所示。更高階的以此類推。Anti-stokes散射光強(qiáng)度與處于激發(fā)態(tài)的分子數(shù)有關(guān)。熱平衡狀態(tài)下，激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于基態(tài)的粒子數(shù)。因此，一階stokes散射光總是首先被激勵(lì)

58、，,且比antistokes散射光強(qiáng)exp(-hv/kT)倍，式中k為玻爾茲曼常數(shù)，T為絕對(duì)溫度。antistokes散射光強(qiáng)烈地依賴于溫度，在低溫下，它幾乎完全消失。 喇曼散射有普通喇曼散射和受激喇曼散射之分，普通喇曼散射過程屬于一種自發(fā)散射過程，相應(yīng)產(chǎn)生的喇曼散射光十分微弱，不論是stokes散射光還是antistokes散射光，都不是相干光。可是，當(dāng)用強(qiáng)激光輸入到非線性介質(zhì)中時(shí)，在一定的條件下，喇曼散射光有激光的性質(zhì)，這就是所謂的受激喇曼散射，,相應(yīng)產(chǎn)生的喇曼散射光較強(qiáng)，不論是stokes散射光還是antistokes散射光，都是相干光。受激喇曼散射只有在入射光超過某一閾值后才能產(chǎn)生，它

59、具有高方向性、高強(qiáng)度，通過介質(zhì)時(shí)將獲得放大。在實(shí)際工作中，由于只有在強(qiáng)激光作用下喇曼散射才值得研究，因此人們普遍感興趣的是受激喇曼散射。在這里也將重點(diǎn)討論受激喇曼散射問題。,2. SRS耦合波方程 對(duì)SRS過程的嚴(yán)格描述需采用量子理論。鑒于在感興趣的范圍內(nèi)，入射光和stokes波都比較強(qiáng)，也可采用經(jīng)典電磁理論進(jìn)行定量描述。這時(shí)，需給出描述入射波（采用激光技術(shù)中的術(shù)語稱為泵浦波）與stokes波在非線性介質(zhì)中相互作用關(guān)系的耦合波方程?？梢宰C明，該耦合波方程為,(2.129),在以上諸式中,pp、ps分別為泵浦光和stokes波的功率；p和s分別為光和泵浦stokes波的損耗系數(shù)；gr為喇曼增益系數(shù)，它表示兩個(gè)波間能量的耦合強(qiáng)