常用統(tǒng)計(jì)計(jì)算

1、第二章 常用統(tǒng)計(jì)技術(shù)（中級(jí)）, 方差分析 回歸分析 試驗(yàn)設(shè)計(jì),上海質(zhì)量教育培訓(xùn)中心,2005年,第一節(jié) 方差分析,一、幾個(gè)概念 二、單因子方差分析,一、幾個(gè)概念,在試驗(yàn)中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C、等表示。 因子在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標(biāo)表示，記為A1，A2，Ak。 試驗(yàn)中所考察的指標(biāo)（可以是質(zhì)量特性也可以是產(chǎn)量特性或其它）用Y表示。Y是一個(gè)隨機(jī)變量。 單因子試驗(yàn)： 若試驗(yàn)中所考察的因子只有一個(gè)。,例2.1-1 現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，為了了解不同工廠的零件的強(qiáng)度有無明顯的差異，現(xiàn)分別從每一個(gè)工廠隨機(jī)抽取四個(gè)零件測定其強(qiáng)度，數(shù)

2、據(jù)如表所示，試問三個(gè)工廠的零件的平均強(qiáng)度是否相同？,三個(gè)工廠的零件強(qiáng)度,在這一例子中，考察一個(gè)因子： 因子A：工廠 該因子有三個(gè)水平：甲、乙、丙 試驗(yàn)指標(biāo)是：零件強(qiáng)度,這是一個(gè)單因子試驗(yàn)的問題。每一水平下的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一個(gè)總體，現(xiàn)在需要比較三個(gè)總體均值是否一致。如果每一個(gè)總體的分布都是正態(tài)分布，并且各個(gè)總體的方差相等，那么比較各個(gè)總體均值是否一致的問題可以用方差分析方法來解決。,二、單因子方差分析,假定因子A有r個(gè)水平，在Ai水平下指標(biāo)服從正態(tài)分布，其均值為 ，方差為 ，i=1,2, , r。每一水平下的指標(biāo)全體便構(gòu)成一個(gè)總體，共有r個(gè)總體，這時(shí)比較各個(gè)總體的問題就變成比較各個(gè)總體的均值是否相

3、同的問題了，即要檢驗(yàn)如下假設(shè)是否為真：,當(dāng) 不真時(shí)，表示不同水平下的指標(biāo)的均值有顯著差異，此時(shí)稱因子A是顯著的，否則稱因子A不顯著。檢驗(yàn)這一假設(shè)的分析方法便是方差分析。, 方差分析的三個(gè)基本假定,1. 在水平 下，指標(biāo)服從正態(tài)分布 ；,2. 在不同水平下，各方差相等；,3. 各數(shù)據(jù) 相互獨(dú)立。,設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中只考察一個(gè)因子A，它有r個(gè)水平，在每一水平下進(jìn)行m次重復(fù)試驗(yàn)，其結(jié)果用 表示，i=1,2, , r。 常常把數(shù)據(jù)列成如下表格形式：,單因子試驗(yàn)數(shù)據(jù)表,記第i水平下的數(shù)據(jù)均值為 ，總均值為 。此時(shí)共有n=rm個(gè)數(shù)據(jù)，這n個(gè)數(shù)據(jù)不全相同，它們的波動(dòng)（差異）可以用總離差平方和ST去表示,記第i

4、水平下的數(shù)據(jù)和為Ti， ；,引起數(shù)據(jù)波動(dòng)（差異）的原因不外如下兩個(gè)：,一是由于因子A的水平不同，當(dāng)假設(shè)H0不真時(shí)，各個(gè)水平下指標(biāo)的均值不同，這必然會(huì)使試驗(yàn)結(jié)果不同，我們可以用組間離差平方和來表示，也稱因子A的離差平方和：,這里乘以m是因?yàn)槊恳凰较逻M(jìn)行了m次試驗(yàn)。,二是由于存在隨機(jī)誤差，即使在同一水平下獲得的數(shù)據(jù)間也有差異，這是除了因子A的水平外的一切原因引起的，我們將它們歸結(jié)為隨機(jī)誤差，可以用組內(nèi)離差平方和表示：,Se：也稱為誤差的離差平方和,可以證明有如下平方和分解式：,ST、SA、Se 的自由度分別用 、 、 表示，它們也有分解式： ，其中：,因子或誤差的離差平方和與相應(yīng)的自由度之比稱為

5、因子或誤差的均方和，并分別記為：,兩者的比記為：,當(dāng) 時(shí)認(rèn)為在顯著性水平 上因子A是顯著的。其中 是自由度為 的F分布的1-分位數(shù)。,單因子方差分析表,各個(gè)離差平方和的計(jì)算：,其中 是第i個(gè)水平下的數(shù)據(jù)和；T表示所有n=rm個(gè)數(shù)據(jù)的總和。,進(jìn)行方差分析的步驟如下：,（1）計(jì)算因子A的每一水平下數(shù)據(jù)的和T1，T2，Tr及總和T；,（2）計(jì)算各類數(shù)據(jù)的平方和 ；,（3）依次計(jì)算ST，SA，Se；,（4）填寫方差分析表；,（5）對(duì)于給定的顯著性水平，將求得的F值與F分布表中的臨界值 比較，當(dāng) 時(shí)認(rèn)為因子A是顯著的，否則認(rèn)為因子A是不顯著的。,對(duì)上例的分析,（1）計(jì)算各類和：,每一水平下的數(shù)據(jù)和為：,

6、數(shù)據(jù)的總和為T=1200,（2）計(jì)算各類平方和：,原始數(shù)據(jù)的平方和為：,每一水平下數(shù)據(jù)和的平方和為,（3）計(jì)算各離差平方和：,ST=121492-12002/12=1492， fT=34-1=11 SA=485216/4-12002/12=1304, fA=3-1=2 Se= 1492-1304=188, fe=11-2=9,（4）列方差分析表：,例2.1-1的方差分析表,（5） 如果給定 =0.05，從F分布表查得,由于F4.26，所以在 =0.05水平上結(jié)論是因子A是顯著的。這表明不同的工廠生產(chǎn)的零件強(qiáng)度有明顯的差異。,當(dāng)因子A是顯著時(shí)，我們還可以給出每一水平下指標(biāo)均值的估計(jì)，以便找出最好

7、的水平。在單因子試驗(yàn)的場合，第i個(gè)水平指標(biāo)均值的估計(jì)為：,，,在本例中，三個(gè)工廠生產(chǎn)的零件的平均強(qiáng)度的的估計(jì)分別為：,由此可見，乙廠生產(chǎn)的零件的強(qiáng)度的均值最大，如果我們需要強(qiáng)度大的零件，那么購買乙廠的為好；而從工廠來講，甲廠與丙廠應(yīng)該設(shè)法提高零件的強(qiáng)度。,誤差方差的估計(jì)：這里方差 的估計(jì)是MSe。在本例中： 的估計(jì)是20.9。,的估計(jì)是,例2.1-2 略（見教材P92）,三、重復(fù)數(shù)不等的情況,若在每一水平下重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不同，假定在Ai水平下進(jìn)行 次試驗(yàn)，那么進(jìn)行方差分析的步驟仍然同上，只是在計(jì)算中有兩個(gè)改動(dòng)：,例2.1-3 某型號(hào)化油器原中小喉管的結(jié)構(gòu)使油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進(jìn)方案

8、以降低油耗。油耗的多少用比油耗進(jìn)行度量，現(xiàn)在對(duì)用各種結(jié)構(gòu)的中小喉管制造的化油器分別測定其比油耗，數(shù)據(jù)如表所列，試問中小喉管的結(jié)構(gòu)（記為因子A）對(duì)平均比油油耗的影響是否顯著。（這里假定每一種結(jié)構(gòu)下的油耗服從等方差的正態(tài)分布）,例2.1-3的試驗(yàn)結(jié)果,（為簡化計(jì)算，這里一切數(shù)據(jù)均減去220，不影響F比的計(jì)算及最后分析因子的顯著性）,（1）各水平下的重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)及數(shù)據(jù)和分別為：,A1：m1=8,T1=69.5 A2：m2=4,T2=6.0 A3：m3=4,T3=15.4,總的試驗(yàn)次數(shù)n=16，數(shù)據(jù)的總和為T=90.9,（2）計(jì)算各類平方和：,（3）計(jì)算各離差平方和：,ST=757.41-516.43

9、=240.98， fT=16-1=15 SA=672.07-516.43=155.64, fA=3-1=2 Se= 240.98-155.64=85.34, fe=15-2=13,（4）列方差分析表：,例2.1-3方差分析表,（5） 如果給定 =0.05，從F分布表查得,由于F3.81，所以在=0.05水平上我們的結(jié)論是因子A是顯著的。這表明不同的中小喉管結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗有明顯的差異。,我們還可以給出不同結(jié)構(gòu)生產(chǎn)的化油器的平均比油耗的估計(jì)：,這里加上220是因?yàn)樵谠瓟?shù)據(jù)中減去了220的緣故。,由此可見，從比油耗的角度看，兩種改進(jìn)結(jié)構(gòu)都比原來的好，特別是改進(jìn)結(jié)構(gòu)1。,在本例中誤差方差

10、的估計(jì)為6.56，標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為2.56。,第二節(jié) 回歸分析,例2.2-1 合金的強(qiáng)度y與合金中的碳含量x有關(guān)。為了生產(chǎn)出強(qiáng)度滿足顧客需要的合金，在冶煉時(shí)應(yīng)該如何控制碳含量？如果在冶煉過程中通過化驗(yàn)得到了碳含量，能否預(yù)測合金的強(qiáng)度？,這時(shí)需要研究兩個(gè)變量間的關(guān)系。首先是收集數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2, ,n?，F(xiàn)從生產(chǎn)中收集到表2.2-1所示的數(shù)據(jù)。,表2.2-1 數(shù)據(jù)表,一、散布圖,例2.2-1的散布圖,二、相關(guān)系數(shù),1相關(guān)系數(shù)的定義,在散布圖上 n 個(gè)點(diǎn)在一條直線附近，但又不全在一條直線上，稱為兩個(gè)變量有線性相關(guān)關(guān)系，可以用相關(guān)系數(shù) r 去描述它們線性關(guān)系的密切程度,其中,性質(zhì)：,表示n

11、個(gè)點(diǎn)在一條直線上，這時(shí)兩個(gè)變量間完全線性相關(guān)。,r0表示當(dāng)x增加時(shí)y也增大，稱為正相關(guān),r0表示當(dāng)x增加時(shí)y減小，稱為負(fù)相關(guān),r=0表示兩個(gè)變量間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但并不排斥兩者間有其它函數(shù)關(guān)系。,2相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn),若記兩個(gè)變量x和y理論的相關(guān)系數(shù)為 ，其中x為一般變量，y服從等方差的正態(tài)分布，則,對(duì)給定的顯著性水平 ，當(dāng) 可以認(rèn)為兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系， 可以從表2.2-2中查出。（其中n為樣本量）。,3具體計(jì)算,求上例的相關(guān)系數(shù)：,步驟如下：,（1）計(jì)算變量x與y的數(shù)據(jù)和：,Tx= =1.90, Ty= =590.5,（2）計(jì)算各變量的平方和與乘積和：,（3）計(jì)算Lxx,Lyy,Lx

12、y：,Lxy =95.9250-1.90590.5/12=2.4292,Lxx =0.3194-1.902/12=0.0186,Lyy =29392.75-590.52/12=335.2292,（4）計(jì)算r：,在 =0.05時(shí)， ，由于r0.576，說明兩個(gè)變量間有（正）線性相關(guān)關(guān)系。,四、一元線性回歸方程,1. 一元線性回歸方程的求法：,一元線性回歸方程的表達(dá)式為,其中a與b使下列離差平方和達(dá)到最小：,通過微分學(xué)原理，可知,，,稱這種估計(jì)為最小二乘估計(jì)。,b 稱為回歸系數(shù)；a一般稱為常數(shù)項(xiàng)。, 求一元線性回歸方程的步驟如下：,（1）計(jì)算變量x與y的數(shù)據(jù)和Tx，Ty； （2）計(jì)算各變量的平方和

13、與乘積和； （3）計(jì)算Lxx,Lxy； （4）求出b與a；,利用前面的數(shù)據(jù)，可得：,b=2.4392/0.0186=130.6022,a=590.5/12-130.6022 1.90/12=28.5297,（5）寫出回歸方程：,畫出的回歸直線一定通過（0，a）與 兩點(diǎn),上例：,或,2. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn),有兩種方法：,一是用上述的相關(guān)系數(shù)；,二是用方差分析方法（為便于推廣到多元線性回歸的場合），將總的離差平方和分解成兩個(gè)部分：回歸平方和與離差平方和。,總的離差平方和：,回歸平方和：,離差平方和：,且有ST=SR+SE，其中,它們的自由度分別為：,fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-

14、fR,計(jì)算F比，,對(duì)給定的顯著性水平 ，當(dāng) 時(shí)認(rèn)為回歸方程是顯著的，即回歸方程是有意義的。一般也列成方差分析表。,對(duì)上面的例子，作方差分析的步驟如下：,根據(jù)前面的計(jì)算,（1）計(jì)算各類平方和：,ST=Lyy=335.2292， fT=12-1=11 SR=bLxy=130.60222.4292=317.2589，fR=1 SE=335.2292-317.2589=17.9703， fE=11-1=10,（2）列方差分析表：,例2.2-1的方差分析表,對(duì)給定的顯著性水平 =0.05，有,F0.95(1,10)=4.96,由于F4.96，所以在0.05水平上認(rèn)為回歸方程是顯著的（有意義的）。,3利用

15、回歸方程進(jìn)行預(yù)測,對(duì)給定的 ，y的預(yù)測值為,概率為 的y的預(yù)測區(qū)間是,其中,當(dāng)n較大， 與 相差不大，那么可給出近似的預(yù)測區(qū)間，此時(shí),進(jìn)行預(yù)測的步驟如下：,（1）對(duì)給出的x0求預(yù)測值,上例，設(shè)x0 =0.16，則,（2）求 的估計(jì),上例有,（3）求,上例n=12，如果求概率為95%的預(yù)測區(qū)間，那么t0.975(10)=2.228，所以,（4）寫出預(yù)測區(qū)間,上例為(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54),由于u0.975=1.96，故概率為0.95的近似的預(yù)測區(qū)間為：,所求區(qū)間：,（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）,相差較

16、大的原因總n較小。,四、可化為一元線性回歸的曲線回歸,在兩個(gè)重復(fù)的散布圖上，n個(gè)點(diǎn)的散布不一定都在一條直線附近波動(dòng)，有時(shí)可能在某條曲線附近波動(dòng)，這時(shí)以建立曲線回方程為好。,1. 確定曲線回歸方程形式,2. 曲線回歸方程中參數(shù)的估計(jì),通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，化為一元線性回歸的形式，再利用一元線性回歸中的最小二乘估計(jì)方法獲得。,回歸曲線的形式：,（1） ，（a0，b0）,（2） ，（b0）,（3） ，（b0）,（4） ，（b0）,3. 曲線回歸方程的比較,常用的比較準(zhǔn)則：,（1）要求相關(guān)指數(shù)R大，其平方也稱為決定系數(shù)，它被定義為：,（2）要求剩余標(biāo)準(zhǔn)差s小，它被定義為：,第三節(jié) 試驗(yàn)設(shè)計(jì),一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基

17、本概念與正交表,（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì),多因素試驗(yàn)遇到的最大困難是試驗(yàn)次數(shù)太多，若十個(gè)因素對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有影響，每個(gè)因素取兩個(gè)不同狀態(tài)進(jìn)行比較，有210=1024、如果每個(gè)因素取三個(gè)不同狀態(tài)310=59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件, 選擇部分條件進(jìn)行試驗(yàn)，再通過數(shù)據(jù)分析來尋找好的條件，這便是試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。通過少量的試驗(yàn)獲得較多的信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的。, 利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法就是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。,（二）正交表,“L”表示正交表，“9”是表的行數(shù)，在試驗(yàn)中表示試驗(yàn)的條件數(shù)，“4”是列數(shù)，在試驗(yàn)中表示可以安排的因子的最多個(gè)數(shù)，“3”是表的主體只有三個(gè)不同數(shù)字，在試驗(yàn)中表示每一因子可以取的水平數(shù)。,正交表具有正交

18、性，這是指它有如下兩個(gè)特點(diǎn)：,（1）每列中每個(gè)數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。,在表L9(34)中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3，每一個(gè)出現(xiàn)3次。,（2）將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那 么一切可能數(shù)對(duì)重復(fù)次數(shù)相同。,在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數(shù)對(duì)： (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一對(duì)出現(xiàn)一次。,常用的正交表有兩大類,（1） 一類正交表的行數(shù)n，列數(shù)p，水平數(shù)q 間有如下關(guān)系：,n=qk, k=2,3,4, p=(n-1)/(q-1),如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考

19、察因子間的交互作用。,（2）另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間 不滿足上述的兩個(gè)關(guān)系,如： L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等, 這類正交表不能用來考察因子間的交互作用, 常用正交表見附錄,二、無交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析,試驗(yàn)設(shè)計(jì)一般有四個(gè)步驟：,1. 試驗(yàn)設(shè)計(jì) 2. 進(jìn)行試驗(yàn)獲得試驗(yàn)結(jié)果 3. 數(shù)據(jù)分析 4. 驗(yàn)證試驗(yàn),例2.3-1 磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。,（一）試驗(yàn)的設(shè)計(jì),在安排試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)考慮

20、如下幾步：,（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?（2）明確試驗(yàn)指標(biāo),（3）確定因子與水平,（4）選用合適的正交表,進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)計(jì)劃,在本例中：,試驗(yàn)?zāi)康模禾岣叽殴碾姍C(jī)的輸出力矩,試驗(yàn)指標(biāo)：輸出力矩,確定因子與水平：經(jīng)分析影響輸出力矩的可能因 子及水平見表2.3-2,表2.3-2 因子水平表,選表：首先根據(jù)因子的水平數(shù)，找出一類正交表,再根據(jù)因子的個(gè)數(shù)確定具體的表,把因子放到表的列上去，稱為表頭設(shè)計(jì)把放因子的列中的數(shù)字改為因子的真實(shí)水平，便成為一張?jiān)囼?yàn)計(jì)劃表，每一行便是一個(gè)試驗(yàn)條件。在正交設(shè)計(jì)中n個(gè)試驗(yàn)條件是一起給出的的，稱為“整體設(shè)計(jì)”，并且均勻分布在試驗(yàn)空間中。,試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果,9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的分

21、布,（二）進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)結(jié)果,在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，要注意幾點(diǎn)：,1. 除了所考察的因子外的其它條件，盡可能保持相同,2. 試驗(yàn)次序最好要隨機(jī)化,3. 必要時(shí)可以設(shè)置區(qū)組因子,（三）數(shù)據(jù)分析,1. 數(shù)據(jù)的直觀分析,（1）尋找最好的試驗(yàn)條件,在A1水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#1，#2，#3，而在這三次試驗(yàn)中因子B的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)，因子C的三個(gè)水平也各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。,在A2水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#4，#5，#6，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。,在A3水平下進(jìn)行了三次試驗(yàn)：#7，#8，#9，在這三次試驗(yàn)中因子B與C的三個(gè)水平各進(jìn)行了一次試驗(yàn)。,將全部試驗(yàn)分成三個(gè)組，那么這

22、三組數(shù)據(jù)間的差異就反映了因子A的三個(gè)水平的差異，為此計(jì)算各組數(shù)據(jù)的和與平均：, T1=y1+y2+y3=160+215+180=555,=T1/3=185, T2=y4+y5+y6=168+236+190=594,=T2/3=198, T3=y7+y8+y9=157+205+140=502,=T3/3=167.3,同理,對(duì)因子B與C將數(shù)據(jù)分成三組分別比較,所有計(jì)算列在下面的計(jì)算表中,例2.3-1直觀分析計(jì)算表,（2）各因子對(duì)指標(biāo)影響程度大小的分析 極差的大小反映了因子水平改變時(shí)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響大小。這里因子的極差是指各水平平均值的最大值與最小值之差，譬如對(duì)因子A來講：,RA=198167.3=

23、30.7,其它的結(jié)果也列在上表中。從三個(gè)因子的極差可知因子B的影響最大，其次是因子A，而因子C的影響最小。,（3）各因子不同水平對(duì)指標(biāo)的影響圖,從圖上可以明顯地看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出每個(gè)因子對(duì)指標(biāo)影響的大小RBRARC。,圖2.3-2 因子各水平對(duì)輸出力矩的影響,由于正交表的特點(diǎn)，使試驗(yàn)條件均勻分布在試驗(yàn)空間中，因此使數(shù)據(jù)間具有整齊可比性，上述的直觀分析可以進(jìn)行。但是極差大到什么程度可以認(rèn)為水平的差異確實(shí)是有影響的呢？,2. 數(shù)據(jù)的方差分析,要把引起數(shù)據(jù)波動(dòng)的原因進(jìn)行分解，數(shù)據(jù)的波動(dòng)可以用離差平方和來表示。,正交表中第j列的離差平方和的計(jì)算公式：,其中Tij為第j列

24、第i水平的數(shù)據(jù)和，T為數(shù)據(jù)總和，n為正交表的行數(shù)，q為該列的水平數(shù),該列表頭是哪個(gè)因子，則該Sj即為該因子的離差平方和，譬如SA=S1,正交表總的離差平方和為：,在這里有：,例2.3-1的方差分析計(jì)算表, 第4列上沒有放因子，稱為空白列。S4僅反映由誤差造成的數(shù)據(jù)波動(dòng)，稱為誤差平方和。,Se=S4, 利用 可以驗(yàn)證平方和的計(jì)算是否正確。,例2.3-1的方差分析表,因子A與B在顯著性0.10與0.05上都是顯著的，而因子C不顯著。,3. 最佳條件的選擇,對(duì)顯著因子應(yīng)該取最好的水平；,對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。,上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)該選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1。,4. 貢獻(xiàn)率分析方法,當(dāng)試驗(yàn)指標(biāo)不服從正態(tài)分布時(shí),進(jìn)行方差分析的依據(jù)就不夠充足,此時(shí)可通過比較各因子的“貢獻(xiàn)率”來衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效應(yīng)外，還包含誤差，從而稱S因-f因Ve為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和與ST的比稱為因子的貢獻(xiàn)率。,（四）驗(yàn)證試驗(yàn),對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231