計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第3章

1、第3章 幾何造型技術(shù),幾何造型技術(shù)是一項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)中，如何表達(dá)物體模型形狀的技術(shù)。 描述物體的三維模型有三種: 線框模型、曲面模型和實(shí)體模型。,線框模型用頂點(diǎn)和棱邊來表示物體。 由于沒有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物體； 它不能明確地定義給定點(diǎn)與物體之間的關(guān)系（點(diǎn)在物體內(nèi)部、外部或表面上）。,表面模型用面的集合來表示物體，而用環(huán)來定義面的邊界。 表面模型能夠滿足面面求交、線面消隱、明暗色彩圖、數(shù)控加工等需要。 但在該模型中，只有一張張面的信息，物體究竟存在于表面的哪一側(cè)，并沒有給出明確的定義，無法計(jì)算和分析物體的整體性質(zhì)。如物體的表面積、體積、重心等。 也不能將這個物體作為一個整體去考

2、察它與其它物體相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，如是否相交等。,實(shí)體模型能完整表示物體的所有形狀信息，可以無歧義地確定一個點(diǎn)是在物體外部、內(nèi)部或表面上。是最高級的模型。 這種模型能夠進(jìn)一步滿足物性計(jì)算、有限元分析等應(yīng)用的要求。,三維表面模型表示三維物體的信息并不完整，但它能夠表達(dá)復(fù)雜的雕刻曲面，在幾何造型中具有重要的地位，對于支持曲面的三維實(shí)體模型，表面模型是它的基礎(chǔ),幾何造型的歷史 曲面造型：60年代，法國雷諾汽車公司、Pierre Bzier、汽車外形設(shè)計(jì)的UNISURF系統(tǒng)。 實(shí)體造型：1973英國劍橋大學(xué)CAD小組的Build系統(tǒng)、美國羅徹斯特大學(xué)的PADL-1系統(tǒng)等。 獨(dú)立發(fā)展起來，又合二為一。 主流

3、：基于線框、曲面、實(shí)體、特征統(tǒng)一表示的造型設(shè)計(jì)系統(tǒng),3.1 參數(shù)曲線和曲面,3.1.1 曲線曲面參數(shù)表示 顯式表示:y=f（x） 隱式表示:f（x，y）=0 參數(shù)表示:P(t)=x(t), y(t), z(t),顯式或隱式表示存在下述問題： 1）與坐標(biāo)軸相關(guān)； 2）會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形(如垂線)； 3) 不便于計(jì)算機(jī)編程。,參數(shù)表示:曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為： 空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：,參數(shù)表示例子： 直線 圓,參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)： 1）以滿足幾何不變性的要求。 2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀 3）對曲線、曲面進(jìn)行

4、變換，可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。 4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計(jì)算。,（5）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。 （6）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。 （7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計(jì)算。,3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率,曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)；,切向量(切矢量) 選擇弧長s作為參數(shù)，則 是單位切矢 根據(jù)弧長微分公式有： 于是有 ，即為單位矢量,法矢量 與 平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢N 矢量積 是第三個單位矢量，它

5、垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢矢 我們可以推導(dǎo)出：,T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動坐標(biāo)架 N、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。,曲率和撓率 即 稱為曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率 曲率k的倒數(shù) 稱為曲率半徑。 撓率 的絕對值等于副法線方向(或密切平面)對于弧長的轉(zhuǎn)動率.,.對于一般參數(shù)t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計(jì)算公式如下：,3.1.3 插值、擬合、逼近和光順,給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲

6、線稱為插值曲線。,線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。 拋物線插值:已知在三個互異點(diǎn) 的函數(shù)值為 ，要求構(gòu)造一個函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點(diǎn) 處與 在 處的值相等,擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線為擬合曲線。 在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。,光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是： a. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；

7、b. 不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)； c. 曲率變化較小。,3.1.4 參數(shù)化,過三點(diǎn)P0、P1和P2構(gòu)造參數(shù)表示的插值多項(xiàng)式可以有無數(shù)條，這是因?yàn)閷?yīng)地參數(shù)t, 在0, 1區(qū)間中有無數(shù)種取法。即P0、P1和P2可對應(yīng)不同的參數(shù)值，比如， 或 其中每個參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)(knot)。,對于一條插值曲線，型值點(diǎn) 與其參數(shù)域 內(nèi)的節(jié)點(diǎn)之間有一種對應(yīng)關(guān)系。對于一組有序的型值點(diǎn)，所確定一種參數(shù)分割，稱之這組型值點(diǎn)的參數(shù)化。,參數(shù)化常用方法有： 均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化) 節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布， +正常數(shù)。 累加弦長參數(shù)化 這種參數(shù)法如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長的分布情況，能夠克服型值點(diǎn)按弦長分布不均勻的情況下采用均

8、勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。,向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。,修正弦長參數(shù)化法 弦長修正系數(shù)Ki=1。從公式可知，與前后鄰弦長及相,比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角qi-1和q i(不超過時)越大，則修正系數(shù)就K i 就越大。 參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化 我們通常將參數(shù)區(qū)間 規(guī)格化為0, 1， 只需對參數(shù)化區(qū)間 作如下處理：,3.1.5 參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。 代數(shù)形式 上述代數(shù)式寫成矢量式是,幾何形式 對三次參數(shù)曲線

9、，若用其端點(diǎn)位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。 將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡記為P0、P1、P0和P1，代入 得,令： 可將其簡化為： 上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式，幾何系數(shù)是P0、P1、P0和P1。 稱為調(diào)和函數(shù)（或混合函數(shù)）,3.1.6 連續(xù)性,曲線間連接的光滑度的度量有兩種： 函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或n階參數(shù)連續(xù)性。 幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同于的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為 。,反例：,若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)或 連續(xù)，即兩曲線在

10、結(jié)合處位置連續(xù)： 若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的切矢 當(dāng)a1時， 連續(xù)就成為 連續(xù) 若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的曲率矢：,這個關(guān)系為： 為任意常數(shù)。當(dāng) ， 時， 連續(xù)就成為 連續(xù)。,我們已經(jīng)看到， 連續(xù)保證 連續(xù)， 連續(xù)能保證 連續(xù)，但反過來不行。也就是說 連續(xù)的條件比 連續(xù)的條件要苛刻。,3.1.7 參數(shù)曲面基本概念,一張定義在矩形域上的參數(shù)曲面可以表示為 可記為,示意圖,參數(shù)曲面的幾個基本概念,1.曲面上的點(diǎn)：將給定的參數(shù)值 代入?yún)?shù)方程，可得曲面上的點(diǎn) 2.曲面上一點(diǎn)的切向量(切矢)：,

11、3.曲面上一點(diǎn)的法向量(法矢),4.角點(diǎn) 5.邊界線：,3.2 Bezier 曲線與曲面,由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法, 已不能滿足用戶的需求。 1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Bezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF 的曲線和曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。,Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結(jié)合 起來，使得設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)上就象使用作圖工具一樣得心應(yīng)手。 典故 日本的穗板：天上掉下來 為邊向量,劍橋的Forest 常庚哲：中國的Bezier，曲面凸性 梁友棟：幾何連續(xù)的浙大學(xué)派，梁葉

12、鄭馬 劉鼎元：實(shí)用的幾何連續(xù)條件 Hoschek的故事 劉汪佳話 紀(jì)念Bezier的CAGD專輯,3.2.1 Bezier曲線的定義和性質(zhì),1定義 給定空間n+1個點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則Bezier曲線可定義為：,其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)： 0=1, 0!=1,2Betnstein基函數(shù)的性質(zhì) （1）正性 （2）端點(diǎn)性質(zhì),（3）權(quán)性 由二項(xiàng)式定理可知：,（4）對稱性 因?yàn)?(5）遞推性。 即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。因?yàn)椋?（6）導(dǎo)函數(shù) （7）最大

13、值。 在 處達(dá)到最大值。,（8）升階公式,（9）積分,3Bezier曲線的性質(zhì) （1）端點(diǎn)性質(zhì) a）曲線端點(diǎn)位置矢量 由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時，P(0)=P0 ；當(dāng)t=1時，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。,b)切矢量 因?yàn)椋?所以當(dāng)t=0時，P(0)=n(P1-P0)，當(dāng)t=1時，P(1)=n(Pn-Pn-1)，這說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。,c.）二階導(dǎo)矢 當(dāng)t=0時， 當(dāng)t=1時， 上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)

14、矢只與（r+1）個相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。 將 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到Bezier曲線在端點(diǎn)的曲率分別為：,d.）k階導(dǎo)函數(shù)的差分表示 n次Bezier曲線的k階導(dǎo)數(shù)可用差分公式為： 其中高階向前差分矢量由低階向前差分矢量遞推地定義： 例如：,（2）對稱性。由控制頂點(diǎn) 構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋?這個性質(zhì)說明Bezier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。,（3）凸包性 由于 ，且 ，這一結(jié)果說明當(dāng)t在0，1區(qū)間變化時，對某一個t值，P(t)是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezi

15、er曲線P(t)在 中各點(diǎn)是控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之中，如圖3.1.9所示。,（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。,（5）變差縮減性。若Bezier曲線的特征多邊形 是一個平面圖形 ， 則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。,（6）仿射不變性 對于任意的仿射變換A： 即在仿射變換下，的形式不變。,3.2

16、.2 Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法,計(jì)算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bezier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。 如下圖所示，設(shè) 、 、 是一條拋物線上順序三個不同的點(diǎn)。過 和 點(diǎn)的兩切線交于 點(diǎn),在 點(diǎn)的切線交 和 于 和 ，則如下比例成立： 這是所謂拋物線的三切線定理。,當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有： t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得： 當(dāng)t從0變到1時，它表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezie

17、r曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P20可以定義為分別由前兩個頂點(diǎn)（P0，P1）和后兩個頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點(diǎn)定,義的三次Bezier曲線P30可被定義為分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個控制點(diǎn)Pi(i=0, 1, ., n)定義的n次Bezier曲線Pn0可被定義為分別由前、后n個控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線 P0n-1與P1n-1的線性組合： 由此得到Bezier曲線的遞推計(jì)算公式： 這便是著名的de Casteljau算法。用這一遞推公式，在

18、給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點(diǎn)P(t)非常有效。上式中：是定義Bezier,曲線的控制點(diǎn)， 即為曲線 上具有參數(shù)t的點(diǎn)。de Casteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計(jì)算Bezier曲線的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。 當(dāng)n=3時，de casteljau算法遞推出的Pki呈直角三角形，對應(yīng)結(jié)果如圖3.1.11所示。從左向右遞推，最右邊點(diǎn)P30即為曲線上的點(diǎn)。,這一算法可用簡單的幾何作圖來實(shí)現(xiàn)。給定參數(shù) ，就把定義域分成長度為 的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是由第一級遞推生成的中間頂點(diǎn) , 對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比

19、分割，得第二級中間頂點(diǎn) 。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點(diǎn) 即為所求曲線上的點(diǎn) ，如圖3.1.12所示。,3.2.3 Bezier曲線的拼接,幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加由于特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會帶來計(jì)算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。,給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m)

20、，且令 ，如圖3.1.13所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。 圖3.1.13 Bezier曲線的拼接,（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn= Q0； （2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三點(diǎn)共線，即： （3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程 。 我們將 、 和 ， 、 代入，并整理，可以得到： 選擇 和 的值，可以利用該式確定曲線段 的特征多邊形頂點(diǎn) ，而頂點(diǎn) 、 已被 連續(xù)條件所確定。要達(dá)到 連續(xù)的話，只剩下頂點(diǎn) 可以自由選取。,如果從上式的兩邊都減去 ，則等式右邊可以表示為 和 的 線性組合： 這表明 、 、 、 和 五點(diǎn)

21、共面，事實(shí)上，在接合點(diǎn)兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，我們還可以斷定： 位于直線 的同一側(cè)。,3.2.4 Bezier曲線的升階與降階,1Bezier曲線的升階 所謂升階是指保持Bezier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點(diǎn)數(shù)，也即是提高該Bezier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點(diǎn)數(shù)，不僅能增加了對曲線進(jìn)行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的。應(yīng)用升階的方法，我們可以把低于最高次數(shù)的的曲線提升到最高次數(shù)，而獲得同一的次數(shù)。 曲線升階后，原控制頂點(diǎn)會發(fā)生變化。下面，我們來計(jì)算曲線提升一階后的新的控制頂點(diǎn)。 設(shè)給定原始控

22、制頂點(diǎn) ，定義了一條n次Bezier曲線：,增加一個頂點(diǎn)后，仍定義同一條曲線的新控制頂點(diǎn)為 ，則有： 對上式左邊乘以 ，得到： 比較等式兩邊 項(xiàng)的系數(shù)，得到： 化簡即得： 其中 。,此式說明： 新的控制頂點(diǎn) 是以參數(shù)值 按分段線性插值從原始特征多邊形得出的。 升階后的新的特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi) 特征多邊形更靠近曲線。 三次Bezier曲線的升階實(shí)例如圖3.1.14所示。,2Bezier曲線的降階 降階是升階的逆過程。給定一條由原始控制頂點(diǎn) 定義的n次Bezier曲線，要求找到一條由新控制頂點(diǎn) 定義的n-1次Bezier曲線來逼近原始曲線。 假定 是由 升階得到，則由升階公式有： 從

23、這個方程可以導(dǎo)出兩個遞推公式： 和,兩種降階格式 Forrest 格式 Farin格式,降階逼近的文獻(xiàn) M. A. Watkins and A. J. Worsey, Degree reduction of Bzier curves, Computer Aided Design, 20(7), 1988, 398-405 胡事民、孫家廣、金通光、汪國昭，Approximate degree reduction of Bezier curves, Tsinghua Science and Technology, No.2, 1998, 997-1000. 雍俊海、胡事民、孫家廣、譚新宇，Degr

24、ee reduction of B-spline curves, Computer Aided Geometric Design, 2001, Vol. 13, NO. 2, 2001, 117-127.,3.2.5 Bezier曲面,基于Bezier曲線的討論，我們可以方便地可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì)，Bezier曲線的一些算法也可以很容易擴(kuò)展到Bezier曲面的情況。,1定義 設(shè) 為 個空間點(diǎn)列，則 次張量積形式的Bezier曲面定義為： 其中 ， 是Bernstein基函數(shù)。依次用線段連接點(diǎn)列 中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格，稱之為特征網(wǎng)格。,Bezier曲面的矩陣表示式是： 在一

25、般實(shí)際應(yīng)用中， 不大于4。,2性質(zhì) 除變差減小性質(zhì)外，Bezier曲線的其它性質(zhì)可推廣到Bezier曲面： （1）Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個角點(diǎn)正好是Bezier曲面的四個角點(diǎn)，即 ， ， ， 。 （2）Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條邊界；Bezier曲面邊界的跨界切矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰一排頂點(diǎn)有關(guān)，且 、 、 和 （圖3.1.15打上斜線的三角形）；其跨界二階導(dǎo)矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點(diǎn)有關(guān)；。,（3）幾何不變性。 （4）對稱性。 （5）凸包性。,3Bezier曲面片的拼接 如圖3.1.16所示，設(shè)兩張mn次Bezier曲面片 分別由控制頂點(diǎn)

26、 和 定義。,如果要求兩曲面片達(dá)到 連續(xù)，則它們有公共的邊界，即： （ 3.1.10） 于是有 如果又要求沿該公共邊界達(dá)到 連續(xù)，則兩曲面片在該邊界上有公共的切平面，因此曲面的法向應(yīng)當(dāng)是跨界連續(xù)的，即： （3.1.11）,下面來研究滿足這個方程的兩種方法。 （1）鑒于（3.1.10）式，（3.1.11）式最簡單的解是： （3.1.12） 這相當(dāng)于要求合成曲面上v為常數(shù)的所有曲線，在跨界時有切向的連續(xù)性。為了保證等式兩邊關(guān)于v的多項(xiàng)式次數(shù)相同，必須取 （一個正常數(shù)）。于是有： 即,（2）由于（3.1.12）式使得兩張曲面片在邊界達(dá)到 連續(xù)時，只涉及曲面 和 的兩列控制頂點(diǎn)，比較容易控制。用這種方

27、法匹配合成的曲面的邊界，u向和v向是光滑連續(xù)的。實(shí)際上，該式的限制是苛刻的。 是否存在跟簡單而合理的方法？,為了構(gòu)造合成曲面時有更大的靈活性，Bezier在1972年放棄把（3.1.12）式作為 連續(xù)的條件，而以 （3.1.13） 來滿足（3.1.11）式，這僅僅要求 位于 和 所在的同一個平面內(nèi)，也就是曲面片 邊界上相應(yīng)點(diǎn)處的切平面，這樣就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的邊界時就不再連續(xù)了。 同樣，為了保證等式兩邊關(guān)于v的多項(xiàng)式次數(shù)相同， 須為任意正常數(shù)， 是v的任意線性函數(shù)。,4遞推(de Casteljau)算法 Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法，可以推廣

28、到Bezier曲面的情形。若給定Bezier曲面特征網(wǎng)格的控制頂點(diǎn) 和一對參數(shù)值 ，則： (3.1.14),其中 (3.1.15) 或 (3.1.16),(3.1.15)與(3.1.16)中的下標(biāo) 的變化范圍已在(3.1.14)式中給出。上面給出了確定曲面上一點(diǎn)的兩種方案。當(dāng)按(3.1.15)式方案執(zhí)行時，先以u參數(shù)值對控制網(wǎng)格u向的n+1個多邊形執(zhí)行曲線de Casteljau算法，m級遞推后，得到沿v向由n+1個頂點(diǎn) 構(gòu)成的中間多邊形。再以v參數(shù)值對它執(zhí)行曲線的de Casteljau算法，n級遞推以后，得到一個 ，即所求曲面上的點(diǎn),也可以按(3.1.16) 式方案執(zhí)行，先以v參數(shù)值對控制

29、網(wǎng)格沿v向的m+1個多邊形執(zhí)行n級遞推，得沿u向由m+1個頂點(diǎn) 構(gòu)成的中間多邊形。再以u參數(shù)值對它執(zhí)行n級遞推，得所求點(diǎn) 。,之所以有這樣的算法，是因?yàn)?3.1.2.6 三邊Bezier曲面片,與上一節(jié)定義在矩形域上的Bezier曲面片不同，本節(jié)介紹的三邊Bezier曲面片是定義在三邊形域上的，如圖3.1.17所示，為了便于區(qū)分，我們把上一節(jié)介紹的Bezier曲面片稱為四邊Bezier曲面片。三邊曲面片能夠較好地適應(yīng)不規(guī)則與散亂數(shù)據(jù)的幾何造型及適合有限元分析中的三邊元素的需要。,1三角域內(nèi)點(diǎn)的表示 三角域內(nèi)一點(diǎn)可以用面積坐標(biāo)（或重心坐標(biāo)）來表示，如圖3.1.18所示。 G是三角形ABC內(nèi)的任意

30、一點(diǎn)，其面積坐標(biāo)為 。令三角形ABC面積為s，三角形GBC面積為 ，三角形GCA面積為 ，三角形GAB面積為 ，則： ，這里所指的三角形面積是有向面積，按頂點(diǎn)字母順序，順時針旋轉(zhuǎn)為正，逆時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。,若A= ，B= ，C= ，則： 三個坐標(biāo)分量u、v和w只有兩個是獨(dú)立的，因?yàn)閡+v+w=1.三角形ABC稱為域三角形，或稱為三角域。,2三角域上的Bernstein基 單變量的n次的Bernstein基 由 的二項(xiàng)式展開各項(xiàng)組成。雙變量張量積的Bernstein基由兩個單變量的Bernstein基各取其一的乘積組成。而定義在三角域上的雙變量n次的Bernstein基由 的展開式各項(xiàng)組成。,Ber

31、nstein基函數(shù)： 其中i+j+k=n，且i，j，k0。可見，三角域上n次Bernstein基共包含了 個基函數(shù)，可以用一個三角陣來排列這些基函數(shù)。例如，n=2時如圖3.1.19所示。,三角域按Bernstein基的三角陣列相應(yīng)劃分成子三角域，其中諸直線交點(diǎn)同樣地稱為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)與基函數(shù)一一對應(yīng)。每個結(jié)點(diǎn)也由三個指標(biāo)確定，如圖3.1.20所示，它們分別與三參數(shù)u，v，w相聯(lián)系。 三角域上Bernstein基同樣具有規(guī)范性、非負(fù)性與遞推性。其遞推關(guān)系為：,3三邊Bzier曲面片的定義 使一個基函數(shù)聯(lián)系一個控制頂點(diǎn)，一張n次三邊Bezier曲面片必須由構(gòu)成三角陣列的 個控制頂點(diǎn) 定義。因此，n次B

32、ezier曲面可以定義為： 按下標(biāo)順序用直線連接控制頂點(diǎn)，就形成了曲面的控制網(wǎng)格，它由三角形組成，網(wǎng)格頂點(diǎn)與三角域的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)。圖3.1.21給出了三次三邊Bezier曲面片的一個例子。,當(dāng)固定三參數(shù)之一時，將得到曲面片上一條等參數(shù)線。例如，當(dāng)w固定，讓u獨(dú)立地變化，則得到一條u線；若讓v獨(dú)立地變化，則得到v線，兩者實(shí)際是同一條曲線。因此，曲面片上有三族等參數(shù)線。當(dāng)三參數(shù)之一為零時，則得曲面片的一條邊界線，它由相應(yīng)那排邊界頂點(diǎn)定義，就是一般所指的一條非有理n次Bezier曲線。當(dāng)三參數(shù)之一為1時，則得三邊曲面片的一個角點(diǎn)，就是控制網(wǎng)格三角頂點(diǎn)之一?？梢?，三邊Bezier曲面片與四邊Bezie

33、r曲面片具有類似的性質(zhì)。,思考題： 如何計(jì)算Bezier曲面上一點(diǎn)的值？,de Casteljau遞推。,與定義在矩形域上的四邊Bezier曲面片的差別在于： 1）定義域不同； 2）控制網(wǎng)格不同，后者由呈矩形陣列的控制頂點(diǎn)構(gòu)成； 3）同樣是兩個獨(dú)立參數(shù)，但最高次數(shù)不同，后者兩個參數(shù)的最高次數(shù)是互相獨(dú)立的，可以不同。而三邊Bezier曲面片的三個參數(shù)的最高次數(shù)都是相同的； 4）四邊Bezier曲面片是張量積曲面，三邊Bezier曲面片是非張量積曲面，這是本質(zhì)差別。,4三邊Bzier曲面片與四邊Bzier曲面片的轉(zhuǎn)化 由于三邊Bzier曲面與四邊Bzier曲面有不同的基函數(shù)和定義方法，當(dāng)在同一個C

34、AD系統(tǒng)中使用這兩種類型的曲面片時，會帶來不相容的困難。下面我們給出了兩種曲面片的轉(zhuǎn)化方法。,一種方法是將一張三邊Bzier曲面片轉(zhuǎn)化為三張相同次數(shù)的四邊Bezier曲面片，且各曲面片之間能夠很好地匹配。如圖3.1.22（a），假定三邊Bzier曲面片定義域?yàn)镈，在D的三條邊上各取一點(diǎn)（不包括三個頂點(diǎn)） 、 和 ，再在三角形 內(nèi)取一點(diǎn) ，則線段 、 和 將D分成三個四邊形 、 和 ，與三線段對應(yīng)的曲線將該三邊Bzier曲面片分成三張四邊Bzier曲面片。下面，我們給出 上的四邊Bzier曲面片的表示，,和 上曲面片的表示則與在上類似。 我們選取 如圖3.1.22（b）所示。為了方便起見，并將

35、寫為 寫為 ，則三邊Bzier曲面片方程可以寫為：,如果我們還引入下列運(yùn)算符： 不變運(yùn)算符 移位運(yùn)算符 差分運(yùn)算符 則三邊Bezier曲面片方程可進(jìn)一步表示為：,定義在 上的 的裁剪曲面可由nn次的四邊Bzier曲面片表示，其控制頂點(diǎn)為： 其中 分別是 、 和 的坐標(biāo)。于是，定義在 上的四邊曲面片可表示為：,第二種方法是將三角Bzier曲面轉(zhuǎn)化為一張退化的張量積Bzier曲面。,退化的張量積曲面的控制頂點(diǎn)可以由下式計(jì)算,其中 是升階算子,證明: 對三角曲面T(u,v,w)應(yīng)用重新參數(shù)化 三角域變?yōu)榫匦斡?, 于是有,于是有：,應(yīng)用： 在一些 CAD 應(yīng)用中，我們經(jīng)常需設(shè)計(jì)一些三邊曲面，但一般的

36、系統(tǒng)只支持矩形曲面片， 很自然的，我們會用一條邊退化成一點(diǎn)的矩形片表示。而退化曲面是不受歡迎的. 因此我們需解決將該退化Bzier曲面非退化矩形曲面的問題。,而利用前面的討論，用 次三角Bzier曲面 逼近 該退化的 次Bzier矩形片 ，非常簡單，只需將如下 次Bzier曲線降階為 次曲線。 (8),因此我們首先將退化曲面逼近為一張三角Bzier 曲面, 在利用我們前面提到的方法將該三角Bzier 曲面轉(zhuǎn)化為三張非退化矩形域Bzier曲面。,如何提高精度？,3.3 B樣條曲線與曲面,Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足： Bezier曲線或曲面不能作局部修改； Bezier曲線或

37、曲面的拼接比較復(fù)雜,1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法 , 提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點(diǎn)的同時，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。,樣條的史話 1946年的紅皮書 Schoenberg拉開了神話的序幕 從插值的R-K現(xiàn)象說起 樣條分段連續(xù)多項(xiàng)式 De Boor-Cox公式 知識遺傳：從老丈人給女胥？,斷言樣條不可能用于外形設(shè)計(jì) 幾何樣條出項(xiàng)，離散計(jì)算，峰回路轉(zhuǎn) NURBS太過復(fù)雜，望洋興嘆 NURBS Book 走向?qū)嵱没?Some years ago a few researchers joked about

38、NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational B-Splines, write the authors in their foreword; they formulate the aim of changing NURBS to EURBS, that is, Everybody. There is no doubt that they have achieved this goal. I highly recommend the book to anyone who is intere

39、sted in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems. Helmut Pottmann,如何理解B-樣條？ 樣條插值，三對角方程 給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個線性空間，線性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù) 由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線中底Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線。,3.3.1 B樣條的遞推定義和性質(zhì),B樣條曲線的方程定義為： 是控制多邊形的頂點(diǎn) (i=0,1,

40、.,n) 稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù) B樣條基函數(shù)是一個稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣條。,de Boor-Cox遞推定義 并約定,以k4，n=5為例,2性質(zhì) 局部支承性。 權(quán)性。 微分公式。,B樣條曲線類型的劃分 曲線按其首末端點(diǎn)是否重合，區(qū)分為閉曲線和開曲線。 B樣條曲線按其節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)的分布情況，可劃分為四種類型。,均勻B樣條曲線。 節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù) 軸均勻或等距分布，所有 節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度為常數(shù)。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻的B樣條基。,準(zhǔn)均勻B樣條 與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均

41、勻的B樣條基。均勻B樣條曲線沒有保留Bezier曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決了這個問題,分段Bezier曲線 節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的Bernstein基。,B樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就具有了相對的獨(dú)立性，移動曲線段內(nèi)的一個控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對其它曲線段的形狀沒有影響。并且Bezier曲線一整套簡單有效的算法都可以原封不動地采用。缺點(diǎn)是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。,非均勻B樣條曲線 任意分布的節(jié)點(diǎn)矢量 ，只要在數(shù)學(xué)上成立（

42、節(jié)點(diǎn)序列非遞減，兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k-1）都可選取。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了非均勻B樣條基。,3.3.2 B樣條曲線的性質(zhì) 局部性。k 階B樣條曲線上參數(shù)為 的一點(diǎn)至多與k個控制頂點(diǎn) 有關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無關(guān)；移動該曲線的第 i個控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間 上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不發(fā)生影響。,連續(xù)性 P(t)在r重節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)階不低于 k-1-r。 凸包性 P(t)在區(qū)間 上的部分位于k個點(diǎn) 的凸包 內(nèi)，整條曲線則位于各凸包 的并集之內(nèi)。,分段參數(shù)多項(xiàng)式 P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式 導(dǎo)數(shù)公式,變差縮減性 設(shè)平面內(nèi) n+1 個控制頂點(diǎn) 構(gòu)

43、成B樣條曲線 P(t) 的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與 P(t) 的交點(diǎn)個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個數(shù)。 幾何不變性 B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。,仿射不變性 即在仿射變換下，的表達(dá)式具有形式不變性。 直線保持性 控制多邊形退化為一條直線時， 曲線也退化為一條直線。,造型的靈活性。 用B樣條曲線可以構(gòu)造直線段、尖點(diǎn)、切線等特殊情況.對于四階（三次）B樣條曲線.若要在其中得到一條直線段，只要四點(diǎn) 位于一條直線上,為了使P(t)能過P(i)點(diǎn)，只要使 重合 尖點(diǎn)也可通過三重節(jié)點(diǎn)的方法得到 為了使曲線和某一直線L相切，只要取 位于L上及 的重?cái)?shù)不大于2。,3.3.3

44、de Boor 算法,欲計(jì)算B樣條曲線上對應(yīng)一點(diǎn)P(t)，可以利用B樣條曲線方程，但是采用de Boor 算法，計(jì)算更加快捷。 de Boor 算法的導(dǎo)出,現(xiàn)令 則 這就是著名的de Boor 算法,de Boor 算法的遞推關(guān)系如圖,De Boor 算法的幾何意義 de Boor算法有著直觀的幾何意義 割角，即以線段 割去角 。從多邊形 開始，經(jīng)過 k-1 層割角，最后得到P(t)上的點(diǎn),3.3.4 節(jié)點(diǎn)插入算法,通過插入節(jié)點(diǎn)可以進(jìn)一步改善B樣條曲線的局部性質(zhì)，提高B樣條曲線的形狀控制的靈活性，可以實(shí)現(xiàn)對曲線的分割等。 插入一個節(jié)點(diǎn) 在定義域某個節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)插入 一個節(jié)點(diǎn)t，得到新的節(jié)點(diǎn)矢量：

45、 重新編號成為,這個新的節(jié)點(diǎn)矢量U1決定了一組新的B樣條基 原始的B樣條曲線就可以用這組新的B樣條基與未知新頂點(diǎn) 表示,Boehm給出了這些未知新頂點(diǎn)的計(jì)算公式 r 表示所插結(jié)點(diǎn)t在原始節(jié)點(diǎn)矢量T中的重復(fù)度。,3.3.5 B樣條曲面,給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點(diǎn)矢量 pq階B樣條曲面定義如下,構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。 和 是B樣條基，分別由節(jié)點(diǎn)矢量U和V按deBoor-Cox遞推公式?jīng)Q定。,3.4 NURBS曲線與曲面,B樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似

46、表示。 提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。 NURBS方法的主要優(yōu)點(diǎn) 既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個公共的數(shù)學(xué)形式,B樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。,N

47、URBS方法的主要優(yōu)點(diǎn) 既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個公共的數(shù)學(xué)形式 修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性。 具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù) 對幾何變換和投影變換具有不變性。 非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。,應(yīng)用NURBS中還有一些難以解決的問題： 比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間 權(quán)因子選擇不當(dāng)會引起畸變 對搭接、重疊形狀的處理很麻煩。 反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題,3.4.1NURBS曲線的定義 NURBS曲線是由分段有理B樣條多項(xiàng)式基函數(shù)定義的,R

48、i,k(t)具有k階B樣條基函數(shù)類似的性質(zhì)： 局部支承性：Ri,k(t)=0，tti, ti+k 權(quán)性： 可微性：如果分母不為零，在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)是無限次連續(xù)可微的，在節(jié)點(diǎn)處 (k-1-r)次連續(xù)可導(dǎo)，r是該節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度。 若i=0，則Ri,k(t)=0； 若i=+，則Ri,k(t)=1；,NURBS曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)： 局部性質(zhì)。 局變差減小性質(zhì)。 凸包性。 在仿射與透射變換下的不變性。 在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性。,如果某個權(quán)因子為零，那么相應(yīng)控制頂點(diǎn)對曲線沒有影響。 若 ，則當(dāng) 時， 非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況,3.

49、4.2 齊次坐標(biāo)表示 齊次坐標(biāo)系xyw中的控制頂點(diǎn)為 k階非有理B樣條曲線可表示為：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為投影中心，則得到平面曲線,三維空間的NURBS曲線可以類似地定義。 非有理B樣條的算法可以推廣到NURBS曲線，只不過是在齊次坐標(biāo)下進(jìn)行。 3.4.3權(quán)因子的幾何意義 如果固定曲線的參數(shù)t，而使 變化，則NURBS曲線方程變成以 為參數(shù)的直線方,程，即NURBS曲線上t值相同的點(diǎn)都位于同一直線上。 分別是 對應(yīng)曲線上的點(diǎn)，即 N，Bi可表示為： (Pi，Bi，N，B)四點(diǎn)的交比,（1）若i增大或減小，則也增大或減小，所以曲線被拉向或推離開Pi點(diǎn)； （2）若j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（ji）

50、。,3.4.4圓錐曲線的NURBS表示,取節(jié)點(diǎn)向量為 則NURBS曲線退化為二次Bezier曲線，且可以證明，這是圓錐曲線弧方程。 稱為形狀因子， 的值確定了圓錐曲線的類型。 時，上式是拋物線弧，,時，上式是雙曲線弧， 時，上式是橢圓弧。 時，上式退化為一對直線段P0P1和P1P2， 時，上式退化為連接兩點(diǎn)P0P2的直線段,3.4.5 NURBS曲線的修改,常用的方法有修改權(quán)因子、控制點(diǎn)和反插節(jié)點(diǎn)。 修改權(quán)因子 當(dāng)保持控制頂點(diǎn)和其它權(quán)因子不變，減少或增加某權(quán)因子時，曲線被推離或拉向相應(yīng)頂點(diǎn)。,欲將曲線在該點(diǎn)S拉向或推離控制頂點(diǎn)Pi一個距離d，以得到新點(diǎn)S，可由重新確定相應(yīng)的權(quán)因子 使之改變?yōu)?

51、來達(dá)到 修改控制頂點(diǎn) 修改控制頂點(diǎn)的位置，曲線隨之變形。,基于幾何約束的形狀修改 問題的提法：求新的控制頂點(diǎn)，使曲線上的 點(diǎn)S變到T。 T S P(t),將曲線改寫為 其中,約束優(yōu)化方法 假設(shè)控制頂點(diǎn) 改變，以滿足點(diǎn)約束。我們對以上每個點(diǎn)，給一個擾動量 ，并用約束優(yōu)化方法求之。 約束條件為,令 由 Lagrange 函數(shù) 可得方程組,解方程組可得,當(dāng)只有一個控制頂點(diǎn)可動時，即為 此為CAD主編Piegl于1989年提出的公式。 該方法可推廣到其他幾何約束及曲面。,3.4.6非均勻有理B樣條（NURBS）曲面,NURBS曲面的定義,規(guī)定四角點(diǎn)處用正權(quán)因子，即 ，其余 。 NURBS曲面的性質(zhì) 與

52、非有理B樣條基函數(shù)相類似的性質(zhì)： 局部支承性質(zhì) 權(quán)性,可微性. 在重復(fù)度為r的u節(jié)點(diǎn)處沿u向是p-r-1次連續(xù)可微，在重復(fù)度為r的v節(jié)點(diǎn)處沿v向是q-r-1次連續(xù)可微 極值.若p，q1，恒有一個極大值存在 是雙變量B樣條基函數(shù)的推廣,3.5 Coons 曲面,1964年，美國麻省理工學(xué)院S.A.Coons提出了一種曲面分片、拼合造型的思. Bezier曲面和B樣條曲面的特點(diǎn)是曲面逼近控制網(wǎng)格，Coons曲面的特點(diǎn)是插值曲線網(wǎng).,3.6形體在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示,3.6.1 引言 計(jì)算機(jī)中表示形體，通常用線框、表面和實(shí)體三種模型。 幾何造型歷史：早期的線框表示 實(shí)體造型與曲面造型 70 獨(dú)立發(fā)展 到

53、互相溶合 NURBS 邊界表示,正則形體,對于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。,一些非正則形體的實(shí)例,集合運(yùn)算（并、交、差）是構(gòu)造形體的基本方法。正則形體經(jīng)過集合運(yùn)算后，可能會產(chǎn)生懸邊、懸面等低于三維的形體。 Requicha在引入正則形體概念的同時，還定義了正則集合運(yùn)算的概念。正則集合運(yùn)算保證集合運(yùn)算的結(jié)果仍是一個正則形體，即丟棄懸邊、懸面等。,為了能夠處理非正則形體，產(chǎn)生了非正則造型技術(shù)。 九十年代以來，基于約束的參數(shù)化、變量化造型和支持線框、曲面、實(shí)體統(tǒng)一表示的非正則形體造型技術(shù)已成

54、為幾何造型技術(shù)的主流。,3.6.2 形體表示模型,在實(shí)體模型的表示中，基本上可以分為分解表示、構(gòu)造表示和邊界表示三大類。 1、分解表示 將形體按某種規(guī)則分解為小的更易于描述的部分，每一小部分又可分為更小的部分，這種分解過程直至每一小部分都能夠直接描述為止。 (a)將形體空間細(xì)分為小的立方體單元。這種表示方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單，容易實(shí)現(xiàn)形體的交、并、差計(jì)算，但是占用的存儲量太大，物體的邊界面沒有顯式的解析表達(dá)式，不便于運(yùn)算。,(b)八叉樹法表示形體.首先對形體定義一個外接立方體，再把它分解成八個子立方體，并對立方體依次編號為0，1，2，7。如果子立方體單元已經(jīng)一致，即為滿（該立方體充滿形體）或?yàn)榭眨]

55、有形體在其中），則該子立方體可停止分解；否則，需要對該立方體作進(jìn)一步分解，再一分為八個子立方體。在八叉樹中，非葉結(jié)點(diǎn)的每個結(jié)點(diǎn)都有八個分支。 優(yōu)點(diǎn)主要是： （1）形體表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單。,（2）簡化了形體的集合運(yùn)算。只需同時遍歷參加集合運(yùn)算的兩形體相應(yīng)的八叉樹，無需進(jìn)行復(fù)雜的求交運(yùn)算。 （3）簡化了隱藏線（或面）的消除，因?yàn)樵诎瞬鏄浔硎局校误w上各元素已按空間位置排成了一定的順序。 （4）分析算法適合于并行處理。 八叉樹表示的缺點(diǎn)：占用的存儲多，只能近似表示形體，以及不易獲取形體的邊界信息等。,2構(gòu)造表示。通常有掃描表示、構(gòu)造實(shí)體幾何表示和特征表示三種。 (a)掃描表示?；谝粋€基體（一般是一

56、個封閉的平面輪廓）沿某一路徑運(yùn)動而產(chǎn)生形體。 掃描是生成三維形體的有效方法 用掃描變換產(chǎn)生的形體可能出現(xiàn)維數(shù)不一致的問題。 掃描方法不能直接獲取形體的邊界信息，表示形體的覆蓋域非常有限。,(b)構(gòu)造實(shí)體幾何表示(CSG).通過對體素定義運(yùn)算而得到新的形體的一種表示方法。體素可以是立方體、圓柱、圓錐等，也可以是半空間，其運(yùn)算為變換或正則集合運(yùn)算并、交、差。 CSG表示可以看成是一棵有序的二叉樹。 其終端節(jié)點(diǎn)或是體素、或是形體變換參數(shù)。 非終端結(jié)點(diǎn)或是正則的集合運(yùn)算，或是變換（平移和/或旋轉(zhuǎn)）操作，這種運(yùn)算或變換只對其緊接著的子結(jié)點(diǎn)（子形體）起作用。,CSG樹是無二義性的，但不是唯一的. CSG表示的優(yōu)點(diǎn)： 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易； CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示； CSG方法表示的形體的形狀，比較容易修改。 CSG表示的缺點(diǎn)： 對形體的表示受體素的種類和對體素操作的種類的限制，也就是說，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。,對形體的局部操作不易實(shí)現(xiàn)，例如，不能對基本體素的交線倒圓角； 由于形體的邊界幾何元素（點(diǎn)、邊、面）是隱含地表示在CSG中，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長的時間。,(c)特征表示 從應(yīng)用層來定義形體，因