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文檔簡介
1、第三節(jié) 平面波方法,本節(jié)主要內容:,5.3.1 微擾計算,5.3.2 三維能帶與一維能帶的區(qū)別,5.3 平面波方法,模型:平面波方法就是三維周期場中電子運動的近自由電子近似。,勢能 是具有周期性的函數,可以作傅氏展開。,由勢場的周期性,因為 是實數,所以,因為 為正格矢,所以 必為倒格矢,即,5.3.1 微擾計算,哈密頓量可寫為,為方便計算,我們取勢能平均值V0=0,這樣,考慮到 后解薛定諤方程,由布洛赫定理可知波函數應為:,其中周期性因子 展成傅里葉級數,,將 代入薛定諤方程,上式點乘 并對整個晶體積分得:,在上式求解過程中,利用了關系式:,因為 有無數多個取值,所以上式是一個無限多項的方程
2、式。在計算精度范圍內,可取有限項平面波來作 的近似。在此情況下,上式就變?yōu)橐粋€有限項的方程。這樣的方程構成了一個齊次方程組。,由此行列式可求出電子的能量 。,如果電子的行為接近于自由電子時,其波函數與平面波相近:,其他系數 是小量;電子能量也與自由電子能量近似,電子的近自由電子行為是由勢場決定的,此種情況的勢場起伏不大,中心方程中的系數 是小量。若忽略掉二級小量,中心方程簡化為:,即,當 遠離 時,由于 是小量,所以 也是小量,但當 時, 變得很大,此時中心方程中除 和 不能忽略外其它項仍是二級小量,可以忽略。中心方程化為:,利用:,就可得到:,由此可知,當 時,波矢k將對應兩個能級,,這兩能
3、極之間的能量區(qū)間稱為禁帶,禁帶寬度為相應傅里葉分量絕對值的二倍。,發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條件可改寫為:,在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。,禁帶寬度,上式的幾何意義是:在 空間中從原點所作的倒格矢 的垂直平分面的方程。,我們令 ,則從圖中可以看出,不僅 與 的模相等,而且,若把 看作 中 垂面的入射波矢, 恰是 中垂面的反射波矢。,若不考慮雜質和缺陷引起的散射,電子的散射只能是晶格引起的。波矢為 態(tài)的反射波就是與 垂直的晶面族引起的。由第一章知,這組晶面的面間距,由圖可知,這正是與 垂直的晶面族對應的布拉格反射公式。,一維:屬于一個布里淵區(qū)的能級構成一個能帶,不同的布里淵區(qū)對應不同的能帶,在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶之間出現能隙。,5.3.2 三維能帶與一維能帶的區(qū)別,三維:與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔開,而可以發(fā)生能帶之間的交疊。,EC為第一布里淵區(qū)(C點)的最高能量,,EB為第二布里淵區(qū)(B點)的最低能量,,出現禁帶(能隙)Eg;,出現能帶重疊。,對于三維的情
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