二重積分的概念與性質(zhì)

1、1,第九章 重 積 分,2,重積分是定積分的推廣和發(fā)展.其同定積分一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四步曲:,分割、取近似、求和、取極限.,定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間.,而二重、三重積分的被積函數(shù)是二元、三元函數(shù),其積分域是一個平面有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域.,重積分有其廣泛的應(yīng)用.,序 言,3,問題的提出,二重積分的概念,二重積分的性質(zhì),小結(jié) 思考題 作業(yè),double integral,第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì),第九章 重積分,4,一、問題的提出,定積分中會求平行截面面積為已知的,一般立體的體積如何求,先從曲頂柱體的體積開始.,而曲頂柱體的體積的計算問題

2、,一般立體的體積可分成一些比較簡單的,?,回想,立體的體積、,旋轉(zhuǎn)體的體積.,曲頂柱體的體積.,二重積分的一個模型.,可作為,5,曲頂柱體體積=,特點,1曲頂柱體的體積,困難,曲頂柱體,以xOy面上的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,側(cè)面以,頂是曲面,且在D上連續(xù)).,?,曲頂,頂是曲的,6,柱體體積 =,特點,分析,?,曲邊梯形面積是如何求,以直代曲、,如何創(chuàng)造條件使,?,解決問題的思路、步驟與,回憶,思想是,分割、,平頂,平,曲,這對矛盾互相轉(zhuǎn)化,與,以不變代變.,曲邊梯形面積,的求法類似,取近似、,求和、,取極限.,底面積高,7,步驟如下,用若干個小平 頂柱體體積之

3、 和,先任意分割曲頂柱體的底，,曲頂柱體的體積,并任取小區(qū)域，,近似表示,曲頂柱體的體積，,8,(1) 分割,相應(yīng)地此曲頂,柱體分為n個小曲頂柱體.,(2) 取近似,第i個小曲頂柱體的體積的近似式,(用 表示第i個子域的面積) .,將域D任意分為n個子域,在每個子域內(nèi)任取一點,9,(3) 求和,即得曲頂柱體體積的近似值:,(4) 取極限,)趨于零,求n個小平頂柱體體積之和,令n個子域的直徑中的最大值(記作,上述和式的極限即為曲頂柱體體積,10,2. 非均勻平面薄片的質(zhì)量,(1) 將薄片分割成n個小塊，,看作均勻薄片.,(2),(3),(4),設(shè)有一平面薄片,求平面薄片的質(zhì)量M.,11,也表示它

4、的面積,二、二重積分的概念,1. 二重積分的定義,定義,作乘積,并作和,12,積分區(qū)域,積分和,被積函數(shù),積分變量,被積表達式,面積元素,這和式,則稱此,零時,如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于,的極限存在,極限為函數(shù),二重積分,記為,即,13,曲頂柱體體積,它的面密度,曲頂,即,在底D上的二重積分,平面薄片D的質(zhì)量,即,在薄片D上的二重積分,14,二重積分可寫為,定積分中,1.重積分與定積分的區(qū)別:,重積分中,可正可負.,則面積元素為,D,15,(A) 最大小區(qū)間長;,(B) 小區(qū)域最大面積;,(C) 小區(qū)域直徑;,(D)最大小區(qū)域直徑.,D,16,2. 二重積分的存在定理,設(shè)f(x,

5、y)是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù),存在.,連續(xù)函數(shù)一定可積,今后的討論中,積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.,或是分片連續(xù)函數(shù)時,則,都假定被積函數(shù)在相應(yīng)的,17,(2),3. 二重積分的幾何意義,(3),(1),在D上的二重積分就等于,二重積分是,二重積分是,而在其它的部分區(qū)域上是負的.,這些部分區(qū)域上的,柱體體積的代數(shù)和.,那末,柱體體積的負值;,柱體體積;,在D上的若干部分區(qū)域上是正的,18,例 設(shè)D為圓域,?,二重積分,=,解,上述積分等于,由二重積分的幾何意義可知，,是上半球面,上半球體的體積：,R,D,19,性質(zhì),為常數(shù), 則,(二重積分與定積分有類似的性質(zhì)),三、二重積分的性質(zhì),根據(jù)二重積分的

6、幾何意義,確定積分值,練習(xí),20,以1為高的,性質(zhì)2,將區(qū)域D分為兩個子域,性質(zhì)3,若 為D的面積,D1,D2,既可看成是以D為底,柱體體積.,對積分區(qū)域的可加性質(zhì).,D,又可看成是D的面積.,21,問,在有界閉區(qū)域D1上可積,且,則必有,22,特殊地,性質(zhì)4(比較性質(zhì)),設(shè),則,例,的值= ( ).,(A) 為正,(B) 為負,(C) 等于0,(D) 不能確定,為負,B,23,選擇題,比較,(D) 無法比較.,C,性質(zhì)4(比較性質(zhì)),的大小,則( ),24,解,例,判斷,的正負號.,故,于是,又當(dāng),25,幾何意義,以m為高和以M為高的兩個,證,再用性質(zhì)1和性質(zhì)3,性質(zhì)5(估值性質(zhì)),則,為D

7、的面積,則曲頂柱體,的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間.,證畢.,26,解,估值性質(zhì),區(qū)域D的面積,在D上,例,不作計算,27,性質(zhì)6(二重積分中值定理),體積等于,顯然,幾何意義,證,D上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點,使得,則曲頂柱體,以D為底,為高的平頂柱體體積.,將性質(zhì)5中不等式各除以,有,28,的最大值M與最小值m之間的.,由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理.,兩端各乘以,點的值,證畢.,即是說,確定的數(shù)值,是介于函數(shù),在D上至少存在一點,使得函數(shù)在該,與這個確定的數(shù)值相等,即,29,(A),(B),(C),(D),提示:,B,是有界閉區(qū)域D:,上的,連續(xù)函數(shù),不存在.,利用積分

8、中值定理.,30,利用積分中值定理,解,即得:,由函數(shù)的連續(xù)性知,顯然,其中點,是圓域,內(nèi)的一點.,31,補充,在分析問題和算題時常用的,設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x, y)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù).,性質(zhì)7,則,D1為D在第 一象,限中的部分,對稱性質(zhì),坐標(biāo)y為奇函數(shù),則,設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于,32,設(shè)f(x, y)關(guān)于y為偶函數(shù),證,則,得,33,坐標(biāo)y為奇函數(shù),自證!,則,設(shè)區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于,34,這個性質(zhì)的幾何意義如圖:,35,如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù),如果函數(shù) f(x,y)關(guān)于坐標(biāo)x,則,為偶函數(shù),則,

9、類似地,設(shè)區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,且D1為D在,第一象限中的部分,36,設(shè)D為圓域(如圖),0,0,D1為上半圓域,D2為右半圓域,?,37,解,由性質(zhì)得,例,38,為頂點的三角形區(qū)域,(A),(B),(C),(D),0.,A,1991年研究生考題, 選擇,3分,D1是D在第一象限的部分,練習(xí),39,D1,D2,D3,D4,記 I=,則I= I1+ I2, 其中,I1=,I2=,而 I1 =,D1與D2關(guān)于y軸對稱 D3與D4關(guān)于x軸對稱,40,而 I2 =,是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).,所以,D1,D2,D3,D4,41,今后在計算重積分利用對稱性簡化計算時,注意,被積函數(shù)的奇偶性.,積分

10、區(qū)域的對稱性,要特別注意考慮兩方面:,42,思考,當(dāng)f為關(guān)于x且關(guān)于y的偶函數(shù)時：,當(dāng)f為關(guān)于x或關(guān)于y的奇函數(shù)時：,0,？,4,？,設(shè)區(qū)域 關(guān)于x軸、y軸均對稱, 函數(shù) f(x, y)在D上可積，則,43,?,若D為,?,此式的幾何意義是:中心在原點的上半球的體積等于它在第一卦限內(nèi)的體積的4倍.,?,?,0,D1為 x0, y 0, 則,44,二重積分的定義,二重積分的性質(zhì),二重積分的幾何意義,(曲頂柱體的體積),(四步:分割、取近似、求和、取極限),四、小結(jié),(注意對稱性質(zhì)的用法),45,思考題1,將二重積分定義與定積分定義進行比較,找出它們的相同之處與不同之處.,被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上,思考題解答,相同點,定積分與二重積分都表示某個和式的,極限值,且此值只與被積