高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3.2 古典概型教學(xué)案 蘇教版必修

1、3.2 古典概型甲、乙兩人玩擲骰子游戲，他們約定：兩顆骰子擲出去，如果朝上的兩個數(shù)的和是5，那么甲獲勝，如果朝上的兩個數(shù)的和是7，那么乙獲勝問題1：若甲獲勝，那么兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有幾種？提示：會出現(xiàn)(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四種可能問題2：若乙獲勝，兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)又如何？提示：會出現(xiàn)(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六種可能問題3：這樣的游戲公平嗎？提示：由問題1、2知甲獲勝的機(jī)會比乙獲勝的機(jī)會少，不公平問題4：能否求出甲、乙兩人獲勝的概率？提示：可以1基本事件與等可能事件(1)基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果(2)等

2、可能事件：若在一次試驗(yàn)中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件2古典概型(1)古典概型的特點(diǎn)：有限性：所有的基本事件只有有限個；等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的(2)古典概型的定義：將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型(3)古典概型概率的計(jì)算公式：如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)即P(A).1一個試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個特征，即有限性和等可能性，并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，例如在適宜的條件下“種下一

3、粒種子觀察它是否發(fā)芽”，這個試驗(yàn)的基本事件有兩個：“發(fā)芽”、“不發(fā)芽”，而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會一般是不均等的，故此試驗(yàn)不符合古典概型的等可能性2古典概型的概率公式P(A)與事件A發(fā)生的頻率有本質(zhì)的區(qū)別，其中P(A)是一個定值，且對同一試驗(yàn)的同一事件m、n均為定值，而頻率中的m、n均隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加頻率總接近于P(A)例1將一顆骰子先后拋擲兩次，求：(1)一共有幾個基本事件？(2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含幾個基本事件？思路點(diǎn)撥求基本事件的個數(shù)可用列舉法、列表法、樹形圖法精解詳析法一：(列舉法)：(1)用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆骰子出現(xiàn)

4、的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則試驗(yàn)的所有結(jié)果為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共36個基本事件(2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)

5、，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)法二：(列表法)：如圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和，基本事件與所描點(diǎn)一一對應(yīng)(1)由圖知，基本事件總數(shù)為36.(2)總數(shù)之和大于8包含10個基本事件(已用虛線圈出)法三：(樹形圖法)：一顆骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹形圖直接表示如圖所示：(1)由圖知，共36個基本事件(2)點(diǎn)數(shù)之和大于8包含10個基本事件(已用對勾標(biāo)出)一點(diǎn)通基本事件個數(shù)的計(jì)算方法有：(1)列舉法：列舉法也稱枚舉法對于一些情境比較簡單，基本事件個數(shù)不是很多的概率問題，計(jì)算時只需一一列舉，即可得出隨機(jī)事件所含的基本事件注意列舉時

6、必須按一定順序，做到不重不漏(2)列表法：對于試驗(yàn)結(jié)果不是太多的情況，可以采用列表法通常把對問題的思考分析歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對”，以便更直接地找出基本事件個數(shù)列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏，其中最常用的方法是坐標(biāo)系法(3)樹形圖法：樹形圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的求解1本例中條件變?yōu)椤耙幻队矌胚B續(xù)擲三次”，會有多少種不同結(jié)果？解：畫樹形圖共8種2一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有號碼的3個黑球，從中摸出2個球(1)共有多少種不同的結(jié)果(基本事件)?(2)摸出2個黑球有多少種不同結(jié)果？解：(1)共有6種不同結(jié)果，分別為黑1，黑2，黑1，黑3，黑2，黑3，白，

7、黑1，白，黑2，白，黑3(2)從上面所有結(jié)果中可看出摸出2個黑球的結(jié)果有3種.例2(12分)同時投擲兩個骰子，計(jì)算下列事件的概率：(1)事件A：兩個骰子點(diǎn)數(shù)相同；(2)事件B：兩個骰子點(diǎn)數(shù)之和為8；(3)事件C：兩個骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)思路點(diǎn)撥先判斷這個試驗(yàn)是否為古典概型，然后用列舉法求出所有基本事件總數(shù)及所求事件包含的基本事件的個數(shù)，最后用公式P(A)求結(jié)果精解詳析(1)將兩個骰子標(biāo)上記號A，B，將A，B骰子的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，則共有36種等可能的結(jié)果如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，

8、6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)(3分)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6種P(A).(6分)(2)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為8的結(jié)果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5種，P(B).(9分)(3)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)包括“x是奇數(shù)、y是偶數(shù)”和“x是偶數(shù)、y是奇數(shù)”，共有18種，P

9、(C).(12分)一點(diǎn)通求古典概型概率的步驟：(1)用列舉法求出基本事件總個數(shù)n.(2)用列舉法求出事件A包含的基本事件的個數(shù)m.(3)利用公式P(A)求出事件A的概率3先后從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的4個大小、形狀完全相同的球中，有放回地隨機(jī)抽取2個球，則抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的概率為_解析：基本事件共有4416(個)，其中抽到的2個球的標(biāo)號之和不大于5的情況有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10種，所以所求概率為.答案：4將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，問：(1)兩數(shù)之積是奇數(shù)的概

10、率是多少？(2)兩數(shù)之積是3的倍數(shù)的概率是多少？解：每次拋出的點(diǎn)數(shù)都可能有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果，兩次點(diǎn)數(shù)之積的不同結(jié)果如下表所示共有36種.1234561123456224681012336912151844812162024551015202530661218243036(1)設(shè)事件A表示“兩數(shù)之積是奇數(shù)”，則事件A包含的不同結(jié)果的個數(shù)為9，所以P(A).(2)設(shè)事件B表示“兩數(shù)之積是3的倍數(shù)”，則事件B包含的不同結(jié)果的個數(shù)為20，所以P(B).1解決古典概型問題的關(guān)鍵是：分清基本事件總數(shù)n與事件A所包含基本事件的個數(shù)m，注意問題：(1)試驗(yàn)基本結(jié)果是否有等可能性(2)本試驗(yàn)的基

11、本事件有多少個(3)事件A包含哪些基本事件只有弄清這三個方面的問題解題才不致于出錯2求基本事件的個數(shù)有列舉法、列表法和樹形圖法，一是注意按一定順序，防止重復(fù)和遺漏；二是可先數(shù)一部分，找出規(guī)律，推測全部課下能力提升(十六)一、填空題1從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為_解析：本題中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三個，其中甲被選中包含兩個基本事件，故甲被選中的概率為.答案：2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都在集合A0，1，2內(nèi)取值的點(diǎn)中任取一個，此點(diǎn)正好在直線yx上的概率為_解析：由x，y0，1，2，這樣的點(diǎn)共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(

12、1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9個，其中滿足在直線yx上的點(diǎn)(x，y)有(0，0)，(1，1)，(2，2)3個，所以所求概率為P.答案：3從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從1，2，3中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則ba的概率是_解析：隨機(jī)選取的a，b組成實(shí)數(shù)對(a，b)，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15種其中ba的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3種，所以ba的概率為.答案：4從長度分別為2，3，4，5的

13、四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是_解析：從四條線段中任取三條有4種取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)其中能構(gòu)成三角形的取法有3種：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率為.答案：5盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_解析：從3只白球、1只黑球中隨機(jī)摸出兩只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中顏色不同的有三種，故所求概率為P.答案：二、解答題6從3臺甲型電腦和2臺乙型電腦中任取兩臺，求兩種

14、品牌都齊全的概率解：3臺甲型電腦為1，2，3，2臺乙型電腦為A，B，則所有基本事件為：(1，2)，(1，3)，(1，A)，(1，B)，(2，3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，共10個. 記事件C為“一臺為甲型，另一臺為乙型”，則符合條件的事件為6個，所以P(C).7設(shè)集合Pb，1，Qc，1，2，PQ，若b，c2，3，4，5，6，7，8，9(1)求bc的概率；(2)求方程x2bxc0有實(shí)根的概率解：(1)因?yàn)镻Q，當(dāng)b2時，c3，4，5，6，7，8，9；當(dāng)b2時，bc3，4，5，6，7，8，9，基本事件總數(shù)為14.其中bc的事件數(shù)為7種，所以bc的概率為：.(2)記“方程有實(shí)根”為事件A，若使方程有實(shí)根，則b24c0，即bc4，5，6，7，8，9共6種. 所以P(A).8對某項(xiàng)工程進(jìn)行競標(biāo)，現(xiàn)共有6家企業(yè)參與競標(biāo)，其中A企業(yè)來自遼寧省，B，C兩家企業(yè)來自江蘇省，D，E，F(xiàn)三家企業(yè)來自山東省，此項(xiàng)工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工，假設(shè)每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同(1)列舉所有企業(yè)的中標(biāo)情況；(2)在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自江蘇省的