連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度PPT參考課件.ppt

1、第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) 概率密度函數(shù)的性質(zhì) 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱 f (x) 為 X 的概率密度函數(shù), 簡(jiǎn)稱為概率密度 .,一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù),有,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù),(Continuous Random Variable),(Probability Density Function),二、概率密度函數(shù)的性質(zhì),1 o,2 o,對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 , x2, (x1 x2 ),利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率,若 f (x) 在點(diǎn) x 處連續(xù) , 則有,故X的密度 f(x)

2、 在 x 這一點(diǎn)的值, 恰好是X 落在 區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x) 相當(dāng)于線密度.,* 若 x 是 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)，則,對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解:,* 若不計(jì)高階無(wú)窮小，有,表示隨機(jī)變量 X 取值于 的概率近似等于 .,在連續(xù)型 r .v 理論中所起的作用與,在離散型 r .v 理論中所起的作用相類(lèi)似.,* 注意: 密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處a的高度, 并不反映X取值的概率. 但是, 這個(gè)高度越大, 則X取a附近的值的概率就越大. 在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.,a,(1) 連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率

3、均為0. 即,注意:,這是因?yàn)?當(dāng) 時(shí),得到,由P(B)=1, 不能推出 B=S,由P(A)=0, 不能推出,(2) 對(duì)連續(xù)型 r.v X , 有,1. 均勻分布(The Uniform Distribution),則稱X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X U(a, b),三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,若 r .v X的概率密度為：,記作,*均勻分布常見(jiàn)于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入， 小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差； 公交線路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間， 即乘客的候車(chē)時(shí)間等。,例2 某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)， 即 7:00，7:15，7:3

4、0, 7:45 等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站, 如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是7:00 到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率.,解,依題意， X U ( 0, 30 ),以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位,為使候車(chē)時(shí)間X少于 5 分鐘, 乘客必須在 7:10 到 7:15 之間, 或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車(chē)站.,所求概率為：,即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.,*指數(shù)分布常用于各種“壽命”分布的近似， 例如，電子元件的壽命，輪胎的壽命，電話的通話時(shí)間等。,2 . 指數(shù)分布(The (Negative) Exponential Distribution),若

5、 r .v X具有概率密度,為常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,若X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 則其分布函數(shù)為,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),3. 正態(tài)分布(The Normal(Gaussian) Distribution),若連續(xù)型 r .v X 的概率密度為,X N(, 2),正態(tài)分布是概率論中非常重要的分布， 可以用正態(tài)分布來(lái)描述的實(shí)例非常多， 例如，各種測(cè)量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度； 熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)等。,正態(tài)分布的重要性可以由以下情形加以說(shuō)明： 1) 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一， 大量的隨機(jī)

6、現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。 可以證明，如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響， 但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用， 則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。 2) 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)， 這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的。 3) 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。,則有,曲線 關(guān)于 軸對(duì)稱；,函數(shù) 在 上單調(diào)增加,在 上,單調(diào)減少,在 取得最大值；,x = 為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；,當(dāng)x 時(shí)，f(x) 0.,f (x) 以 x 軸為漸近線,決定了圖形的中心位置, 決定了圖形中峰的陡峭程度.,正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn),若固定的值而變化時(shí), 則密度曲線的形狀不變,它沿著x軸方向

7、平行移動(dòng),若固定的值而變化時(shí)， 則密度曲線的位置不變，而其形狀將改變， 當(dāng)大時(shí)曲線平緩，當(dāng)小時(shí)曲線陡峭,正態(tài)分布 的分布函數(shù),的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(Standard Normal Distribution),的性質(zhì) :,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于, 任何一個(gè)的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,定理1,證:,Z 的分布函數(shù)為:,則有:,根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.,于是:,書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.,正態(tài)分布表,當(dāng) x

8、 0 時(shí) ,表中給的是 x 0 時(shí), (x)的值.,若,若 XN(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，,這說(shuō)明,X的取值幾乎全部集中在-3,3區(qū)間內(nèi), 超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.,當(dāng)XN(0,1)時(shí)，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 準(zhǔn)則,將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 準(zhǔn)則” .,N(0,1),X N(, 2) 時(shí)，,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn),設(shè),若數(shù) 滿足條件,看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:,公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高XN(170,62),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定?,例:,解,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我們來(lái)求滿足上式的最小的h .,設(shè)