高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線 2.4 平擺線和漸開線學(xué)案 北師大版選修

1、4平擺線和漸開線4.1平擺線 4.2漸開線1.了解平擺線和漸開線的生成過(guò)程.2.能推導(dǎo)平擺線和漸開線的參數(shù)方程.(難點(diǎn))3.掌握平擺線和漸開線參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.(重點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1平擺線及其參數(shù)方程1.一個(gè)圓在平面上沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡叫作平擺線，簡(jiǎn)稱擺線，又叫作旋輪線.2.設(shè)圓的半徑為r，圓滾動(dòng)的角為，那么擺線的參數(shù)方程是().判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)圓的擺線實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓圈上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡.()(2)求圓的擺線時(shí)，建立的坐標(biāo)系不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程.()【答案】(1)(2)教材整理2漸開線的參數(shù)方程

2、1.把線繞在圓周上，假設(shè)線的粗細(xì)可以忽略，拉著線頭離開圓周，保持線與圓相切，線頭的軌跡就叫作圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫作漸開線的基圓.2.設(shè)基圓的半徑為r，圓的漸開線的參數(shù)方程是(是參數(shù)).關(guān)于漸開線和擺線的敘述正確的是_(填序號(hào)).只有圓才有漸開線；平擺線和漸開線的概念是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形；正方形也可以有漸開線；對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同.【解析】對(duì)于，不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線，故不正確；對(duì)于，兩者定義上雖有相似之處，但它們的實(shí)質(zhì)是完全不同的，因此不正確；對(duì)于，正確；對(duì)于，同一個(gè)圓不論在什么

3、地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形大小和形狀都是一樣的，只有方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 圓的平擺線參數(shù)方程及其應(yīng)用已知一個(gè)圓的平擺線過(guò)一定點(diǎn)(1,0)，請(qǐng)寫出該平擺線的參數(shù)方程.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】令r(1cos )0，可得cos 1.2k(kZ)，xr(2ksin 2k)1，r.又由題意可知，r是圓的半徑，故r0.應(yīng)有k0且kZ，即kN.所求平擺線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，kN).根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(為參數(shù))，可知只需求出其中的半徑r.圓擺線的參數(shù)方

4、程即可寫出，也就是說(shuō)圓的擺線的參數(shù)方程是由圓的半徑唯一確定的.再練一題1.平擺線(02)與直線y2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是()A.(2,2)，(32,2)B.(3,2)，(33,2)C.(，2)，(，2)D.(22,2)，(22,2)【解析】y2時(shí)，22(1cos )，cos 0.02，或，x122，x2232.交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，(32,2).故選A.【答案】A圓的漸開線參數(shù)方程及其應(yīng)用已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點(diǎn)間的距離.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)漸開線的參數(shù)方程，分別求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由A，B兩點(diǎn)間的距離公式求出.【自主解答】由題

5、意，知r1，則圓的漸開線參數(shù)方程為(為參數(shù)).當(dāng)時(shí)，所以A.當(dāng)時(shí)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為.所以|AB|2.利用圓的漸開線的參數(shù)方程求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是記住其參數(shù)方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.再練一題2.給出圓的漸開線的參數(shù)方程(為參數(shù)).根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開線的基圓半徑是_，當(dāng)參數(shù)取時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】所給的圓的漸開線的參數(shù)方程可化為所以基圓半徑r4.然后把代入方程，可得即所以當(dāng)參數(shù)取時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，4).【答案】4(2，4)構(gòu)建體系1.給出下列說(shuō)法：圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；圓的漸開線的參數(shù)方程可以轉(zhuǎn)化為普通

6、方程，但是轉(zhuǎn)化出的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問(wèn)題.在求圓的擺線和漸開線方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn).其中正確的說(shuō)法有()A.B.C.D.【解析】結(jié)合圓的漸開線的知識(shí)可知正確.【答案】C2.當(dāng)2時(shí)，圓的漸開線上的點(diǎn)是()A.(6,0)B.(6,6)C.(6，12)D.(，12)【解析】當(dāng)2時(shí)，代入圓的漸開線方程.x6(cos 22sin 2)6，y6(sin 22cos 2)12.【答案】C3.半徑為3的圓的平擺線上某點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是()A.B.2C.12D.14【解析】根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).把y0代入可得cos 1，所以2k(kZ).而x33sin 6k(kZ).故應(yīng)選C.【答案】C4.已知圓的漸開線的參數(shù)方程(為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)基圓的半徑是_.【解析】圓的漸開線的參數(shù)方程可化為(為參數(shù))，圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑r3.【答案】35.已知一個(gè)圓的平擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0)，請(qǐng)寫出該圓的半徑最大時(shí)該平擺線的參數(shù)方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解】令y0，可得r(1cos )0.r0，cos 1，2k(kZ).代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)