浙師大高數(shù)C卷試題2015年1月

1、.浙江師范大學(xué)高等數(shù)學(xué)C（一）試卷（ C 卷）考試類別：閉卷使用學(xué)生：高數(shù)C 2014 級考試時間：120 分鐘出卷時間： 2014年 12 月 20 日說明：考生應(yīng)將全部答案都寫在答題紙上，否則作無效處理一、選擇題 （每小題 2 分，共 12 分） CDAC BA1設(shè)函數(shù) f ( x)sin x ， f ( ( x) 1 x2，則( x) 的定義域?yàn)?)A 1,1B 2, 2C 2, 2D 2, 2設(shè)4x23，若，則（a， b）=()f ( x)axlimf ( x)2b0x 1xA (4， 4)B ( 4，4)C (4，4)D ( 4， 4)3.當(dāng) x0 時，與 (sin 2x) 2 等價

2、的無窮小量是 ()A 4xB 2x2C 2xD 4 x24設(shè) f (x) 二階可導(dǎo)，且 f(a)0, f( a)0 ，則 xa 是 f ( x) 的 ()A 最大值點(diǎn)B最小值點(diǎn)C極大值點(diǎn)D極小值點(diǎn)5.函數(shù) f ( x)exe x 在區(qū)間 (1,1)內(nèi) ()A 單調(diào)增加B 有增有減C不增不減D單調(diào)減少6.bcos( x)sin3 xd x （）bA 0B 1 sin4 bC 1 sin4 bD.1 sin4 b242二、填空題 （每小題 3 分，共 18 分） 0 1 yexy xy1 d x 16 (, 2) 1 sin 2 x C2e1xe32ln(1 2x)sin41 lim3x 0 5x

3、7x2設(shè)函數(shù)曲線 yax2 與 y ln x 相切 ，則 a3設(shè)方程 exyxy 確定函數(shù) yf (x) ，則微分 dy4設(shè) ylnx1)14x2，則 y (455函數(shù) f ( x)(x2) 3 的凸區(qū)間為;.6. 設(shè) sin x 為 f ( x) 的一個原函數(shù)，則f ( x)sin x d x =三、計(jì)算題( 每小題 8 分，共 48 分 )11求極限 lim(1x) x x1ln(1x)ln(1x)lim1【解】 lim(1x) xlim elime01 .xexxex1xxx2設(shè) y(sinx) f (cos x) ， 其中 f (u)為可導(dǎo)函數(shù) ， 求 y ( x)【解】 ln yf

4、(cos x)lnsinx ，兩邊對 x 求導(dǎo)，得ysin xf(cos x)ln sin xcot xf (cos x)y因此y ( x)(sin x) f (cos x )sin xf (cos x) ln sin xcot xf (cos x)xf ( t),其中 f (t) 可導(dǎo)且 f(0)0 ， 求 dyt 0 3.設(shè)f (e3ty1),dxdydy3e3tf (e3t1)【解】dt3 。dx t 0dxf (t)t 0dtt 04. 利用變換 td2 y2(1x )dy6 y3x(x0) 化成以t為自變量的方程。x 將 4xdxedx 2【解】d 2 ydx2dydydt1dy1

5、dydxdtdx2 xdt2tdt1 (1 dt dy 1 d 2 y dt )1 (1 dy1 d 2 y )2t2dx dttdt 2dx22t 3 dt2t 2 dt 2代入原方程211 dy1 d 2 y1 dy3t4t2(2t 3dt2t 2dt 2)2(1 t )2t dt6y e化簡得d 2 ydy6ye3tdt 2dt5 求ln1d x1d x .3x2ln x【解】dxxxd(1xdxln xln x)(ln x)2ln xln xxxdxln xln 2x23 xln因此，原式x112( ln xln 2 x ) c;.求4x6.d x0 1 x x【解】 令 x t 2

6、，則22t 222 d (1 t 3 )2ln( 1 t324原式3dt01 t 33) 0ln 30 1 t33四、應(yīng)用題 (每小題 8 分，共16 分 )1. 設(shè)曲線 yx3ax2bxc 有拐點(diǎn) (1,1) ，且在 x0處有最大值1，試求 a, b, c 【解】 y 3x22axb ， y 6x2a。因?yàn)?(1,1) 是函數(shù)的拐點(diǎn)，故 y x 162a0 且11abc ，故 a 3且 bc1 。而函數(shù)在 x 0處有最大值，故y x00，故b0 。從而，c1 。2. 已知拋物線 x y2 上有兩點(diǎn) A(4, 2) 和 B(1, 1) ， 在弧段 AB 上求一點(diǎn) P( x, y) ，使得三角形 ABP 的面積最大【解】設(shè)拋物線上與直線AB 平行的切線的切點(diǎn)為P ( x , y ) 。由于三角111形的底邊 AB 不變，所以當(dāng)點(diǎn)PP1 時，三角形ABP 的面積最大。而 直線AB 的斜率為 kAB411 ，故 2 y1112(1)1 ，即 y1，從而 x1。2411因此，所求點(diǎn)為 P( ,) 。42五、（ 6 分） 證明等式 2arctan xarcsin2x( x1) 1 x2【證】設(shè) f ( x)2arctan xarcsin2x，則1 x2f (1) 2arctan1arcsin1，且f (x)212(1x2 ) 2 x 2 x1 x21 (