概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1 4條件概率

1、1.4 條件概率例一批同型號(hào)產(chǎn)品由甲乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品結(jié)構(gòu) 合計(jì) 次 品 合格品 合計(jì) 乙廠 甲廠數(shù)量 廠別等級(jí)如下:從這批產(chǎn)品中任取一件, 取到次品的概率為若已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的,該產(chǎn)品為次品的概率為記A為“取出的產(chǎn)品,是甲廠生產(chǎn)的” B為“取出的產(chǎn)品為次品”數(shù)量 廠別等級(jí) 甲廠 乙廠 合計(jì)合格品 次 品合 計(jì)在 已經(jīng)發(fā)生的條件下, 發(fā)生的概率, 記為一般情況下, 記A為“取出的產(chǎn)品,是甲廠生產(chǎn)的”B為“取出的產(chǎn)品為次品”數(shù)量 廠別等級(jí) 甲廠 乙廠 合計(jì)合格品 次 品合 計(jì)對(duì)于幾何概型，在平面有界區(qū)域內(nèi)，等可能地投入點(diǎn),A對(duì)于頻率:設(shè)在n次試驗(yàn)中,A發(fā)生了m次,AB發(fā)生了k次, 也是在A

2、發(fā)生的條件下B發(fā)生的次數(shù).于是,在 A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的頻率為:當(dāng)n時(shí),頻率就會(huì)接近于概率,故可得n次m次s次k次二、條件概率的定義定義1.3 給定概率空間是其上的兩個(gè),且則稱為在A發(fā)生的條件下,B對(duì)域 中的任一B發(fā)生的條件概率.都對(duì)應(yīng)條件概率成為上的函數(shù),稱為在 A發(fā)生的條件下的條件概率測(cè)度.條件概率滿足概率公理化定義的三個(gè)條件。(2) 對(duì)任一(3B, 有兩兩不相容,則) 可列個(gè)(1)因此互斥當(dāng)n個(gè)時(shí)，證1)證3) 時(shí),例 全年級(jí)100名學(xué)生中, 有男生(以A表示)人,有女生人來(lái)自北京的(以 B表示)有 人 ;其中男生;12人,女生8人;免修英語(yǔ)的(以C表示) 解試寫出人中有32名男生,

3、 8名女生;例 全年級(jí)100名學(xué)生中, 有男生(以A表示)人,有女生人來(lái)自北京的(以 B表示)有 人 ;其中男生;12人,女生8人;免修英語(yǔ)的(以C表示) 試寫出解 人中有32名男生, 8名女生;例某牌號(hào)電視機(jī)的使用時(shí)間超過(guò)3萬(wàn)小時(shí)的概率為0.6使用時(shí)間超過(guò)5萬(wàn)小時(shí)的概率為 一臺(tái)電視機(jī)已經(jīng)使用了3萬(wàn)小時(shí),求這臺(tái)電視機(jī)使用時(shí)間超過(guò)5萬(wàn)小時(shí)的概率.解設(shè)“使用時(shí)間超過(guò)3萬(wàn)小時(shí)”“使用時(shí)間超過(guò)5萬(wàn)小時(shí) ”要求例 在100個(gè)圓柱形零件中,有95件長(zhǎng)度合格,有93件直徑合格,有90件兩個(gè)指標(biāo)都合格,求概率.(1) 在長(zhǎng)度合格的情況下,直徑合格的概率. (2) 在直徑合格的情況下,長(zhǎng)度合格的解 設(shè)A表示 “

4、任取一件,長(zhǎng)度合格”B表示 “任取一件,直徑合格”“ 任 取 一 件 ,兩 個(gè) 指 標(biāo) 都 合 格 (1)在長(zhǎng)度合格的情”況下,直徑合格的概率:(2) 在直徑合格的情況下,長(zhǎng)度合格的概率:三、乘法公式,當(dāng) 時(shí) ,當(dāng) 時(shí)如 果 , 則 有如 果 , 則 有乘法公式: 對(duì)于兩個(gè)推廣: 對(duì)于三個(gè)如果則有證一般地,對(duì)于k個(gè) 如果則有 例 簽筒中放有4支簽,其中只有一支“好”簽4個(gè), 人依次隨機(jī)地取走一簽,(不放回 ),求每個(gè)人抽示 “” 到“好”簽的概率.解設(shè) 表第 個(gè)人抽到好簽 例 簽筒中放有4支簽, 其中只有一支“好”簽,4個(gè)人依次隨機(jī)地取走一簽,(不放回 ),求每個(gè)人抽到“好”簽的概率.解 設(shè)

5、表 示 “第 個(gè)人抽到好簽” 例 一個(gè)袋子中裝有m+n個(gè)球, 其中m個(gè)黑球,n個(gè)白球,隨意地每次抽一球,(不放回)求第 次才取到 次才取到黑球第黑球的概率. 解 設(shè) 表示 “第 次取到黑球” 黑白BA四、 全概率公式例若 則例 甲乙兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件,甲機(jī)床的廢品率為乙機(jī)床的廢品率為加工的零件放在一起,已知甲機(jī)床加工的零件數(shù)比乙機(jī)床多一倍,求: 任取一個(gè)零件是合格品( 記為B )的概率.解 設(shè)A表示.”則 表 示“取出的零件是甲機(jī)床加工的BA.“”取出的零件是乙機(jī)床加工的若三個(gè) 有構(gòu)成一完備組,B則對(duì)任一B, 例 為解一支股票未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化,常分析影響股票價(jià)格的基本因素,如利率.

6、假定利率下調(diào)的概率為利率不變的概率為利率上調(diào)的概率為據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),在利率下調(diào)的情況下,該股票價(jià)格上漲的概率為下,價(jià)格上漲的概率為在利率不變的情況在利率上調(diào)的情況下,價(jià)格上漲的概率為0.求該股票價(jià)格上漲( B )的概率.則構(gòu)成一完備組B解 設(shè)分別表示利率下調(diào)、不變、上調(diào).定理1.1( 全概率公式 )如果一完備組,而且一個(gè)B ,有 構(gòu)成則對(duì)任何時(shí)證由于時(shí)B例 某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車、輪船、汽車4種交通工具,其概率分別為 乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為求此人能如期到達(dá)的概率解 設(shè)汽車.分別表示乘飛機(jī)、火車、輪船、為完備組.B表示“如期到達(dá) ”例 某人外出可以乘坐飛機(jī) 、火車 、輪船 汽車 4種交通工具,其概率分別為乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率 依次為此 人 能 如 期到達(dá)(記為B)的 概 率 . 即要求已知該旅行者誤期到達(dá), 求他是乘火車的概率.已知此人已誤期,則誤期是由乘火車引起的概率為定理1.2(貝葉斯公式) 設(shè)B完備組,且 一個(gè)B,若 則有構(gòu)成一則對(duì)于任何證例 甲乙兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件,甲機(jī)床的廢品率為乙機(jī)床的廢品率為 加工出的零件放在一起,已知甲機(jī)床加工的零件數(shù)比乙機(jī)床多一倍,任取一個(gè)零件,發(fā)現(xiàn)是廢品( 記為C )這件廢品最可能是哪臺(tái)車床加工的?解設(shè)A表示“取出的零件是甲機(jī)床加工的.”這件廢品最可能是甲機(jī)床加工的.例 某 地甲種疾病的發(fā)病率為用一種檢