1 2隨機事件的概率

1、1.2的概率隨機的概率一定義1.1隨機A發(fā)生的可能性大小的度量A發(fā)生的概率.記作 P( A)（數(shù)值）稱為probability定義概率：統(tǒng)計定義、公理化定義、古典定義、幾何定義.頻率:定義在 n次重復(fù)試驗中,若A發(fā)生了k 次,k則稱 k為 在這n次試驗中A發(fā)生的頻數(shù),稱nk為在這n次試驗中，A發(fā)生的頻率, 例如，擲骰子設(shè)A = 1, 2 為“點數(shù)小于3”.記為fn ( A) = n如果總共擲了100次,其中 “1點”出了15“2點”出了19次則，在10次0次, 重復(fù)試驗中,A發(fā)生了34 次,34 為在這100次重復(fù)試驗中A發(fā)生的頻數(shù).34= 0.34 為在100次重復(fù)試驗中,A發(fā)生的頻率.10

2、0在 n次重復(fù)試驗中,A發(fā)生的頻數(shù),定義則稱 k為若A發(fā)生了k 次,k 稱為A發(fā)生的nk頻率, 記為fn ( A) = n頻率具有以下性質(zhì):非負性對任何A,有0 fn ( A) 1有限可加性 任意m個互不相容的1 , A2 ,., Amfn ()滿足mm=fn ( Ai )i=1Aii =1正則性 fn (W ) = 1證1 設(shè)在n次試驗中,A出現(xiàn)了k次,則0 k n,f( A) = k 1從而0 nn 在每次試驗中都發(fā)生, 故在n次證2必然試驗中發(fā)生了n次，從而 fn (W ) = n= 1nA1出現(xiàn)了 k次1由于這m個設(shè)在n次試驗中,Am出現(xiàn)了 km次.證3k2 次,A2出現(xiàn)了互不相Am

3、發(fā)生了它們不可能同時發(fā)生,故A1A2.k1 + k2 + . + km次, 從而()+k+ . + kmk= k1 + k2+ . + km =mm=fA12f( A )i=1nininnnni =1試驗序號n=10n=100n=600kfn(A)kfn(A)kfn(A)12345243790.20.40.30.70.964474640590.640.470.460.400.593152962943123000.5250.4930.4900.5200.500試驗者試驗次數(shù)頻數(shù)頻率頻率- 0.5迪摩根蒲豐費 勒皮爾孫皮爾孫2048404010000120002400030000106120484

4、979601912012149940.51810.50690.49790.50160.50050.49980.01810.00690.00210.00160.00050.0002在充分多次試驗中,發(fā)生的頻率總在一個定值附近擺動,試驗次數(shù)越多, 擺動的幅度一般越小, 這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.頻率的穩(wěn)定性是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的典型表現(xiàn),是概率這一概念的經(jīng)驗基礎(chǔ).我們稱這個頻率的穩(wěn)定值概率,記為P(A)為隨機A發(fā)生的這個定義稱為概率的統(tǒng)計定義.例如，拋一枚硬幣，正面出現(xiàn)的概率為 0.5三、概率的公理化定義定義1.2 設(shè)試驗的樣本空間為,對于每一個A,都有一個實數(shù) P( A)與之對應(yīng):A P( A)

5、如果這種對應(yīng)關(guān)系滿足下面三條公理:公理1P(W ) = 1公理2 對任何A, 都有 P( A) 0公理3對任意可數(shù)個兩兩不相容的,()n=1A , A ,., A,., 有 P=P( A)A12nnnn=1則稱P( A) 為A的概率. P() 稱為上的一個概率測度. 具有測度P() 的樣本空間 稱為一個概率空間, 記作 (W, P )說明:對應(yīng)關(guān)系 A P( A) 是從域 F到數(shù)集 0, 1 的映射。P(W ) = 1,公理1說明, 必然P( A) 0, 公理2說明, 任一的概率為1;的概率都不是負數(shù);P (An )=P( A), 公理3說明,可列個若兩兩nn=1n=1不相容, 則它們至少一個

6、發(fā)生的概率正好等于它們各自概率的和.四、 概率測度的其它性質(zhì)1. P (F) = 0證由于F = FFFFF.所以P(F ) =P(F)= P(F ) + P(F ) + .+ P(F ) + . P(F ) + .+ P(F ) + . = 0又 P(F ) 0 P(F ) = 0,2. 任意有限個 互不相容的的概率,等于它們的概率之和.之和A1 , A2 ,., An()nn=P( A )P特別地,Aiii=1i =1若A與B互不相P ( A + B) = P ( A) + P ( B )則證 Pn= AFFFAA.Ai12ni=1(Ai ) = P( A1nFA2.An.)i =1= P

7、( A1 ) + P( A2 ) + . + P( An ) + P(F ) + P(F ) + .= P( A1 ) + P( A2 ) + . + P( An )P(F ) = 0AB.AA3A1A2A5容4I3.如果A1 , A2 ,., An ,. 是一完備組,則 P ( A ) = 1iiA, A, 有特別地, 對于對立P ( A) + P ( A) = 1證 由于 A1 , A2 ,., An ,.是完備組, 故它們Ai兩兩不相容，且= Wi()= P ( Ai )證畢1 =P(W ) = PAiiiP ( A ) =1 - P ( A)AAA1A2A3An4.如果 B A, 則P

8、 ( B - A) =P ( B) - P ( A)證(B - A)B A B = A(B - A)= FA(B - A) = P ( A) +P(B - A)從而 P(B) = P A證畢 P(B - A) = P(B) - P( A)一般情況下,P ( B - A) = P (B - ABAB )B-AB B= P ( B ) - P ( AB )ABA4.如果 B A, 則0 P ( B - A) = P ( B) - P ( A) P ( A) P ( B)如果 A B, 則 P( A) P(B)推論對任何A W ,A P( A) P(W ) = 1 P( A) 0,1 BA對任意A與

9、B ，有5.P ( A + B ) =P ( A) + P ( B ) -P ( AB )（加法公式）證(B -AB)B =AAA(B - AB)= F P ( A + B ) =P A(B - AB) = P ( A) +P ( B - AB )= P ( A) +P ( B ) - P ( AB )BA5. 對任意A與B ，有P ( A + B ) =P ( A) + P ( B ) -P ( AB )有5對任意三個A, B,C ,P( A + B + C ) =P( A) + P(B) + P(C ) -P( AB) - P( AC ) - P(BC ) + P( ABC )A, B,C

10、 , D, 有5對任意四個P( A + B + C + D ) =P( A) + P(B) + P(C ) + P( D)- P( AB) -P( AC ) -P( AD) -P(BC ) -P(BD) -P(CD)+ P( ABC )+ P( ABD)+ P( ACD) + P(BCD) - P( ABCD)一般地，()n=P Aii =1nP( A A ) +P( A A A) -P( A ) -1i jkni=1ijkiji1i jn+(-1)n-1 P( A A .A)12n例P (A解設(shè)A,B為兩個, 且 P( A) = 0.6,P(B) = 0.5,B ) = 0.7, 求 P(

11、AB), P( AB), P( A B)B) = P( A) + P(B) -P( AB)= 0.6 + 0.5 - P( AB)0.7 =P( A P( AB) = 0.6 + 0.5 -0.7= 0.4P( AB) = P( A - B)= P( A - AB) = P( A) -P( AB)= 0.6 - 0.4 = 0.2P( AB) = 1 - P( AB) = 1 - 0.4= 0.6P( AB) = P( A + B) = 1 - P( A + B)= 1 - 0.7= 0.3例設(shè)A,B是兩個,已知A和B至少一個發(fā)生的概率為1 , A發(fā)生且B不發(fā)生的概率為 1 ,求B發(fā)生39的概率.已知 P( A + B)= 1 ,P( A - B) = 1 , 求P(B)解3913= P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB)1 = P( A - B) =P( A - AB)= P( A) - P( AB)9 1 = 1 + P(B)P(B) = 1 - 1 = 239399例某商店開展送貨服務(wù), 按期交貨(記為A)的概率為0.7,正確交貨(記為B ) 的概率為 0.8,既按期又正確交貨的概率為0.6, 求(1) 既不按期又不正確交貨的概率. P ( AB )P ( A + B )(2) 服務(wù)質(zhì)量不好的概率.解已知P( A)