高中數(shù)學(xué) 2-1-1《合情推理》同步課件 新人教A版選修1-2

1、課程目標(biāo) 1雙基目標(biāo) (1)了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用 (2)掌握演繹推理的基本模式，體會(huì)它們的重要性，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理 (3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 (4)了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程與特點(diǎn),(5)了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 2情感目標(biāo) (1)結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和日常生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系 (2)通過合理推理與演繹推理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是

2、數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從而形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)合情推理有助于培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行歸納時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，從而形成實(shí)事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣,(3)通過本章的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng) (4)通過本章的學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力 重點(diǎn)難點(diǎn) 本章重點(diǎn)是合情推理、演繹推理以及證明方法直接證明和間接證明合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的分析過程中常用到的思維方法，具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有助于學(xué)生理解力的提高演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要形式、培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯推理是高中數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)結(jié)論的重要性必須通過邏輯證明來保證證明包括直接證明

3、和間接證明,學(xué)法探究 學(xué)習(xí)本章時(shí)要注意基本數(shù)學(xué)思想，如歸納、類比、演繹推理以及綜合法、分析法、反證法的思想的理解和應(yīng)用 學(xué)習(xí)過程中應(yīng)結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于理解與掌握研究問題的思維方式，感悟到猜測一個(gè)問題有時(shí)比證明一個(gè)問題更重要，以逐步形成科學(xué)的探索精神，而不要刻意去追求對概念的抽象表述,21合情推理與演繹推理,1知識(shí)與技能 了解合情推理的含義 2過程與方法 能利用歸納推理和類比推理進(jìn)行簡單的推理 體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在教學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用,本節(jié)重點(diǎn)：合情推理的定義及歸納推理和類比推理的定義 本節(jié)難點(diǎn)：歸納

4、和類比推理的基本方法,1對歸納推理的理解 歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般結(jié)論的一種推理模式歸納推理的前提是特殊的情況，立足于觀察、試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，歸納推理的結(jié)論具有猜測的性質(zhì) 2歸納推理的一般步驟 (1)觀察：通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) (2)概括、歸納：從已知的相同性質(zhì)中概括、歸納出一個(gè)明確表述的一般性命題 (3)猜測一般性結(jié)論：在一般情況下，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么猜測出的一般性結(jié)論也就越可靠,3對類比推理的理解 類比推理是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同或相似之處之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式 類比推理的關(guān)鍵在于明確指出

5、兩類對象在某些方面的相似特征 4類比推理的一般步驟 (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性 (2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(或猜想),一般情況下，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠類比推理的結(jié)論既可能真，也可能假，它是一種由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)過程，具有十分重要的實(shí)用價(jià)值,1歸納推理 由某類事物的 具有某些特征，推出該類事物的 都具有這些特征的推理，或者由概括出的推理，稱為歸納推理(簡稱 )簡言之，歸納推理是由、由 的推理 2類比推理 由兩類對象具有和其中一類對象的，推出另一類對象也具有 的推理稱為類比推理

6、(簡稱 )簡言之，類比推理是由的推理,部分對象,全部對象,個(gè)別事實(shí),一般結(jié)論,部分到整體,個(gè)別到一般,某些類似特征,某些已知特征,這些特征,類比,特殊到特殊,歸納,3合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)，經(jīng)過，再進(jìn)行 ，然后提出 的推理我們把它們稱為合情推理通俗地說，合情推理是指“”的推理,已有的事實(shí),觀察、分析、比較、聯(lián)想,歸納、類比,猜想,合乎情理,例1下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)： (1)1,5,9,13,17，()；,解析要在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進(jìn)行仔細(xì)的觀察和揣摩 (1)考察相鄰兩數(shù)的差： 514,954， 1394,

7、17134 可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號(hào)里的數(shù)減去17等于4，所以應(yīng)填入括號(hào)里的數(shù)是17421.,(4)分成兩列數(shù)：奇數(shù)位的數(shù)為 32,16，(),4,2. 可見前面括號(hào)中應(yīng)填入8；偶數(shù)位的數(shù)為 31,26，(),16,11. 括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填入21.所以兩括號(hào)內(nèi)依次填入8,21. 點(diǎn)評(píng)從上面例子可以看到，觀察時(shí)不可把眼光停留在某一點(diǎn)上固定不變，而要注意根據(jù)問題特點(diǎn)不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出有一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律,若an12an1(n1,2,3，)且a11 (1)求a2，a3，a4，a5； (2)歸納猜想通項(xiàng)公式an. 解析(1)由已知a11，an12an1，得 a2322

8、1， a37231， a415241， a531251. (2)歸納猜想，得an2n1(nN*).,例2如圖，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時(shí)將圓分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分,那么： (1)在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ (2)猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 分析由題目可獲取以下主要信息： 在圓內(nèi)畫線段； 所畫線段彼此分割線段的條數(shù)和將圓分割的部分的個(gè)

9、數(shù)解答本題可先從幾個(gè)特殊的數(shù)值入手，再根據(jù)給出的數(shù)值特點(diǎn)進(jìn)行歸納猜想,點(diǎn)評(píng)在幾何中隨著點(diǎn)、線、面等元素的增加，探究相應(yīng)的線段、交點(diǎn)、區(qū)域部分等的增加情況常用歸納推理解決，分析時(shí)遞推關(guān)系的尋找是重點(diǎn),(1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們將平面圍成了多少個(gè)區(qū)域？,(2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？,解析各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為 (2)觀察： 3232；86122；6592； 107152 通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為VFE2.,請運(yùn)用類比思想，對

10、于空間中的四面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明 解析考慮到用“面積法”證明結(jié)論時(shí)，把O點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，把三角形分成三個(gè)三角形，利用面積相等來證明相應(yīng)結(jié)論在證明四面體中類似結(jié)論時(shí)，可考慮利用體積的方法相應(yīng)結(jié)論,點(diǎn)評(píng)在類比推理中，找出兩類事物之間的相似性或一致性，特別是由平面向空間類比中，注意研究空間和平面的根本區(qū)別,找出三角形與四面體的相似性質(zhì)，并用三角形的下列性質(zhì)類比四面體的有關(guān)性質(zhì)： (1)三角形任意兩邊之和大于第三邊； (2)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心； (3)三角形的中位線等于第三邊的一半，且平行于第三邊,解析三角形與四面體有下列

11、相似的性質(zhì)： 三角形是平面內(nèi)由直線段所圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由平面所圍成的最簡單的封閉圖形 三角形可以看作平面上一條線段外一點(diǎn)與這條線段上各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看作空間中一個(gè)三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形 根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以推測空間四面體的性質(zhì)如下：,點(diǎn)評(píng)雖然由類比所得到的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻是十分有用的,例4在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立 答案b1b2bnb1b2

12、b17n(n17，nN*) 解析本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是：等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述(若m、n、p、qN，且mnpq，則amanapaq)；,等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述(若m、n、p、qN，且mnpq，則amanapaq) 由此，猜想本題的答案為： b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*) 事實(shí)上，對等差數(shù)列an，如果ak0，則an1a2k1nan2a2k2nakak0.所以有：a1a2ana1a2an(an1an2a2k2na2k1n)(n2k1，nN)從而對等比數(shù)列bn，如果bk1，則有等式：b1b2bnb1b2b2k1n(n2k1，nN)成立,

13、點(diǎn)評(píng)本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運(yùn)用類比思想方法由等差數(shù)列an而得到等比數(shù)列bn的新的一般性的結(jié)論,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用類比方法試寫出等比數(shù)列的一些性質(zhì).,點(diǎn)評(píng)類比推理又稱類比法它是根據(jù)兩個(gè)或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理簡單地說，類比推理是由特殊到特殊的推理,例5請用類比推理完成下表,一、選擇題 1數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于() A28B32 C33D27 答案B 解析由以上各數(shù)可得每兩個(gè)數(shù)之間依次差3,6,9,12故x201232,2下列說法正確的是() A由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的 B合情推理必須有前提有結(jié)論 C合情推理不能猜想 D合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤 答案B 解析合情推理的結(jié)論不一定正確，是否正確需進(jìn)一步證明且合情推理有前提，故A、D錯(cuò)，合情推理能猜想，故C錯(cuò),3若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，是從2010到2012的箭頭方向依次為() 1458912 2367 1011 A B C D 答案D 解析根據(jù)箭頭方向找規(guī)律，每相鄰四個(gè)數(shù)字，箭頭方向相同，20104502余2，故同數(shù)字2處的方向，故選D.,4下列說法中正確的是() A合情推理就是正確的推理 B合情推理就是類比推理 C歸納推