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1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),自主學(xué)習(xí) 新知突破,1了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何的角度直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,并會(huì)靈活應(yīng)用 2掌握函數(shù)極值的判定及求法 3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件 4增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí),提高運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,已知yf(x)的圖象(如圖) 問(wèn)題1當(dāng)xa時(shí),函數(shù)值f(a)有何特點(diǎn)? 提示1在xa的附近,f(a)最小, f(a)并不一定是yf(x)的最小值,問(wèn)題2試分析在xa的附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 提示2在xa附近的左側(cè),曲線的切線斜率小于零,即f(x)0. 問(wèn)題3f(a)值是什么? 提示3f(a)0.,若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比

2、它在點(diǎn)xa附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小,f(a)_;而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)_,右側(cè)_,就把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值,極小值點(diǎn)與極小值,0,f(x)0,f(x)0,若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都大,f(b)_;而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)_ ,右側(cè)_,就把點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值,極大值點(diǎn)與極大值,0,f(x)0,f(x)0,1對(duì)函數(shù)極值概念的理解 (1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì),它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況 (2)由函數(shù)極值的定義知道,函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取

3、得極值,即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn) (3)在一個(gè)給定的區(qū)間上,函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn),也可能不存在極值點(diǎn);函數(shù)可能只有極大值,沒有極小值,或者只有極小值,沒有極大值,也可能既有極大值,又有極小值極大值不一定比極小值大,極小值也不一定比極大值小,求函數(shù)yf(x)的極值的方法是: 解方程f(x)0,當(dāng)f(x0)0時(shí) (1)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么,f(x0)是極大值 (2)如果在x0附近的左側(cè)_,右側(cè)_,那么,f(x0)是極小值,函數(shù)極值的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

4、(2)不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn) (3)導(dǎo)數(shù)為0是極值點(diǎn):yx2,y(0)0,x0是極小值點(diǎn),1下圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象,給出下列命題:,3是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn); 1是函數(shù)yf(x)的最小值點(diǎn); yf(x)在x0處切線的斜率小于零; yf(x)在區(qū)間(3,1)上單調(diào)遞增 則正確命題的序號(hào)是() AB C D,解析:由導(dǎo)函數(shù)圖象知函數(shù)f(x)在(,3)上單調(diào)遞減,(3,)上單調(diào)遞增,f(3)0,f(0)0,x3是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),正確 答案:B,2函數(shù)y(x21)31的極值點(diǎn)是() A極大值點(diǎn)x1 B極大值點(diǎn)x0 C極小值點(diǎn)x0 D極小值點(diǎn)x1 解析:y6

5、x(x21)20有三個(gè)根,x11,x20,x31,由解y0得x0;由解y0得x0,只有x0是極小值點(diǎn),故選C. 答案:C,3函數(shù)f(x)x33x21的極小值點(diǎn)為_ 解析:由f(x)3x26x0, 解得x0或x2. 列表如下: 當(dāng)x2時(shí),f(x)取得極小值 答案:x2,合作探究 課堂互動(dòng),求函數(shù)的極值,求下列函數(shù)的極值: 思路點(diǎn)撥先確定函數(shù)定義域,然后正確求導(dǎo),再解方程f(x)0,列表分析,求出函數(shù)的極值,(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽. f(x)x22x3(x1)(x3) 令f(x)0,得x11,x23. 由此可知當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表所示:,當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f(x)的變

6、化情況如下表: 故當(dāng)x3時(shí)函數(shù)取得極小值,且f(3)22.,1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟: (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x); (2)令f(x)0,求出全部的根x0; (3)列表,方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間,把x,f(x),f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個(gè)表格內(nèi); (4)判斷得結(jié)論,若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù),則在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則取得極小值 2注意事項(xiàng): (1)不要忽略函數(shù)的定義域; (2)要正確地列出表格,不要遺漏區(qū)間和分界點(diǎn),1求下列函數(shù)的極值: (1)f(x)x312x; (2)f(x)x2ex. 解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f(x)3x2123

7、(x2)(x2) 令f(x)0,得x2或x2.,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: 從表中可以看出,當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值, 且f(2)(2)312(2)16; 當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)有極小值, 且f(2)2312216.,(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f(x)2xexx2ex(x)2xexx2ex x(2x)ex. 令f(x)0,得x0或x2.,已知函數(shù)極值求參數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cx,在x1和x1處有極值,且f(1)1,求a,b,c的值,并求出相應(yīng)的極值,根據(jù)x1列表分析f(x)的符號(hào),f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn). 由上表可以看出, 當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有極大值

8、,且f(1)1; 當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有極小值,且f(1)1.,已知函數(shù)極值情況,逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式,進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),注意兩點(diǎn): (1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解; (2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性,2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc,當(dāng)x1時(shí),取得極大值7;當(dāng)x3時(shí),取得極小值求這個(gè)極小值及a,b,c的值 解析:f(x)3x22axb. 據(jù)題意,1,3是方程3x22axb0的兩個(gè)根, 由根與系數(shù)的關(guān)系得,極值的綜合應(yīng)用,已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x33xa. (1)求函數(shù)f(x)的極值,并畫

9、出其圖象(草圖); (2)當(dāng)a為何值時(shí),方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?,思路點(diǎn)撥,(2)結(jié)合圖象,當(dāng)極大值a20時(shí),有極小值小于0,此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a2滿足條件;當(dāng)極小值a20時(shí),有極大值大于0,此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以a2滿足條件 綜上,當(dāng)a2時(shí),方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.12分,1.如何利用導(dǎo)數(shù)畫函數(shù)的大致圖象? 求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及x時(shí),f(x)值的變化趨勢(shì),可畫出函數(shù)的大致圖象 2如何利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)? 用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù),是一種很有效的方法它通過(guò)函數(shù)的變化情況,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而判斷方程根的個(gè)數(shù),3將本例中(2)改為: f(x)0恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根;若只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若f(x)0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根,如圖(2)則有: a20,解得a2,或a22,或a2時(shí),f(x)0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0,求常數(shù)a,b的值,【錯(cuò)因】根據(jù)極值的定義,函數(shù)先減后增為極小值,函數(shù)先增后減為極大值,此題未驗(yàn)證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性,故求錯(cuò),當(dāng)a1,b3時(shí),f(x)3x26x33

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