雙擺能控性分析控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與CAD學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告

1、控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與cad學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告題目:雙擺系統(tǒng)的建模與仿真院 系： 電氣工程及其自動(dòng)化 專 業(yè)： 工業(yè)自動(dòng)化 授課教師： 張曉華 本 科 生： 鄭劍飛 班 級(jí)： 0006512學(xué) 號(hào)： 100061082完成時(shí)間： 2004.5.4摘 要本文利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立了雙擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在擺角很小時(shí)的近似條件下對(duì)其進(jìn)行了線性化；利用matlab仿真確定了以上模型的可信程度并指出其適用范圍；最后研究了該系統(tǒng)的能控性和參數(shù)間的關(guān)系。關(guān)鍵詞雙擺系統(tǒng)建模 線性化 matlab仿真 能控性1. 前言1.1 課題的背景倒立擺的模型有著廣泛的工程背景，像雜技演員獨(dú)輪車表演、火箭發(fā)射助推器等，經(jīng)過(guò)近似簡(jiǎn)化處

2、理都可以抽象為一階倒立擺。二階倒立擺與雙足機(jī)器人控制有關(guān)，三階倒立擺應(yīng)當(dāng)說(shuō)由一、二階倒立擺演繹而來(lái)，背景相當(dāng)復(fù)雜。一階倒立擺控制可以使用pid雙閉環(huán)控制、最優(yōu)控制、模糊控制等手段。二階倒立擺的控制難度更大些。三階倒立擺的仿真或?qū)嵨锵到y(tǒng)實(shí)現(xiàn)是世界公認(rèn)的難題，不過(guò)1993年以來(lái)國(guó)內(nèi)外有人陸續(xù)發(fā)表了三階倒立擺控制的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)物實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這些結(jié)果一般都使用了模糊控制或近似推理或某種擬人推理。至于四階倒立擺的控制問(wèn)題在世界范圍內(nèi)還是個(gè)空白。1.2 研究雙擺系統(tǒng)的目的和意義倒立擺是很理想的自動(dòng)控制教學(xué)試驗(yàn)設(shè)備，許多抽象的控制概念，如穩(wěn)定性、能控性、收斂速度和魯棒性等都可以通過(guò)倒立擺直觀的表現(xiàn)出來(lái)。同

3、時(shí)由于其高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合的特性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員也一直將它視為研究對(duì)象，并不斷從中發(fā)掘出新的控制理論和控制方法，相關(guān)的成果在航天科技、機(jī)器人學(xué)等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。雙擺系統(tǒng)，即一個(gè)小車上立有兩個(gè)一階倒立擺的系統(tǒng)，相對(duì)于一階倒立擺系統(tǒng)而言，其參數(shù)更多，耦合更加強(qiáng)烈，其建模和控制的難度要大得多。通過(guò)對(duì)雙擺系統(tǒng)建模，利用 matlab仿真來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并討論其性能，我們不僅可以驗(yàn)證所學(xué)的經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論，加深對(duì)課程的理解，還能培養(yǎng)獨(dú)立分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，積累經(jīng)驗(yàn)。相信本文得到的一些結(jié)論對(duì)工程設(shè)計(jì)人員也會(huì)具有一定的參考價(jià)值。2 雙擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的

4、建立2.1雙擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析，在模型的建立過(guò)程中，忽略空氣流動(dòng)阻力以及各種次要的摩擦力。這樣，可將雙擺系統(tǒng)抽象成小車和兩個(gè)勻質(zhì)剛性桿組成的系統(tǒng)，如圖2-1所示。圖2-1 簡(jiǎn)化后的雙擺系統(tǒng)本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：m 小車的質(zhì)量 x 小車的位置 f 加在小車上的力， 左右兩個(gè)擺桿的質(zhì)量 2，2左右兩個(gè)擺桿的長(zhǎng)度 ，左右兩個(gè)擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，左右兩個(gè)擺桿與豎直向上方向的夾角對(duì)小車和擺桿分別進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓定律建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。小車的受力情況見(jiàn)圖2-2。其中，和分別為左右兩個(gè)擺桿對(duì)小車作用力的水平分量。 圖2-2 小車的受力情況 圖2-3 擺桿的受力情況（以左桿為例

5、）根據(jù)牛頓第二定律有： （2-1）左右兩個(gè)擺桿的受力情況大致相同，下面以左邊的擺桿為例進(jìn)行分析（用下標(biāo)1、2來(lái)區(qū)分左、右擺桿），其受力情況如圖2-3所示。其中，、分別是小車對(duì)擺桿作用力在x軸方向的分量和y軸方向的分量。擺桿的質(zhì)心b點(diǎn)相對(duì)于a點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)線速度的大小為，而a點(diǎn)本身隨小車以速度運(yùn)動(dòng)，所以b點(diǎn)相對(duì)于地面的速度在x軸方向的分量為：， 由此可得b點(diǎn)在x軸方向的加速度為 ， 因此有方程： （2-2）b點(diǎn)相對(duì)于地面的速度在y軸方向的分量為：，所以b點(diǎn)在y軸方向的加速度為 ，因此有方程： （2-3）擺桿的慣量= 。在、的作用下擺桿繞b點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，有方程： （2-4） 同理，對(duì)于右邊的擺桿可得方程組

6、： （2-5） （2-6） （2-7）對(duì)上述7個(gè)方程進(jìn)行整理，消去中間變量，整理成只含有和f以及、x及其導(dǎo)數(shù)的形式。把式（2-2）和（2-5）帶入（2-1）得： （2-8）把（2-2）式代入（2-4）解出，再代入（2-3）得方程 （2-9）把（2-5）式代入（2-7）解出，再代入（2-6）得方程 （2-10） 以上（2-8）、（2-9）、（2-10）式便是雙擺系統(tǒng)的精確的數(shù)學(xué)模型。若使用matlab 中的simulink對(duì)其進(jìn)行仿真，我們需要對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使每個(gè)等式只含有一個(gè)最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（這里二階導(dǎo)數(shù)是最高階導(dǎo)數(shù)），并且放到等號(hào)左面，右面不再含最高階導(dǎo)數(shù)。這樣處理是為了避免仿真時(shí)出現(xiàn)代數(shù)

7、環(huán)錯(cuò)誤。關(guān)于代數(shù)環(huán)，我們?cè)诤竺?.1節(jié)中有較詳細(xì)的說(shuō)明。2.2雙擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化為了便于分析和計(jì)算，當(dāng)、10度時(shí)，可以作近似處理： ，將上述條件代入方程組（2-8）、（2-9）、（2-10），進(jìn)行線性化處理之后的微分方程組為： （2-11） （2-12） （2-13）由（2-12）和（2-13）式分別解出 和 代入（2-11）式得 （2-14）從中解得 （2-15）將其分別代入式（2-12）和（2-13）得： （2-16） （2-17）可以設(shè)狀態(tài)變量為：、，由（2-15）、（2-16）、（2-17）式易得狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中3.matlab仿真試驗(yàn)結(jié)果以上推導(dǎo)過(guò)程中，用了很多近似條件，

8、因此，上一節(jié)所建立的模型是否可信還有待我們?nèi)ヲ?yàn)證。這里采用matlab對(duì)其進(jìn)行軟件仿真，除了用它驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型之外，還可以研究系統(tǒng)的一些性質(zhì)，例如穩(wěn)定性、能控性等。3.1 精確模型的驗(yàn)證首先對(duì)線性化之前的模型即（2-8）、（2-9）、（2-10）式進(jìn)行驗(yàn)證。我們僅忽略了空氣阻力，即使在外力作用下擺角變化很大，該模型也應(yīng)該較精確。下面，我們采用matlab中的simulink工具箱以及模塊封裝技術(shù)對(duì)其進(jìn)行仿真，步驟如下：1 在命令窗口中輸入simulink后回車，或單擊matlab工具欄中的 simulink圖標(biāo)則可打開simulink模型庫(kù)窗口。在file菜單中選擇new/model，打開一個(gè)新

9、的空白窗口，命名為“shuangbai.mdl”。 2 按圖3-1編輯雙擺系統(tǒng)的模型。圖3-1 在simulink下編輯的雙擺系統(tǒng)的精確模型其中，integrator是積分器模塊。雙擊該模塊，可以在彈出的對(duì)話框中對(duì)積分的初始值進(jìn)行修改，缺省值為0。設(shè)第一行最左邊的節(jié)點(diǎn)表示的變量為，則經(jīng)過(guò)積分后變?yōu)楹?，同理可以得到、以及、和。由于在simulink下顯示特殊符號(hào)很困難，這里用“theta”來(lái)注釋，這不會(huì)影響仿真結(jié)果 。我們用輸入點(diǎn)模塊（in）表示該系統(tǒng)的輸入變量f，用3個(gè)輸出點(diǎn)模塊（out）表示輸出變量、和。fcn是函數(shù)計(jì)算模塊，能夠?qū)崿F(xiàn)大部分初等函數(shù)運(yùn)算。但它只有一個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端，若要實(shí)

10、現(xiàn)形如的運(yùn)算，必須和聚合模塊（mux）配合使用，聚合模塊包含在signal routing模塊庫(kù)中，可以把多路信號(hào)按照向量的形式混合成一路信號(hào)。例如，fcn1描述的是（2-9）式的函數(shù)關(guān)系，它的輸入端就接有一個(gè)聚合模塊，雙擊它之后彈出一個(gè)對(duì)話框，可以設(shè)置輸入變量的個(gè)數(shù)。由（2-9）式易得 = （3-1）我們把和作為聚合模塊的輸入，fcn1的輸出接，雙擊fcn1模塊，彈出對(duì)話框，見(jiàn)圖3-2。fcn欄提示了輸入表達(dá)式的格式。可見(jiàn)，只能用u來(lái)表示輸入的變量，例如u1表示輸入向量的第一個(gè)分量，即聚合模塊上數(shù)第一個(gè)輸入量，而u2表示，所以在parameters的expression中輸入的表達(dá)式應(yīng)為(g

11、*sin(u2)-cos(u2)*u1)/(l1*4/3) 。同理，我們用fcn3描述（2-10）式的函數(shù)關(guān)系，但輸入的表達(dá)式同上。圖3-2 雙擊fcn模塊后彈出對(duì)話框用fcn2描述（2-8）式的函數(shù)關(guān)系，由（2-8）式易得： = （3-2）那么，能否按上述方法，把、f作為輸入量，作為輸出量，再把（3-2）式按照所要求的格式輸入到fcn2中呢？注意：對(duì)于（3-2）式，這樣做可能導(dǎo)致仿真時(shí)出錯(cuò)。若點(diǎn)擊菜單欄simulation/parameters，在出現(xiàn)的對(duì)話框中把代數(shù)環(huán)（algebraic loop）作為錯(cuò)誤檢查的內(nèi)容，見(jiàn)圖3-3，那么在第4步仿真時(shí)就會(huì)提示出現(xiàn)代數(shù)環(huán)錯(cuò)誤。代數(shù)環(huán)，簡(jiǎn)單的說(shuō)就

12、是在求取某一個(gè)輸出量的過(guò)程中又需要已知該輸出量，其實(shí)質(zhì)是一種隱式迭代。當(dāng)表達(dá)式簡(jiǎn)單時(shí)，如（3-1）式，系統(tǒng)采取默認(rèn)的算法可以解決這類問(wèn)題，但當(dāng)表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，如（3-2）式，包含大量非線性運(yùn)算并且右邊出現(xiàn)很多高階導(dǎo)數(shù)，仿真就會(huì)出錯(cuò)。避免代數(shù)環(huán)錯(cuò)誤的方法之一是對(duì)（3-2）式進(jìn)行恒等變形，使表達(dá)式只含有一個(gè)最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并且放到等號(hào)左面（這里選擇），右面不再含其它最高階導(dǎo)數(shù)。例如，把（3-1）代入（3-2）式就可消去，同理消去，解出得：= （3-3）輸入變量為、f，再把（3-3）式按照所要求的格式輸入到fcn2中即可避免代數(shù)環(huán)。圖3-3 simulation parameters對(duì)話框中設(shè)置錯(cuò)誤檢

13、查的內(nèi)容3 采用模塊封裝技術(shù)把雙擺的精確模型封裝成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模塊模塊封裝是復(fù)雜系統(tǒng)建模和仿真時(shí)常用的方法之一。這樣做有很多好處：首先，它使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加清晰、簡(jiǎn)潔。其次，模型的通用性提高了。它可以存入自己的模塊庫(kù)里，使用時(shí)和simulink中其它的標(biāo)準(zhǔn)模塊一樣，只需雙擊，并在彈出的對(duì)話框中輸入具體的參數(shù)值即可，而不必考慮它是如何實(shí)現(xiàn)的。由于內(nèi)部結(jié)構(gòu)被封裝了起來(lái)，可以避免一些誤操作，使用起來(lái)更方便。我們把雙擺系統(tǒng)封裝起來(lái)作為一個(gè)整體，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)就可以直接調(diào)用了，作為自動(dòng)控制系統(tǒng)的被控對(duì)象。選中圖3-1所示系統(tǒng)的所有模塊，在菜單欄選擇edit/create subsystem，即可建立一個(gè)子系統(tǒng)

14、。用鼠標(biāo)選中該子系統(tǒng)，再選擇edit/mask subsystem，彈出如圖3-4、3-5所示的模塊封裝設(shè)計(jì)界面。 圖3-4 模塊封裝設(shè)計(jì)界面icon選項(xiàng)卡圖3-5 模塊封裝設(shè)計(jì)界面parameters選項(xiàng)卡icon選項(xiàng)卡按圖3-4設(shè)置，parameters選項(xiàng)卡按圖3-5設(shè)置，表dialog parameters中填入需要外部輸入的參數(shù)名（variable）、參數(shù)描述（prompt）、類型（type）等。其它選項(xiàng)按缺省值設(shè)置。注意：這里的參數(shù)名必須和步驟2中表達(dá)式里的參數(shù)名相同，另外，simulink對(duì)參數(shù)名不區(qū)分大小寫。封裝好之后的模塊見(jiàn)圖3-6。此時(shí)，雙擊該模塊，顯示參數(shù)輸入對(duì)話框，見(jiàn)圖

15、3-7，可以輸入所有參數(shù)值。 圖3-6 封裝好后的模塊圖3-7 模塊參數(shù)輸入對(duì)話框如果要修改其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可以右鍵點(diǎn)擊該模塊，在快捷菜單中選擇look under mask菜單項(xiàng)，便出現(xiàn)圖3-1所示的結(jié)構(gòu)框圖，并可以對(duì)其進(jìn)行修改。4對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真按照?qǐng)D3-8，添加階躍信號(hào)作為輸入（正負(fù)兩個(gè)方向的階躍信號(hào)疊加還可以構(gòu)成脈沖信號(hào)），添加示波器，利用聚合模塊可以同時(shí)觀測(cè)幾路信號(hào)的仿真結(jié)果。這里又利用了輸出點(diǎn)模塊（out），它把仿真結(jié)果通過(guò)矩陣tout傳遞到工作空間（workspace），再利用plot等繪圖命令就可以方便的做出曲線。圖3-8 精確模型的仿真框圖我們?cè)谀K參數(shù)輸入對(duì)話框中輸入?yún)?shù)：m=1

16、，=0.5，=0.6，g=9.8，f=5(階躍信號(hào))，兩個(gè)擺角的初始值為180度（3.14弧度），即豎直向下, 位移x的初始值設(shè)為0。仿真的結(jié)果見(jiàn)圖3-9。圖3-9 精確模型的階躍響應(yīng)曲線(初始擺角為180度) 可見(jiàn)，位移曲線加速增長(zhǎng)，而兩個(gè)擺角的響應(yīng)曲線重合，在某個(gè)大于180度的角度附近作等幅振蕩。這是兩個(gè)擺桿的參數(shù)相同，而又不計(jì)空氣阻力所造成的結(jié)果（相當(dāng)于兩個(gè)相同的一階倒立擺）。在考慮空氣阻力的情況下，擺角應(yīng)該做減幅振蕩，最終穩(wěn)定在某個(gè)大于180度（3.14弧度）的角度。從圖中可以讀出擺角的最大值和最小值分別為約3.64弧度和3.14弧度，平均值為3.39弧度，而利用牛頓定律可以求出在這一

17、特殊條件下,穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿的擺角約為3.391367弧度，這說(shuō)明前面所建立的精確模型是可信的。3.2 線性化之后的模型的驗(yàn)證下面分別用精確模型和線性化之后的模型分別求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（擺角的初始值為0度（豎直向上），見(jiàn)圖3-10、3-11。其中，m=1，=0.5，=0.6，f=0.2（階躍信號(hào)）。圖3-10 精確模型的階躍響應(yīng)曲線(初始擺角為0度)圖3-11 線性化之后的模型的階躍響應(yīng)曲線(初始擺角為0度) 從中可知在擺角變化不大（擺角10度時(shí)），精確模型和線性化之后的模型的階躍響應(yīng)基本相同，但角度越大，后者的誤差就越大。但是，兩者都反映出當(dāng)初始擺角為0度時(shí)，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。后者的仿真結(jié)果是通過(guò)建

18、立m文件（state.m）求得的，程序如下：% state.m % 雙擺系統(tǒng)狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng) % 輸入相關(guān)參數(shù)m =1; m1 = 0.5; m2 =0.5; g = 9.8; l1=0.6; l2=0.6;q = 4*m+m1+m2;% 輸入狀態(tài)方程并顯示a = 0 1 0 0 0 0; 0 0 -3*m1*g/q 0 -3*m2*g/q 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 3*g/(4*l1)+9*m1*g/(4*l1*q) 0 9*m2*g/(4*l1*q) 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 9*m1*g/(4*l2*q) 0 3*g/(4*l2)+9*m2*g/(4*l

19、2*q) 0 b = 0; 4/q; 0; -3/(l1*q); 0; -3/(l2*q) c = 1 0 0 0 0 ； 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1 0d = 0； 0; 0 p=eig(a) %求開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn) f=rank(b a*b a2*b a3*b a4*b a5*b ) % 求系統(tǒng)的能控矩陣的秩 % 求開環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)并顯示t = 0:0.005:5;u = 0.2*ones(size(t);y,x = lsim(a,b,c,d,u,t);plot(t,y(:,1),:,t,y(:,2),-)hold on h=plot(t,y(:,3),-)；set(h,l

20、inewidth,4*get(h,linewidth)；axis(0 3 -10 10)% end 當(dāng)然，這完全可以用simulink仿真，但是利用程序還可以精確的求出系統(tǒng)的極點(diǎn)和系統(tǒng)的能控矩陣的秩，程序的執(zhí)行結(jié)果如下： 系統(tǒng)的極點(diǎn)為p =0，0，4.4272，3.5000，-4.4272，-3.5000，可見(jiàn)有兩個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)。系統(tǒng)的能控矩陣的秩f(wàn) = 46，說(shuō)明此系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。利用該程序可以方便的修改參數(shù)并求取線性化之后的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。3.3利用線性化之后的模型討論系統(tǒng)的能控性當(dāng)m=1，=0.5，=0.7，=0.6，f=0.2（階躍信號(hào)）時(shí)，執(zhí)行程序，對(duì)線性化之后的模型的仿真結(jié)果如下。圖3-12為階躍響應(yīng)曲線。圖3-12 時(shí)的仿真結(jié)果系統(tǒng)的極點(diǎn)p = 0， 0， 4.2866，3.3466，-4.2866， -3.3466。系統(tǒng)的能控矩陣的秩f(wàn) = 6，說(shuō)明此系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。改變和的值，通過(guò)大量仿真試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)只要，系統(tǒng)的能控矩陣的秩f(wàn) = 6，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控；而=時(shí)，f = 4 6 ，系統(tǒng)狀態(tài)不