第4章 多目標(biāo)規(guī)劃.ppt

1、第四章 多目標(biāo)規(guī)劃,同時考慮多個決策目標(biāo)時，稱為多目標(biāo)規(guī)劃問題。,4-0 引言 從線性規(guī)劃問題可看出： 線性規(guī)劃只研究在滿足一定條件下，單一目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解，而在企業(yè)管理中，經(jīng)常遇到多目標(biāo)決策問題，如擬訂生產(chǎn)計劃時，不僅考慮總產(chǎn)值，同時要考慮利潤，產(chǎn)品質(zhì)量和設(shè)備利用率等。這些指標(biāo)之間的重要程度（即優(yōu)先順序）也不相同，有些目標(biāo)之間往往相互發(fā)生矛盾。,線性規(guī)劃致力于某個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，這個最優(yōu)解若是超過了實際的需要，很可能是以過分地消耗了約束條件中的某些資源作為代價。 線性規(guī)劃把各個約束條件的重要性都不分主次地等同看待，這也不符合實際情況。,求解線性規(guī)劃問題，首先要求約束條件必須相容，如果約束

2、條件中，由于人力，設(shè)備等資源條件的限制，使約束條件之間出現(xiàn)了矛盾，就得不到問題的可行解，但生產(chǎn)還得繼續(xù)進(jìn)行，這將給人們進(jìn)一步應(yīng)用線性規(guī)劃方法帶來困難。,為了彌補線性規(guī)劃問題的局限性，解決有限資源和計劃指標(biāo)之間的矛盾，在線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，建立目標(biāo)規(guī)劃方法，從而使一些線性規(guī)劃無法解決的問題得到滿意的解答。,4-1 多目標(biāo)規(guī)劃問題 多目標(biāo)規(guī)劃問題的提出 在實際問題中，可能會同時考慮幾個方面都達(dá)到最優(yōu)：產(chǎn)量最高，成本最低，質(zhì)量最好，利潤最大，環(huán)境達(dá)標(biāo)，運輸滿足等。多目標(biāo)規(guī)劃能更好地兼顧統(tǒng)籌處理多種目標(biāo)的關(guān)系，求得更切合實際要求的解。 目標(biāo)規(guī)劃可根據(jù)實際情況，分主次地、輕重緩急地考慮問題。,例4-1：一個

3、企業(yè)需要同一種原材料生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，它們的單位產(chǎn)品所需要的原材料的數(shù)量及所耗費的加工時間各不相同，從而獲得的利潤也不相同（如下表）。那么，該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能使獲得的利潤達(dá)到最大？,如何安排生產(chǎn)，使利潤達(dá)到最大。 用單純形法求得最優(yōu)解=（20，20） 最優(yōu)值=200（百元）,問題：該廠提出如下目標(biāo) （1）利潤達(dá)到280百元； （2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時； 如何安排生產(chǎn)？,例4-2：某車間有A、B兩條設(shè)備相同的生產(chǎn)線，它們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。A生產(chǎn)線每小時可制造2件產(chǎn)品，B生產(chǎn)線每小時可制造1.5件產(chǎn)品。如果每周正常工作時數(shù)為45小時，要求制定完成下列目標(biāo)的生產(chǎn)計劃：

4、,（1）生產(chǎn)量達(dá)到210件/周； （2） A生產(chǎn)線加班時間限制在15小時內(nèi)； （3）充分利用工時指標(biāo)，并依A、B產(chǎn)量的比例確定重要性。,例4-3：某電器公司經(jīng)營的唱機(jī)和錄音機(jī)均有車間A、B流水作業(yè)組裝。數(shù)據(jù)見下表。 要求按以下目標(biāo)制訂月生產(chǎn)計劃： （1）庫存費用不超過4600元； （2）每月銷售唱機(jī)不少于80臺；,（3）不使A、B車間停工（權(quán)數(shù)由生產(chǎn)費用確定）； （4）A車間加班時間限制在20小時內(nèi)； （5）每月銷售錄音機(jī)為100臺； （6）兩車間加班時數(shù)總和要盡可能小（權(quán)數(shù)由生產(chǎn)費用確定）；,多目標(biāo)優(yōu)先級 先將目標(biāo)等級化：將目標(biāo)按重要性的程度不同依次分成一級目標(biāo)、二級目標(biāo).。最次要的目標(biāo)放在

5、次要的等級中。,目標(biāo)優(yōu)先級作如下約定： 對同一個目標(biāo)而言，若有幾個決策方案都能使其達(dá)到，可認(rèn)為這些方案就這個目標(biāo)而言都是最優(yōu)方案；若達(dá)不到，則與目標(biāo)差距越小的越好。,目標(biāo)優(yōu)先級作如下約定： 不同級別的目標(biāo)的重要性是不可比的。即較高級別的目標(biāo)沒有達(dá)到的損失，任何較低級別的目標(biāo)上的收獲都不可彌補。所以在判斷最優(yōu)方案時，首先從較高級別的目標(biāo)達(dá)到的程度來決策，然后再其次級目標(biāo)的判斷。,目標(biāo)優(yōu)先級作如下約定： 同一級別的目標(biāo)可以是多個。各自之間的重要程度可用數(shù)量（權(quán)數(shù)）來描述。因此，同一級別的目標(biāo)的其中一個的損失，可有其余目標(biāo)的適當(dāng)收獲來彌補。,多目標(biāo)規(guī)劃解的概念： 若多目標(biāo)規(guī)劃問題的解能使所有的目標(biāo)都

6、達(dá)到，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解； 若解只能滿足部分目標(biāo)，就稱該解為多目標(biāo)規(guī)劃的次優(yōu)解； 若找不到滿足任何一個目標(biāo)的解，就稱該問題為無解。,例4-4：（例4-1）一個企業(yè)需要同一種原材料生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，它們的單位產(chǎn)品所需要的原材料的數(shù)量及所耗費的加工時間各不相同，從而獲得的利潤也不相同（如下表）。那么，該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，才能使獲得的利潤達(dá)到最大？,如何安排生產(chǎn)，使利潤達(dá)到最大。 前面已經(jīng)求得最優(yōu)解=（20，20） 最優(yōu)值=200（百元）,問題：該廠提出如下目標(biāo) （1）利潤達(dá)到280百元； （2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時； 如何安排生產(chǎn)？,對例4-1的問題，設(shè)超過一噸

7、鋼材與超過5個工時的損失相同?，F(xiàn)有四個方案進(jìn)行比較優(yōu)劣？,目標(biāo)：（1）利潤達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時； 對于（1），只有方案4沒有完成。排除方案4。 對于（2），只有方案2達(dá)到了，因此方案2是最優(yōu)。,目標(biāo)：（1）利潤達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時； 方案1與方案3都達(dá)到了（1），又沒達(dá)到（2） 方案1與（2）的差距： 工時損失 =（110-100）*5+（130-120）*1=60,方案3與（2）的差距： 工時損失=0*5+（190-120）*1=70 方案1優(yōu)于方案3。 方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案3優(yōu)于方案4,例4-4：繼續(xù)上

8、例,目標(biāo)：（1）利潤達(dá)到280百元；（2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時； 對于（1），三個方案都沒有完成。但方案3離目標(biāo)最遠(yuǎn)，方案3最差。 方案1與（2）的差距： 工時損失= （108-100）*5+（130-120）*1=50,方案2與（2）的差距： 工時損失 =0*5+（160-120）*1=40 方案2優(yōu)于方案1 方案2優(yōu)于方案1優(yōu)于方案3,4-2 多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型 多目標(biāo)的處理 為了將不同級別的目標(biāo)的重要性用數(shù)量表示，引進(jìn)P1，P2，.,用它表示一級目標(biāo)，二級目標(biāo)，.，的重要程度，規(guī)定P1P2 P3 .。稱P1，P2，.,為級別系數(shù)。,約束方程的處理 差異變量： 決

9、策變量x超過目標(biāo)值b的部分記d+ 決策變量x不足目標(biāo)值b的部分記d- d+ 0, d- 0 且 x- d+ + d-= b,多目標(biāo)的綜合 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d+ = 0 時目標(biāo)才算達(dá)到。,多目標(biāo)的綜合 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d+=0 時目標(biāo)才算達(dá)到。 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d- = 0 時目標(biāo)才算達(dá)到。,多目標(biāo)的綜合 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d+=0 時目標(biāo)才算達(dá)到。 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x b, 當(dāng) d-=0 時目標(biāo)才算達(dá)到。 若決策目標(biāo)中規(guī)定 x = b, 當(dāng) d+ = d- = 0 時目標(biāo)才算達(dá)到。,例4-5（例4-4) 解：引進(jìn)級別系數(shù) P1：（

10、1）利潤達(dá)到280百元； P2：（2）鋼材不超過100噸，工時不超過120小時；（權(quán)數(shù)之比5：1）,數(shù)學(xué)模型： 目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1-+P2(5d2+d3+) 約束方程： 6X1+4X2+ d1- d1+=280 2X1+3X2+ d2- d2+=100 4X1+2X2+ d3- d3+=120 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3),例4-6（例4-2) 某車間有A、B兩條設(shè)備相同的生產(chǎn)線，它們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。A生產(chǎn)線每小時可制造2件產(chǎn)品，B生產(chǎn)線每小時可制造1.5件產(chǎn)品。如果每周正常工作時數(shù)為45小時，要求制定完成下列目標(biāo)的生產(chǎn)計劃：,（1）生產(chǎn)量達(dá)到210件/周；

11、（2） A生產(chǎn)線加班時間限制在15小時內(nèi)； （3）充分利用工時指標(biāo)，并依A、B產(chǎn)量的比例確定重要性。,解：設(shè)A，B生產(chǎn)線每周工作時間為X1，X2。A，B的產(chǎn)量比例2：1.5 = 4:3 目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4- 約束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+=210 （生產(chǎn)量達(dá)到210件/周） X1 + d2- d2+=60 （A生產(chǎn)線加班時間限制在15小時內(nèi)）,X1 + d3- d3+=45 （充分利用A的工時指標(biāo)） X2+ d4- d4+=45 （充分利用B的工時指標(biāo)） X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3,4),A，B的產(chǎn)量

12、比例2：1.5 = 4:3 目標(biāo)函數(shù)： Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4- 約束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+= 210 X1 + d2- d2+= 60 X1 + d3- d3+= 45 X2 + d4- d4+= 45 X1,X2,di-, di+ 0 (i=1,2,3,4),例4-7(例4-3)： (1)庫存費用不超過4600元； (2)每月銷售唱機(jī)不少于80臺； (3)不使A、B車間停工（權(quán)數(shù)由生產(chǎn)費用確定）； (4)A車間加班時間限制在20小時內(nèi)；,（5）每月銷售錄音機(jī)為100臺； （6）兩車間加班時數(shù)總和要盡可能?。?quán)數(shù)由生產(chǎn)費用確定）；

13、 解：設(shè)每月生產(chǎn)唱機(jī)、錄音機(jī)X1，X2臺。且A、B的生產(chǎn)費用之比為100：50=2：1,目標(biāo)函數(shù)： Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+ P5d3+2P6d4+ P6d5+ 約束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 （庫存費用不超過4600元） X1 + d2- d2+=80 （每月銷售唱機(jī)不少于80臺）,X2 + d3- d3+=100 （每月銷售錄音機(jī)為100臺） 2X1 + X2+ d4- d4+=180 （不使A車間停工） X1 + 3X2+ d5- d5+=200 （不使B車間停工） d4+ d41- d41+

14、=20 （A車間加班時間限制在20小時內(nèi)） X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5),目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5- +P4d41+ P5d3-+ P5d3+2P6d4+ P6d5+ 約束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600 X1 + d2- d2+=80 X2 + d3- d3+=100 2X1 + X2+ d4- d4+=180 X1 + 3X2+ d5- d5+=200 d4+ d41- d41+=20 X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5),4-

15、3 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解 多目標(biāo)規(guī)劃問題的圖解法 例4-8 Min S = d1+ X1+2X2+ d1- d1+ = 10 X1+2X2 6 X1+X2 4 X1,X2,d1-, d1+ 0,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,X1+2X2 6,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,X1+X2 4,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2=10,5,d1+,d1-,A,B,(2,2),x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,

16、3,4,2,x1+2x2=10,5,d1+,d1-,A,B,(2,2),當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時 d1+ = 0,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2=10,5,d1-,A,B,(2,2),當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時 d1+ = 0,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2+d1- = 10 d1- = 2,5,d1-,A,B,(2,2),當(dāng) Min S = d1+ 達(dá)到時 d1+ = 0,x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2+d1- = 10 d1- = 4,5,d1-,A,B,(2,2)

17、,有無窮多解：點（0，3）和點（2，2）連線上的點都是最優(yōu)解。,(0,3),x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2+d1- = 10 d1- = 6,5,d1-,A,B,(2,2),有無窮多解：點（4，0）和點（0，2）連線上的點都是最優(yōu)解。,(0,3),(4,0),(0,2),x1,x2,0,4,6,8,10,2,1,3,4,2,x1+2x2+d1- = 10 d1- = 7,5,d1-,A,B,(2,2),有無窮多解：點（1，1）和點（0，3/2） （3，0）連線上的點都是最優(yōu)解。,(0,3),(4,0),(1,1),例4-9 Min S=P1d1-+P2d2+

18、P3d3-+ P4d4- X1+X2+ d1- d1+=40 X1+X2 + d2- d2+=50 X1 + d3- =30 X2+ d4- =30 X1,X2,dI-, dI+ 0(I=1,2,3,4),x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1-,d1+,X1+X2=40,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1-,d1+,d2+,d2-,X1+X2=50,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d2-,d1+,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,2

19、0,50,d2-,X1=30,d1+,d3-,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1+,d2-,d3-,X1=30,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1+,d2-,d3-,X1=30,d4-,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1+,d2-,d3-,d4-,Min d2+ =0 可行域如圖,x1,x2,0,20,30,40,50,10,10,30,40,20,50,d1+,d2-,d4-,Min d3- = 0 線段AB是可行域,A,B,x1,x2,0,20,30,4

20、0,50,10,10,30,40,20,50,d2-,d4-,Min d4- P=(30,20)唯一最優(yōu)解。 d2- =10 d4- = 10,P,例4-10 Min S=P1d1-+P2d2+ P3d3-+ P3d4- 5X1+10X2+ d1- d1+=100 2X1 + X2 + d2- d2+=14 X1 + d3- d3+=6 X2+ d4- d4+=10 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3,4),x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d1-,5X1+10X2=100,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,

21、10,25,d1+,d1-,d2+,d2-,2X1 +X2 =14,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,X1 =6,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,X2=10,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,Min d1- = 0,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2-,d3+,d3

22、-,d4+,d4-,Min d2+ = 0 可行域如圖,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2-,d3+,d4+,d4-,Min d3- =0 可行域為空如圖,d3-,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2-,d3+,d4+,d4-,Min d3- 0,如何使P3 （d3-+ d4-）最小呢？,Q,d3-Q,E,d3-E,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2-,d3+,d4+,d4-,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,

23、d1+,d2-,d3+,d4+,d4-,x1,x2,0,10,15,20,25,5,5,15,20,10,25,d1+,d2-,d3+,d4+,d4-,P1(2,10),P2(26/3,8/3),2X1 +X2 =14,d3-+ d4-= 16-(X1 +X2) = 16-(2X1 +X2 )+X1 =2+X1,于是P1為最優(yōu)點。,多目標(biāo)規(guī)劃的單純形算法 多目標(biāo)規(guī)劃問題與線性規(guī)劃問題相似，可用單純形算法求解。 注意：在比較檢驗數(shù)大小時，要先比較較高級別的系數(shù)，再比較較低級別的系數(shù)。,例4-11（例4-6） 目標(biāo)函數(shù)：Min S=P1d1-+P2(5d2+d3+) 約束方程： 6X1+4X2+

24、d1- d1+=280 2X1+3X2+ d2- d2+=100 4X1+2X2+ d3- d3+=120 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3),標(biāo)準(zhǔn)型 目標(biāo)函數(shù)：Max S=-P1d1-P2(5d2+d3+) 約束方程： 6X1+4X2+ d1- d1+=280 2X1+3X2+ d2- d2+=100 4X1+2X2+ d3- d3+=120 X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3),初始單純形表,首先滿足第一目標(biāo)P1進(jìn)基變量X1，出基變量y3- 主元（4）,主元運算：第三行除以4,主元運算：第一行加上第三行（-6）倍,主元運算：第二行加上第三行（-2）倍,重新計算

25、檢驗數(shù),第二行除以2,第一行加上第二行（-1）,第三行加上第二行（-1/2）,計算檢驗數(shù),計算檢驗數(shù),第一行乘上4/5,第三行加上第一行（3/8）,計算檢驗數(shù),最后變量 y1-的檢驗數(shù)為-P1+(4/5)P2由于假定P1P2，所以此檢驗數(shù)也小于零。,該問題的最優(yōu)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品44個單位，B產(chǎn)品4個單位，利潤為280百元。此時，原料正好用了100噸，工時比原計劃超了64小時。,例4-11 設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，都要經(jīng)過兩道工序，有關(guān)資料如下表。假如工序1，2都允許加班，使得利潤不少于1000元作為目標(biāo)。又以：第1，2工序的加班工時之和盡可能在160之內(nèi)為第一目標(biāo)；產(chǎn)品乙必須嚴(yán)格控制在70公斤之

26、內(nèi)為第二目標(biāo)；該廠的利潤越高越好為第三目標(biāo)；盡量減少工序1，2加班工時為第四目標(biāo).試問：在上述條件下，該廠應(yīng)如何生產(chǎn)？,解：設(shè)X1，X2為甲，乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)公斤數(shù)， d1-， d1+分別為低于或超過利潤1000元的偏差 d2-， d2+分別為第1道工序剩余和加班的工時數(shù) d3-， d3+分別為第2道工序剩余和加班的工時數(shù) d4-， d4+為加班工時之和低于或超過160工時數(shù) 由于產(chǎn)品X2必須嚴(yán)格控制在70公斤之內(nèi)為第一目標(biāo)，則可取d5-為實際公斤數(shù)不到70的偏差，且 d5+=0。,目標(biāo)函數(shù)： Min Z=P1d4+ P2d5- + P3d1-+ P4( d2+d3+) 約束方程： 6X1+4X2+ d1- d1+=1000 2X1+ X2+ d2- d2+=100 X1+X2+ d3- d3+=80 d2+ + d3+ + d4 -d4+=160 X2 + d5 =70 X1,X2,di-, di+ , d5 0(i=1,2,3,4),目標(biāo)函數(shù)： Max s= -P1d4+-P2d5- - P3d1- P4( d2+d3+) 約束方程： 6X1+4X2+ d1- d1+=1000 2X1+ X2+ d2- d2+=100 X1+X2+ d3-