初中數(shù)學知識點大全

1、初中數(shù)學（蘇科版）知識點大全目錄一、實數(shù)1二、代數(shù)式3三、方程7四、不等式9五、函數(shù)10六、統(tǒng)計與概率14七、線段、角16八、相交線、平行線16九、三角形17十、四邊形20十一、圖形的變換23十二、圓26 2015年10月初中數(shù)學（蘇科版）知識點大全一、實數(shù)（一）實數(shù)的分類 正整數(shù) 整數(shù) 零 有理數(shù) 負整數(shù) 有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù) 正分數(shù)實數(shù) 分數(shù) 負分數(shù) 正無理數(shù)無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負無理數(shù) 注意： (1)實數(shù)還可按正數(shù)，零，負數(shù)分類(2)整數(shù)還可分為奇數(shù)，偶數(shù).零是偶數(shù)，偶數(shù)一般用2(為整數(shù))表示；奇數(shù)一般用2-1或2+1(為整數(shù))表示(3)正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)（二）相關概念1.有理數(shù)、無

2、理數(shù)、實數(shù)（1）有理數(shù)：能夠寫成分數(shù)形式（m、n是整數(shù)，n0）的數(shù)叫做有理數(shù).（2）無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).（3）實數(shù)：有理數(shù)、無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).2.數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸一般規(guī)定從原點向右方向為正方向注意：數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應3.絕對值數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，數(shù)的絕對值記作正數(shù)和零的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即：4.相反數(shù)符號不同、絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零 注意：如果與互為相反數(shù)，則有或，反之亦成立5.倒數(shù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)注意： (1)如果與互為倒數(shù)，則有，反之亦成立(2)倒數(shù)等于本

3、身的數(shù)是1和-1(3)零沒有倒數(shù)6.科學記數(shù)法把一個數(shù)記成a10n的形式，其中：是整數(shù)，這種記數(shù)法稱為科學記數(shù)法（三）實數(shù)的運算1.實數(shù)加、減法法則(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加(2)異號兩數(shù)相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值(3)一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)(4)實數(shù)加法運算律交換律：abba結合律：（ab）ca（bc）(5)減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)2.實數(shù)乘法法則(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘0與任何數(shù)相乘都得0.(2)幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定當負因數(shù)有奇

4、數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正(3)幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0(4)乘法運算律交換律：abba結合律：（ab）ca（bc）分配律：（ab）cacbc3.實數(shù)除法法則（1）除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)（2）兩個不等于0的數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.4.實數(shù)的乘方法則(1)實數(shù)的乘方運算是利用實數(shù)的乘法運算進行的即求相同因數(shù)的積的運算叫乘方，乘方運算的結果叫做冪.(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)5.數(shù)的開方（1）平方根、算術平方根：如果（a0），那么就叫做的平方根（也稱二次方根

5、）一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根正數(shù)的平方根，記作：正數(shù)的平方根叫做的算術平方根正數(shù)和零的算術平方根都只有一個零的算術平方根是零注意：的“雙重非負性” ：求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方.（2）立方根：如果，那么就叫做的立方根一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0.6.實數(shù)的混合運算實數(shù)的運算順序：先乘方，再乘除，最后加減，如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算7.實數(shù)的大小比較數(shù)形結合法：在數(shù)軸上表示的

6、兩個數(shù)右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù).絕對值法：該方法常用于兩負數(shù)間的大小比較,即兩負實數(shù),絕對值大的反而小.平方法：當被比較的兩數(shù)中含有無理數(shù)時,可先分別將這兩數(shù)平方,再比較大小.作差法：二、代數(shù)式（一）整式1.整式的有關概念用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子叫代數(shù)式單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫單項式單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式.注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構成的，其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示，如：這種表示就是錯誤的，應寫成：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)如：

7、是六次單項式幾個單項式的和叫多項式其中每個單項式叫做這個多項式的項多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)單項式和多項式統(tǒng)稱整式2.同類項、合并同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項幾個常數(shù)項也是同類項把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變3.去括號法則括號前面是“” ，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項的符號都不改變括號前面是“” ，把括號和它前面的“”號去掉，括號里各項的符號都要改變4.整式的加減法進行整式的加減運算時，如果有括號先去括號，再合并

8、同類項.5.整式的乘法（1）單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式（2）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加 （3）多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加注意：多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項（4）乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，； 注意：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式（5）冪的運算法則同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相

9、加即：(都是正整數(shù))冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘即：(都是正整數(shù))積的乘方法則：積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘即：(為正整數(shù))同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減即：(為正整數(shù)，)注意：()；為正整數(shù))（二）因式分解1.因式分解的概念把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式注意：(1)因式分解的結果必須是幾個整式的積的形式例如：，不是因式分解(2)因式分解和整式乘法是互逆變形例如：（ab）（ab）a2b2.2.因式分解的常用方法（1）提公因式法（2）運用公式法平方差公式：完全平方公式：；（3）十字相

10、乘法：x2（ab）xab（xa）（xb）3.因式分解的一般步驟因式分解的步驟是：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式；（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的次數(shù)：可以嘗試運用公式法分解因式；（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止 （三）分式1.分式及其相關概念分式的概念：一般地，如果A、B表示兩個整式，且中含有字母，那么代數(shù)式叫做分式分式和整式統(tǒng)稱為有理式注意： (1)分母中含有字母是分式的一個重要標志，它是分式與分數(shù)、整式的根本區(qū)別；(2)當分子等于零而分母不等于零時，分式的值才是零2.分式的性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘(或

11、除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變用式子表示是：(其中C是不等于零的整式)（2）分式的變號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變?nèi)纾海?）約分和通分把一個分式的分子和分母分別除以它們的公因式，叫做分式的約分一個分式約分的方法是：當分子、分母是單項式時，直接約分；當分子、分母是多項式時，把分式的分子和分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式把幾個異分母的分式變形成同分母的分式，叫做分式的通分，變形后的分母叫做這幾個分式的公分母幾個分式中各分母系數(shù)（都是整數(shù)）的最小公倍數(shù)與所有字母的最高次冪的積叫做這幾個分式最簡公分母3

12、.分式的運算法則（1）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減用式子表示是：；異分母的分式相加減，先通分，再加減用式子表示是：.（2）分式的乘除法則：分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘用式子表示是：；（3）分式的乘方法則：分式乘方是把分子、分母各自乘方用式子表示是：(為整數(shù))分式的混合運算關鍵是弄清運算順序，分式的加、減、乘、除混合運算也是先進行乘、除運算，再進行加、減運算，遇到括號，先算括號內(nèi)的（四）二次根式1.二次根式的概念（1）一般地，式子叫做二次根式，a叫被開方數(shù)，二次根式必須滿足：含有二次根

13、號“” ；被開方數(shù)必須是非負數(shù)如，都是二次根式（2）最簡二次根式若二次根式滿足:被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)中不含分母；分母中不含有根號.這樣化簡后得到的二次根式叫最簡二次根式，如，是最簡二次根式，而，就不是最簡二次根式（3）同類二次根式經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式叫同類二次根式注意：當幾個二次根式的被開方數(shù)相同時，也可以直接看出它們是同類二次根式如和一定是同類二次根式合并同類二次根式就是把幾個同類二次根式合并成一個二次根式合并同類二次根式的方法和合并同類項類似，把根號外面的因式相加，根式指數(shù)和被開方數(shù)都不變2.二次根式的性質(zhì)(1) (2) (3) (4)3.二次根式的

14、運算二次根式的加減法法則：二次根式相加減，先化簡每個二次根式，然后合并同類二次根式.二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變即：()此法則可以推廣到多個二次根式的情況二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即：() 三、方程（一）一元一次方程1.一元一次方程的概念含有未知數(shù)的等式叫方程只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1（次），像這樣的整式方程叫一元一次方程能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫方程的解求方程的解的過程叫做解方程.方程(為未知數(shù)，)叫做一元一次方程的標準形式 2.等式的性質(zhì)(1)等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式

15、，所得結果仍是等式(2)等式的兩邊都乘（或除以）同一個不等于0的數(shù)，所得結果仍是等式3.一元一次方程的解法(1)去分母：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)；(2)去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號；(3)移項：把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其它項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)；(4)合并同類項：把方程化成的形式；(5)系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(當時)，得到方程的解4.用一元一次方程解決問題列方程解決問題的步驟：設、列、解、驗、答.（二）一元二次方程1.一元二次方程的概念只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程其一般形式是ax2b

16、xc0（a0）.注意：由一元二次方程的定義可知，只有同時滿足以下三個條件：是整式方程；含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一條的方程都不是一元二次方程2.一元二次方程的解法直接開平方法：直接通過求平方根來解一元二次方程的方法叫做直接開平方法直接開平方法適用于解形如（h、k為常數(shù)，k0）的一元二次方程.配方法：把一個一元二次方程變形為（xh）2k（h、k為常數(shù)）的形式，當k0時，運用直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；(2)移項：使方程左邊為二次

17、項和一次項，右邊為常數(shù)項；(3)配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把原方程化為（xh）2k的形式；(4)當k0時，用直接開平方法解變形后的方程公式法：一元二次方程（a0）的求根公式：用公式法解一元二次方程的一般步驟：(1)把方程化為一般形式，確定的值； (2)求出的值；(3)若，則把及的值代入一元二次方程的求根公式.因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步驟： (1)將方程的右邊化為零；(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；(3)令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解3.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式的概念

18、：一元二次方程是否有實數(shù)根，完全取決于的符號，因此，我們就把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即=注意：要使用判別式，必須先將方程化為一般形式，以便確定；一元二次方程根的情況與判別式 的關系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根； =0方程有兩個相等的實數(shù)根；0時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小正比例函數(shù)的性質(zhì):當0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，隨的增大而增大；當00時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、第三象限在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小當00時：拋物線開口向上，并向上無限延伸(2)對稱軸是，頂點坐標是(，)(3)在對稱軸的左側，即當時，隨的增大而增大，簡記左減右增(4)拋物線有最低點，當

19、時，有最小值，(1)當0時：拋物線開口向下，并向下無限延伸(2)對稱軸是，頂點坐標是(，)(3)在對稱軸的左側，即當x時，隨的增大而減小，簡記左增右減(4)拋物線有最高點，當時，有最大值，注意：如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，即當時，如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當時，；若不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，其y的最值為當xx1，或xx2時的函數(shù)值.（4）用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式.（5）二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸一元二次方程ax2bxc0（6）用二次函數(shù)解決問題六

20、、統(tǒng)計與概率（一）數(shù)據(jù)的收集、整理、描述1.普查與抽樣調(diào)查為一特定目的而對所有考察對象所做的全面調(diào)查叫做普查，對部分考察對象所做的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.考察對象的全體叫做總體，組成總體的每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.2.統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖的選用常用統(tǒng)計圖有三種：（1）扇形統(tǒng)計圖；（2）折線統(tǒng)計圖；（3）條形統(tǒng)計圖.注意：在扇形統(tǒng)計圖中，扇形圓心角的度數(shù)該統(tǒng)計項目占總體的百分比360.3.頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖在記錄數(shù)據(jù)時，某個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值稱為頻率.頻數(shù)分布表由分組、頻數(shù)劃記、頻數(shù)組成.根據(jù)頻數(shù)分布表

21、繪制頻數(shù)分布直方圖.注意：扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖，雖然各有不同的特點，但它們都能從不同的角度清楚、有效地描述數(shù)據(jù).（二）數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度1.平均數(shù)（1）平均數(shù)：一般的，如果有個數(shù)，那么，(+)叫做這個數(shù)的平均數(shù)，讀作“拔” （2）加權平均數(shù)：如果個數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次(這里)，那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這個數(shù)的平均數(shù)可以表示為，這樣求得的平均數(shù)叫做加權平均數(shù)，衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做權.（3）用計算器求平均數(shù)2. 中位數(shù)和眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次

22、數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)注意：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的求中位數(shù)時，必須先將這組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么，最中間的一個數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，那么最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3.方差方差的計算方差是用來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小4.極差 每組數(shù)據(jù)中，最大值與最小值的差叫做極差。5.標準差 在統(tǒng)計中，也用方差的算術平方根來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差。標準差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同。（三）認識概率1.確定事件與

23、隨機事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件，肯定它一定會發(fā)生的事件是必然事件，無法確定它會不會發(fā)生的事情是隨機事件.注意：（1）三種事件的前提是“一定條件下”；（2）隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.2.可能性的大小一般地，隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.3.頻率與概率隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個事件的概率.用頻率估計一個隨機事件的概率.4.等可能條件下的概率如果事件在一次試驗中各種結果出現(xiàn)的可能大小是相等的，那么我們就說它是等可能事件.一般地，如果一次試驗有n個等可能的結果，當其中的m個結果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那

24、么事件A發(fā)生的概率P（A）=注意：（1）m是事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結果數(shù)，n是所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù).（2）用概率公式計算概率，必須符合一個前提條件，即事件發(fā)生的可能性相同.不能簡單認為有幾種情況，不加思考認為它們一定等可能等可能事件的概率算法是概率計算的重要基礎（3）用列舉法分析事件發(fā)生的所有可能情況的結果數(shù)一般有列表和畫樹狀圖兩種方法（4）盡管隨機事件在每次實驗中發(fā)生與否具有不確定性，但只要保持實驗條件不變，那么這一事件出現(xiàn)的頻率就會隨著實驗次數(shù)的增大而趨于穩(wěn)定這個穩(wěn)定值就可以作為該事件發(fā)生概率的估計值（四）統(tǒng)計和概率的簡單應用1、用簡單隨機抽樣的方法做調(diào)查.2、決策時要全面綜合考慮各種因素

25、，“貨比三家”.3、運用統(tǒng)計分析做預測.4、抽簽方法的合理性.5、運用概率做估計.6、概率論是保險業(yè)健康發(fā)展的理論基礎.七、線段、角（一）線段、射線、直線1.線段的性質(zhì)（基本事實）：兩點之間線段最短2.直線的性質(zhì)（基本事實）：兩點確定一條直線.3.兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離4.線段垂直平分線垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等逆定理：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上（二）角1.角的相關概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊角也可

26、以看成是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形.2.角的度量：=,=3.用直尺和圓規(guī)畫一個角等于已知角.4.角平分線從一個角的頂點出發(fā)引一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線角的平分線有下面的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊距離相等逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上5.余角、補角、對頂角如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中一個角叫另一個角的余角；如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角，簡稱互補，其中一個角叫另一個角的補角.兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公

27、共邊的兩個角叫做對頂角 它們的性質(zhì)分別是：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等；對頂角相等.6.運用概率做估計7.概率論是保險業(yè)健康發(fā)展的重要理論基礎.八、平行、垂直（一）平行1.平行線的概念在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線在同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行2.基本事實：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線相互平行 3.平行線的判定同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行4.平行線的性質(zhì)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補（二）垂

28、線1.垂直的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個是直角，那么這兩條直線互相垂直，互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足.2.垂線的性質(zhì)： （1）基本事實：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直（2）直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短簡稱：垂線段最短（3）直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.（三）證明1.命題：判斷一件事情的句子叫做命題注意：命題的定義包括兩層涵義：命題必須是一個完整的句子；這個句子必須對某件事情做出判斷例如：“直角都相等” ，“相等的角是對頂角”等都是命題“連結P、Q兩點” 、“過點p作直線l”等都不是命題2.真假命題：如果條件成立，那么結論成

29、立，這樣的命題是真命題；如果條件成立，但結論不成立，這樣的命題是假命題.3.互逆命題：兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.4.證明：根據(jù)已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫做證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.九、三角形（一）三角形的主要線段在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線注意兩點：（1）一個三角形有三條角平分線，并且相交于三角形內(nèi)部一點；（2）三角形的角平分線是一條線段，而角的平分線是一條射線在三角形中，連接一

30、個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線一個三角形有三條中線，并且相交于三角形內(nèi)部一點，這點叫做三角形的重心； 重心的性質(zhì)：重心到頂點的距離與它到對邊中點的距離之比為2：1.從三角形一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高 注意：三角形的高不一定都在三角形的內(nèi)部.（二）三角形的分類及角邊關系1.三角形的分類按邊的關系可以分為：按角的關系可以分為：2.三角形的三邊關系定理及推論三角形三邊關系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊推論：三角形兩邊之差小于第三邊三角形三邊關系定理及推論的作用： 判斷三條已知線段能否組成三角形當已知兩邊時，可確定第三邊的

31、范圍 證明線段不等關系3.多邊形的內(nèi)角和與外角和三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180 n邊形的內(nèi)角和等于（n2）180，多邊形的外角和等于360.（三）全等三角形1.全等三角形的概念能完全重合的圖形叫做全等圖形能完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等，對應角相等.3.三角形全等的判定（1）基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS” （2）基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”推論：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS” .（3）基本事實

32、：三邊分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS” )直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）（四）等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角)等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合，簡稱“三線合一”.等邊三角形的各角都等于2.等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡寫成：等角對等邊).推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是的等腰三角形是等邊三角形注意：邊長為a的等邊三角形的高等于，面積等于，在解題中直接運用這兩個結論，能使解題過程更

33、為簡捷.（五）直角三角形1.直角三角形的性質(zhì)（1）直角三角形兩銳角互余 即：（2）直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半 即：（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 即：（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即：（C為直角） 注意：此定理揭示了直角三角形三邊關系，蘊含了數(shù)形結合思想，是從圖形到數(shù)量的關系，常用來求線段的長（5）射影定理：(記住結論,知道證明方法，但在證明題中不能直接應用) 即：2.直角三角形的判定（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形（2）勾股定理逆定理：如果三角形三邊長有下面關系：，那么這個三角形是直角三角形其中邊c所對的角為直角.3.銳角三角函數(shù)

34、的概念如圖，在中，我們把銳角A的（1）對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作， 即：；（2）鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即：；（3）對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即：；說明：當固定時，的正弦值，余弦值，正切值都是固定的，這些值與的兩邊長短的變化無關銳角A的正弦、余弦、正切都叫做的銳角三角函數(shù)由于銳角三角函數(shù)都是線段的比值，因而都是正數(shù)，而且沒有單位4.特殊角的三角函數(shù)值特殊角度()的三角函數(shù)值：三角函數(shù)15.銳角三角函數(shù)的增減性(1)銳角的正弦值隨著角度的增大而增大；(2)銳角的余弦值隨著角度的增大而減小；(3)銳角的正切值隨著角度的增大而增大.6.解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5

35、個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形7.解直角三角形的應用仰角、俯角：如圖，進行測量時，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角 十、平行四邊形（一）平行四邊形1.平行四邊形的定義: 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 2.平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.平行四邊形是中心對稱圖形3.平行四邊形的判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形注意：由定義，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（

36、二）矩形1.矩形的定義: 有一個角是直角的平行四邊形是矩形2.矩形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì) (2)矩形的四個角都是直角(3)矩形的對角線相等 (4)矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形3.矩形的判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形注意：還可以利用矩形的定義判定.（三）菱形1.菱形的定義: 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2.菱形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì) (2)菱形的四條邊都相等(3)菱形的對角線互相垂直 (4)菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.3.菱形的判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

37、注意：（1）還可以用菱形的定義判定；（2）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個條件它才是菱形；（3）菱形面積底高對角線乘積的一半事實上，對角線互相垂直的四邊形的面積都等于對角線乘積的一半.（四）正方形1.正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形從正方形的定義可知正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四邊形是正方形矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關系如右圖：2.正方形的性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的一切性質(zhì).3.正方形的判定定理1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理2：有一個角是直角

38、的菱形是正方形.注意：由定義，先證它是平行四邊形，再證有一組鄰邊相等且有一個角是直角.（五）梯形梯形的相關概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形兩腰相等的梯形叫做等腰梯形一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（六）三角形的中位線1.三角形的中位線的概念連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線注意：三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形要會區(qū)別三角形的中線與中位線2.三角形中位線定理三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半結論2：三條中位線將原三角形分割

39、成四個全等的三角形結論3：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分（不可直接應用）十一、圖形的變換（一）平移、旋轉的概念和性質(zhì)1.定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平 移，平移不改變圖形的形狀、大小.在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉，這個定點稱為旋轉中心，旋轉的角度稱為旋轉角，圖形的旋轉不改變圖形的形狀、 大小.2.性質(zhì)：（1）平移和旋轉前、后的圖形全等.（2）一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等.（3）一個圖形和它經(jīng)過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等

40、，兩組對應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等.（二）軸對稱和中心對稱1.軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義 把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸一個圖形繞某一個點旋轉，如果它能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心2.軸對稱和中心對稱的比較注意：軸對稱圖形與兩個圖形成軸對稱的區(qū)別；中心對稱圖形與兩個圖形成中心對稱的區(qū)別.3.性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等；成中心對稱的兩個圖形全等；（2）成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分；（3）成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線過對稱中心，

41、且被對稱中心平分.（三）圖形的相似1.圖上距離與實際距離（1）圖上距離與實際距離的比叫做比例尺（2）在四條線段中，如果兩條線段的比等于另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段（3）比例的基本性質(zhì)；特別地b叫做a和c的比例中項.如果，那么（合比性質(zhì)）.如果，那么（分比性質(zhì)）.2.黃金分割點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點B黃金分割，點B叫做線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比稱為黃金比，其中0.618AC注意：一條線段上有兩個黃金分割點.3.相似圖形（1）相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似形.（2）相似多邊形的概念和性質(zhì)各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形

42、，它們的形狀相同，稱為相似多邊形相似多邊形對應角相等，對應邊成比例相似多邊形對應邊的比叫做相似比注意：對應性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊順序性：相似三角形的相似比是有順序的（3）三角形相似的判定定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似用數(shù)學語言表述是： ， 注意：此定理的證明依據(jù)是以下基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似（4）相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應角相等，對應邊成比例相似三角形對應線段的比等于相似比相似三角形周長的比等于相似比，相似多邊形周長的比