控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、第三章 控制系統(tǒng)時(shí)域分析法,動態(tài)性 3.1 典型系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 3.2 零、極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響 穩(wěn)態(tài)性3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)定性3.4 勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),瞬態(tài)響應(yīng)（動態(tài)響應(yīng)） 是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時(shí)刻起，到穩(wěn) 定狀態(tài)為止，隨時(shí)間變化的過程。 瞬態(tài)響應(yīng)分析方法： 1. 直接求解法 一階和二階系統(tǒng) 2. 間接評價(jià)法 高階系統(tǒng) 3. 計(jì)算機(jī)仿真法 高階系統(tǒng),3.1 系統(tǒng)的瞬態(tài)（動態(tài)）響應(yīng)及性能指標(biāo),1、階躍信號,3.1.1 典型輸入信號,當(dāng)A=1時(shí)，則稱為單位階躍信號。,2、斜坡信號,當(dāng)A=1時(shí)，則稱為單位斜坡信號。,3、拋物線信號,當(dāng)A =1時(shí)，則稱

2、為單位拋物線信號。,4、脈沖信號 單位脈沖信號的表達(dá)式為：,當(dāng)e 趨于零時(shí)就得理想的單位脈沖信號(亦稱 d(t) 函數(shù))。,其中A為幅值，w =2p/T為角頻率。,5、正弦信號,系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對單位階躍輸入信號的響應(yīng)特性來衡量。,3.1.2 系統(tǒng)性能指標(biāo),1、最大超調(diào)量sp響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大 值，常以百分比表示，即,最大超調(diào)量說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,2. 峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的 時(shí)間，定義為峰值時(shí)間。 3.延滯時(shí)間td響應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值50%所需的時(shí)間，稱為延滯時(shí)間。,4. 上升時(shí)間tr反映動態(tài)初期的快慢，有2種定義： (1) 響應(yīng)曲線

3、從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時(shí)間； (2) 響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(2)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。,5. 調(diào)整時(shí)間ts響應(yīng)曲線從零開始到進(jìn)入誤差 允許范圍內(nèi)所需時(shí)間。 誤差允許范圍通常用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分?jǐn)?shù)給出，如穩(wěn)態(tài)值的95%105%（或98%102%。,1、一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),3.1.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析階躍輸入作用下,其中 是開環(huán)時(shí)間常數(shù)，K為開 環(huán)放大系數(shù)。,開環(huán)傳遞函數(shù)為,該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,其中,(T0)為閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù),閉環(huán)放大系數(shù)。,取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,r(t)=1(t)或R(s)=

4、1/s，輸出響應(yīng)的拉氏變換為：,1）響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值 所謂穩(wěn)態(tài)，就是在t時(shí)，輸出響應(yīng)的值,K越大，c()越 1,但K不可能為無窮大，表明系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差,系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為,2）響應(yīng)的瞬態(tài)過程,對響應(yīng)c(t)求導(dǎo)數(shù),單調(diào)下降，即表明在t=0時(shí)c(t)變化率最大,當(dāng)t= T時(shí)，c1(t)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值,t = T， c(1T) = 0.632 c() t = 3T， c(3T) = 0.950c() t = 4T， c(4T) = 0.982c() 響應(yīng)曲線在經(jīng)過3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時(shí)間后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。所以ts=3T （5%誤差）或ts= 4T （2%誤差）,3）穩(wěn)定性 當(dāng)T0,系統(tǒng)發(fā)散，

5、不穩(wěn)定,結(jié)論：,動態(tài)沒有超調(diào)，即sp0； ts3T（95） 或 ts4T（98） tr=2.2T （10%到90%） td=0.69T 其中,當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為正數(shù)（即T0)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,存在穩(wěn)態(tài)誤差，K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小,閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù),2、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng),其中z 稱為阻尼比，wn稱為無阻尼自然振蕩頻率.,r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應(yīng)的拉氏變換為：,二階系統(tǒng)的特征方程為,當(dāng) 1,當(dāng) 1,為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)01時(shí),為一對共軛的復(fù)數(shù)根,其中,稱為有阻尼振蕩頻率,當(dāng) 0,為一對共軛的虛數(shù)根,當(dāng)0,1）z ，稱為過阻尼情況 此時(shí)，系統(tǒng)有兩

6、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,拉氏反變換,對于單位階躍輸入,響應(yīng)曲線如圖,穩(wěn)態(tài)：c ()=1 e ()=0 特征：無超調(diào)；,其中有兩項(xiàng)為指數(shù)衰減，,靠近虛軸，起主導(dǎo)作用,靠近虛軸的極點(diǎn)1對系統(tǒng)響應(yīng)影響更大一些。,例,如果z ,系統(tǒng)可近似為一階環(huán)節(jié)，極點(diǎn)為,實(shí)際上一般誤差精度情況下，當(dāng)1.5時(shí)，系統(tǒng)可近似為一階環(huán)節(jié)。,2） z =，稱為臨界阻尼情況 此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)特征根： s1= s 2= -wn 根的分布如圖,系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,取C(s)的拉氏反變換，求得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為,特征：它既無超調(diào)，也無振蕩，是一個(gè)單調(diào)的響應(yīng)過程；且一般上升速度比過阻尼快。 穩(wěn)態(tài)誤差也為零。,響應(yīng)曲

7、線如圖所示，,3）0 1，稱為欠阻尼情況 有一對共軛復(fù)數(shù)根,式中,稱為有阻尼振蕩頻率。,單位階躍信號r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為,對上式求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)：,令,那么,根的分布為,特征： 它是一衰減的振蕩過程； 其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率d； 而其幅值則按指數(shù)曲線（響應(yīng)曲線的包絡(luò)線）衰減，兩者均由參數(shù)和 n決定。,系統(tǒng)的誤差為：,當(dāng)t時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差e ()。,s1,2= jwn,4） =，稱為無阻尼情況 系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即,此時(shí)單位階躍響應(yīng)為,特征： 它是一等幅振蕩過程，其振蕩頻率就是無阻尼自然振蕩頻率wn 。 沒有穩(wěn)態(tài)，稱為臨界穩(wěn)定,5）z

8、 -1時(shí)，系統(tǒng)呈振蕩發(fā)散； 當(dāng)z-1時(shí)，系統(tǒng)呈指數(shù)發(fā)散；,根據(jù)以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位 階躍響應(yīng)曲線族,如圖所示。,由圖可見，在特定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)。,3、欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo),1）上升時(shí)間tr（從0到100%c()） 令c(tr)=1，就可求得,結(jié)論： tr與有阻尼振蕩頻率wd成反比。因此wd應(yīng)當(dāng)越大越好。 一定，wn必須加大； 若wn為固定值，則越小，tr也越小。,2）峰值時(shí)間tp,對c(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到,結(jié)論：峰值時(shí)間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比； 當(dāng)wn一定, 越小，tp也越小。,到

9、達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)，n=1,所以,3）最大超調(diào)量sp,t= tp代入上式，可得到最大百分比超調(diào)量,結(jié)論： 最大百分比超調(diào)量完全由決定； z越小，超調(diào)量越大。 當(dāng)z =時(shí)，sp %= 100%， 當(dāng)z =時(shí)，sp % =。,4） 調(diào)節(jié)時(shí)間ts,根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間ts的定義,其中為誤差范圍,是衰減曲線的包絡(luò)線，所以上式可寫為,對上式兩邊求自然對數(shù)可得,取0.02時(shí)，,取0.05時(shí)，,如果z 0.9范圍內(nèi)，,0.02,如果z 0.9范圍內(nèi)，,或,或,二階結(jié)論：,如何選取z和wn來滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求，總結(jié)幾點(diǎn)如下： 當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必須減少z值，要減少ts則應(yīng)增大zwn值，而且z值有一定范圍，不能過

10、大。 增大wn ，能使tr ， tp和ts都減少。 最大超調(diào)量sp只由z決定, z越小，sp越大。 所以，一般根據(jù)sp 的要求選擇z值，通過調(diào)整系統(tǒng)的n ，改變調(diào)整時(shí)間ts ;在實(shí)際系統(tǒng)中，z值一般在0.40.8之間.,例 已知系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為p20%，tp1秒。試確定系統(tǒng)的K值和A值，并計(jì)算過渡過程的特征量tr 、 ts值。,與具有標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)相比較得,首先由給定的p求取相應(yīng)的阻尼比，即由,解得0.456,及,解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為,其次由已知條件tp1求取無阻尼自然振蕩頻率n， 即由,解得n 3.53弧度/秒,再次由,解得K12.5,以及由2 n 1KA解得,最

11、后計(jì)算得,初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，在輸入信號r(t)的作用下,3.1.4 線性定常系統(tǒng)重要特性,重要特性 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出為原來輸出的導(dǎo)數(shù)； 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的積分時(shí)，系統(tǒng)的輸出為原來輸出的積分；積分常數(shù)由零初始條件決定。,其拉氏變換為,系統(tǒng)的輸出為,若系統(tǒng)的輸入為,那么,可以利用已求出的階躍響應(yīng)求脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。,以一階系統(tǒng)為例,階躍響應(yīng)為,脈沖響應(yīng)為,斜坡響應(yīng)為,線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具有此特性。,C為積分常數(shù),解出,所以斜坡響應(yīng)為,3.2 零極點(diǎn)對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響,式中q+2l=m，k+2r=n。,實(shí)際的控制系統(tǒng)，多數(shù)是高于二階

12、的系統(tǒng)，即高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式,將上式寫成為零極點(diǎn)的形式，則,高階系統(tǒng)的響應(yīng)是由慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)(二階系統(tǒng))的單位階躍響應(yīng)構(gòu)成; 各分量的相對大小由系數(shù)Ci、Ai、和Bi決定；所以了解了各分量及其相對大小，就可知高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。,不失一般性，若沒有重極點(diǎn)，則,當(dāng)某極點(diǎn)-pi靠近零點(diǎn)，而遠(yuǎn)離其它極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)Ci越??； 若一對零極點(diǎn)互相很接近，則在輸出c(t)中與該極點(diǎn)對應(yīng)的分量就幾乎被消除。,當(dāng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 各分量的衰減快慢由-pi、 zniwni決定，也即系統(tǒng)極點(diǎn)在S平面左半部離虛軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)的分量衰減越快。 各分量所對應(yīng)的系數(shù)決定于系統(tǒng)的零、極

13、點(diǎn)分布。,若某極點(diǎn)-pi遠(yuǎn)離零點(diǎn)、越接近其它極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)Ci越大；該瞬態(tài)分量影響也就越大。 系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。 結(jié)論： 對于系數(shù)很小（影響很?。┑姆至?、遠(yuǎn)離虛軸衰減很快的分量常?？梢院雎裕蚨唠A系統(tǒng)的性能就可用低階系統(tǒng)來近似估計(jì)。 將靠近虛軸衰減慢的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。,例如以下一個(gè)五階系統(tǒng),可近似看成以s1、s2為主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)。,3.3 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量，它表達(dá)了系統(tǒng)反饋值與希望輸出值之間的最終偏差； 穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)對典型輸入信號（包括擾動信號）作用下的穩(wěn)態(tài)誤差； 穩(wěn)態(tài)誤差受什么因素影響，如何降低系統(tǒng)的

14、穩(wěn)態(tài)誤差；,3.3.1 穩(wěn)態(tài)誤差的概念,1、穩(wěn)態(tài)誤差定義： 如圖,對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差可寫為,穩(wěn)態(tài)誤差定義為,誤差的定義e(t),誤差信號e(t)與輸入信號r(t)之間的傳遞函數(shù)為,根據(jù)終值定理，穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)。,當(dāng)輸入信號的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將只取 決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。,2、控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類,若控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,說明系統(tǒng)有N個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，或表示在s=0處，有N重極點(diǎn)，因此稱系統(tǒng)為N型系統(tǒng)。 當(dāng)N=0， 1， 2，時(shí)，則分別稱之為0型、 1型、 2型系統(tǒng),3.3.2 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,計(jì)算不同參考輸入信號時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤

15、差 1、單位階躍輸入 系統(tǒng)參考輸入為單位階躍函數(shù)，R(S)=1/s,令,稱Kp為位置誤差系數(shù),對于0型系統(tǒng)：N0,開環(huán)放大系數(shù),這種沒有積分環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)，階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一固定值 K愈大，ess愈小 ，稱為有差系統(tǒng) 。,對于1型系統(tǒng)或1型以上系統(tǒng)：N1,對階躍輸入而言, 1型系統(tǒng)或1型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差；,0型系統(tǒng)可通過增大K值減小穩(wěn)態(tài)誤差或增加型號數(shù)消除穩(wěn) 態(tài)誤差。,2、單位斜坡輸入,令,稱Kv為速度誤差系數(shù)，此時(shí),對于0型系統(tǒng)：N0,這種沒有積分環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)，對于等速度輸入(斜坡輸入)不能緊跟，最后穩(wěn)態(tài)誤差為；,對于1型系統(tǒng)：N1,開環(huán)放大系數(shù),具有單位反饋的1型系統(tǒng)，其輸出能跟

16、蹤等速度輸入，但 總有一定誤差；其穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比。,對等速度輸入而言,2型系統(tǒng)或2型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差； 對等速度輸入，要使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差定或?yàn)榱悖匦鐽1。 也即必須有足夠的積分環(huán)節(jié)數(shù)。,對于2型系統(tǒng)或2型以上系統(tǒng)：N2,2、單位拋物線輸入,令,稱Ka為加速度誤差系數(shù)，此時(shí),對于0型或1型系統(tǒng)：N0，1,0型或1型系統(tǒng)，對于等加速度輸入(拋物線輸入)不能緊跟，最后穩(wěn)態(tài)誤差為；,對于2型系統(tǒng)：N2,開環(huán)放大系數(shù),具有單位反饋的2型系統(tǒng)，其輸出能跟蹤等加速度輸入，但 總有一定誤差；其穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比。,對等加速度輸入而言,3型系統(tǒng)或3型以上系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差； 對等加速度輸入，要使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤

17、差定或?yàn)榱悖匦鐽2。 也即必須有足夠的積分環(huán)節(jié)數(shù)。,對于3型系統(tǒng)或3型以上系統(tǒng)：N3,小結(jié) 應(yīng)當(dāng)記住位置誤差、速度誤差和加速度誤差這些術(shù)語意味著穩(wěn)態(tài)時(shí)在輸出位置上的偏差。,例 已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖 所示，當(dāng)參考輸入為 時(shí)，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。,解 :系統(tǒng)a為1型系統(tǒng)， 其Ka=0，不能跟隨r(t)的3t2分量， 所以 ess= 系統(tǒng)b為2型系統(tǒng)， 其 Ka= K=10/4， 所以 ess =6/ Ka= 2.4 當(dāng)輸入為階躍、斜坡和拋物線函數(shù)的組合時(shí)，拋物線函數(shù)分量要求系統(tǒng)型號最高；計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)按最高階輸入形式計(jì)算。,3.3.3 主擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差,假如主擾動n(t)的作用點(diǎn)如

18、圖所示：,例,分別計(jì)算當(dāng)r(t)和n(t)為階躍輸入時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 解：,系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，即,當(dāng)n(t)=1(t)時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差不為零,若,當(dāng)n(t)=1(t)時(shí),對于擾動的穩(wěn)態(tài)誤差等于零,系統(tǒng)還是I型系統(tǒng)，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，對于參考輸入穩(wěn)態(tài)誤差 仍然為零，即,擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差 不僅與積分環(huán)節(jié)有關(guān)； 而且還與積分環(huán)節(jié)所在位置有關(guān)。,若擾動為階躍函數(shù)n(t)=1(t)，則,當(dāng),擾動作用點(diǎn)以前的系統(tǒng)前向通道傳遞系數(shù)G1(0)越大， 由一定擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。 對于要求無差系統(tǒng)，應(yīng)該擾動作用點(diǎn)以前的G1(s)中包 含積分環(huán)節(jié)，才能保證穩(wěn)態(tài)誤差為零。

19、,結(jié)論： 關(guān)于降低或消除穩(wěn)態(tài)誤差的問題,降低參考輸入引起穩(wěn)態(tài)誤差的措施： 增大系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)可減小有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； 增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)數(shù)，使系統(tǒng)型號提高，可消除有差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差； 降低擾動引起穩(wěn)態(tài)誤差的措施： 增大擾動作用點(diǎn)以前的前向通道傳遞系數(shù)以降低有差系統(tǒng)由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差。 增加擾動作用點(diǎn)以前的前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)，使系統(tǒng)型號提高，可消除有差系統(tǒng)由擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差；,3.4 穩(wěn)定性,明確穩(wěn)定性的含義 明確線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件 勞斯判據(jù) 兩種特殊情況如何處理 勞斯判據(jù)的應(yīng)用,3.4.1 穩(wěn)定性的概念,擺的示意圖 平衡點(diǎn)“a” 穩(wěn)定的平衡點(diǎn)； 平衡點(diǎn)“d” 不穩(wěn)定的平

20、衡點(diǎn)； 穩(wěn)定性與初始位置有關(guān)。,運(yùn)動小球 平衡點(diǎn)“a”：當(dāng)小球的起始偏差不超出區(qū)域d、e,為穩(wěn)定平衡點(diǎn) 當(dāng)小球的起始偏差超出區(qū)域d、e,為不穩(wěn)定平衡點(diǎn),穩(wěn)定性是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的，與外界輸入無關(guān)。 穩(wěn)定性的定義有很多種，介紹兩種： 定義一： 在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。此時(shí)系統(tǒng) 稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱BIBO穩(wěn)定。 定義二： 就是指系統(tǒng)當(dāng)擾動消失后，若系統(tǒng)能夠恢復(fù)平衡狀態(tài)，則 稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若擾動消失后不能恢復(fù)平衡狀態(tài)，而偏 差越來越大則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 表征了系統(tǒng)由初始偏差狀態(tài)回復(fù)平衡狀態(tài)的性能。,1、穩(wěn)定性的定義,系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式來分析。,這時(shí)，在

21、任何初始條件下，若滿足,則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,(*),2、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 假如單輸入單輸出系統(tǒng)是由輸入輸出微分方程式來描述的,設(shè)上式有k個(gè)實(shí)根pi (i1，2，k)， r對共扼復(fù)數(shù)根(iji) ，(i=1，2，r)，且k+2r=n，則齊次方程的解的 一般式為,式中系數(shù)Ai、Bi和Ci由初始條件決定。,若所有pi0，i0(即都是負(fù)數(shù))，則(*)滿足，系統(tǒng)最終能恢復(fù)至平衡狀態(tài)，所以是穩(wěn)定的 ; 或所有pi0，i0，i0，則系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，輸出按指數(shù)曲線衰減； 若pi或i中有一個(gè)或一個(gè)以上是正數(shù)，則條件式(*)不滿足，t時(shí)偏差越來越大，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的; 只要pi中有一個(gè)為零，或i中有一個(gè)為零(

22、即有一對虛根)，則式(*)不滿足，系統(tǒng)輸出或者為一常值，或者為等幅振蕩，不能恢復(fù)原平衡狀態(tài)。這時(shí)稱系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 所有的特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的 實(shí)部。也就是它的所有極點(diǎn)均在S 平面的左半部分。,3.4.2 勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù),1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步鑒別 已知系統(tǒng)的特征方程式如下：,式中所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)；并設(shè)an0，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 是所有系數(shù)均為正數(shù) 。 如果有負(fù)系數(shù)或零系數(shù)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定,設(shè)an.0，各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)。,2、勞斯判據(jù) 1877年提出的代數(shù)判據(jù) ，無需求解特征方程。,sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 a

23、n-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 sn-2 d1 d2 d3 s1 f1 s0 g1,表中,直至bi項(xiàng)均為零，再計(jì)算下一行,1）列寫勞斯表,2）考察勞斯表左端第一列各數(shù)的符號,直至ci項(xiàng)均為零； 依次計(jì)算，直到算到s0行為止。,sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 an-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 s0 g1,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是： 勞斯行列表左端第一列各數(shù)均為正數(shù)。,若各數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定； 若有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 第一列符號變化的次數(shù)，即為右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù),為了數(shù)學(xué)上運(yùn)算簡化，可以

24、將一行中所有各數(shù)均乘一個(gè)正整數(shù)，不影響穩(wěn)定性判斷。,例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：,用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。,s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 s1 -6 s0 5 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 且有兩個(gè)不穩(wěn)定根；,例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：,用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,s4 1 1 1 s3 3 3 0 s2 0 1,s1 (3-3)/ s0 1 因?yàn)?3-3)/0,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定； 且有兩個(gè)不穩(wěn)定根；,當(dāng)某行第一列元素為零，而其余元素不全為零時(shí)，將第一列零元素設(shè)為， 為非常小的正數(shù)。,例 設(shè)有下列多項(xiàng)式：,用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)。,s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 0

25、0 0,s2 24 50 s1 112.7 0 s0 50 只有一個(gè)不穩(wěn)定根；,當(dāng)某行出現(xiàn)全零行時(shí)，將建立輔助多項(xiàng)式。,8 96 0,出現(xiàn)全零行時(shí)意味著存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的極點(diǎn),以全零行上一行系數(shù)建立輔助多項(xiàng)式P(s),前面三個(gè)例子就是已知系統(tǒng)，分析其穩(wěn)定性系統(tǒng)分析； 當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)某些參數(shù)可調(diào)整，根據(jù)穩(wěn)定性的要求確定參數(shù) 范圍系統(tǒng)設(shè)計(jì) ；,3、穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn) 相對穩(wěn)定性：是指在穩(wěn)定的情況下有多少穩(wěn)定裕量。 特征方程的左半平面的根越靠近虛軸穩(wěn)定性越差，穩(wěn)定裕量越小，相對穩(wěn)定性越差；,即把虛袖左移a,將上式代入特征式，得以z為變量的新的特征方程式， 然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個(gè)根位于新虛軸(垂直線s=-a)的右邊。 如果所有根均在新虛軸的左邊(新勞斯行列表第一列均為正數(shù))，則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量a。,可移動s平面的坐標(biāo)軸，然后再應(yīng)用勞斯判據(jù)。 令 s=z-a,例 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定K的范圍,解：首先寫出閉環(huán)特征方程,s4 1 3 K s3 3 2 0 s2 7/3 K s1 2-9K/7 0 s0 K,要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須第一列所有元素為正，,例 檢驗(yàn)特征方程式，2s3+10s2+13s+4=0 是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾