高三數(shù)學教案平面向量與圓錐曲線的綜合問題

1、平面向量與圓錐曲線的綜合問題2例 1已知 f1、f2 分別是橢圓xy21 的左、右焦點 .45（）若p 是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點，pf1 ? pf2，求點 p 的作標；4（）設(shè)過定點 m（ 0，2）的直線 l 與橢圓交于同的兩點 a、b，且 adb 為銳角（其中 o 為作標原點），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍 .解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力（）易知 a2 ， b1 ， c3 f1 (3,0) ， f2 (3,0) 設(shè) p( x, y) ( x0, y0) 則pf1 pf2(3 x, y)( 3 x, y) x2y2

2、35 ，又 x2y21 ，44x2y27x21x134 ，解得3 ， p(1,聯(lián)立223) xy21y4y224（）顯然 x0 不滿足題設(shè)條件可設(shè)l 的方程為 ykx2 ，設(shè) a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) 聯(lián)立x2y21x24(kx2)24(14k2) x216kx1204ykx 2 x1x21122 ， x1x2116k2由(16k)24 (1 4k2 ) 1204k4k16k 23(14k2 )0，4k 230， 得 k 23 又aob 為 銳 角4cos aob0oa ob0 ， oa obx1x2y1 y20又 y1 y2( kx12)( kx22) k 2

3、x1x22k (x1x2 ) 4x1x2y1 y2(1 k 2 ) x1 x22k (x1 x2 ) 4(1 k 2 )1222k (16k2 )414k14k第- 1 -頁共 7頁12(1k2 ) 2k16k44(4k 2 )124 1 4k 21 4k 21 4k 20k4綜可知 3k 24 ， k 的取值范圍是 (2,3 )(3 , 2)422例 2 已知正三角形 oab 的三個頂點都在拋物線22x 上，其中o 為坐標原點，設(shè)圓c 是yoab 的內(nèi)接圓（點 c 為圓心）（ i）求圓 c 的方程；（ ii）設(shè)圓 m 的方程為 (x47cos)2( y7cos) 21 ，過圓 m 上任意一點

4、p 分別作圓 c 的兩條切線 pe，pf ，切點為 e，f ，求 ce ?cf 的最大值和最小值本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力滿分14 分（ i）解法一：設(shè)a，b 兩點坐標分別為y12， y1，y22， y2，由題設(shè)知22y22y22y2y222221y21y212( y1y2 )2222解得 y12y2212 ，所以 a(6，23) ， b(6， 23) 或 a(6， 23)， b(6，23) 設(shè)圓心 c 的坐標為 (r，0) ，則 r2 64，所以圓 c 的方程為 ( x4)2y2163解法二：設(shè)a， b 兩點坐標分別為

5、( x1，y1 ) ， (x2， y2 ) ，由題設(shè)知x12y12x22y22 又因為 y122x1 ， y222x2 ，可得 x122x1x222x2 即(x1x2 )( x1x2 2)0 由 x10 ， x20 ，可知 x1x2，故 a，b 兩點關(guān)于 x 軸對稱，所 以 圓 心 c 在 x 軸 上 設(shè) c 點 的 坐 標 為 ( r，0) ， 則 a 點 坐 標 為3 r， 3 r， 于 是 有223 r23 r ，解得 r 4 ，所以圓 c 的方程為 ( x 4) 22y 21622（ ii）解：設(shè)ecf2a ，則 ce cf | ce | | cf | cos 216cos 232co

6、s 216 在 rt pce中， cosx4，由圓的幾何性質(zhì)得| pc | pc |第- 2 -頁共 7頁| pc | mc |17 18 ， | pc | mc |1716，所以1 cos 2 ，由此可23得8 ce cf 16 則 ce cf 的最大值為16 ，最小值為8 99例 3 已知 f (1，0)，直線 l : x1， p 為平面上的動點，過點p 作 l 的垂線，垂足為點q ，且 qp ?qf fp ? fq （ ）求動點 p 的軌跡 c 的方程；（ ）過點 f 的直線交軌跡 c 于 a， b兩點，交直線 l 于點 m （ 1）已知 ma1 af ，mb2bf ，求 12 的值；（

7、2）求 ma mb的最小值y解法一：（）設(shè)點 p(x， y) ，則 q(1， y) ，由 qp qffp fq 得：qpb(x 1，0)(2， y)(x 1， y) (2， y) ，化簡得 c : y24x （）（1）設(shè)直線 ab 的方程為：ofx1， 2ax my1(m0) 設(shè) a(x1， y1) ， b( x2， y2 ) ，又 m，mmy2，224xx得：，聯(lián)立方程組，消去y 4my40( 4m) 120x，my 1y1 y2，224m1 af mb2 bf 得： y11 y1 y22 y2y1 y2 由， mamm4整理得：1212221122 y1y212my212m y1y2m y

8、1 y2my122 4m0m 4解法二：（）由 qp qffp fq 得： fq ( pqpf )0 ， ( pq pf ) ( pq pf ) 022pfpqpf 0 pq所以點 p 的軌跡 c 是拋物線，由題意，軌跡c 的方程為： y24x （）（1）由已知 ma1 af ， mb2 bf ，得1 20 第- 3 -頁共 7頁ma1afa，b 分 作準 l 的垂 ，垂足分 a1 ， b1 ， ： 點mb2bfmaaa1af1afaf2 0 有：由得：，即1bb1bfbfmb2bf1 m22（）（2）解：由解法一，mamby1 ymy2ym2) y1 y2ym ( y122242) 44(1

9、 my2 ) ym(1 m ) 44mm2(1 m2mm4(2 m2122 m2121，即 m 1 等號成立，所2 ) 4216 當且 當 mm2mm以 ma mb 最小 16 同步 1 設(shè) f 拋物 y24x 的焦點， a，b，c 拋物 上三點，若fa fbfc0 ， fa fb fc（ b）a9 b6c4d 32 設(shè) f1， f2 分 是雙曲 x2y21 的左、右焦點 若點 p 在雙曲 上， 且 pf1 ? pf20 ，9則 pf1 pf2（ b ） a10b 2 10c 5d 2 53 已知 f1、 f2 是 的兩個焦點 足 mf1 mf 2 0 的點 m 在 內(nèi)部， 離心率的取 范 是

10、（c ）a (0， 1)b (0， 1c (0，2)d 2 ， 1)222x 2y21 的左、右焦點分 121 2af f f4 已知 a 2b2f 、f，且 |ff |=2 c，點 a在 上，112=0 af1 af 2c 2， 的離心率 e=（）3b31c51d2a22235 p是拋物 x 21 ( y1)上的 點，點（），點m 足 pm2ma ， 點m的 2a 0,-1第- 4 -頁共 7頁跡方程是（ a )a） x 2 1 ( y1) （ b） y 21 (x1) （ c） x 21 ( y1) （ d） x 21 ( y 1)63633336 .已知兩點m（ 2，0）、n（ 2，0）

11、，點 p 為坐標平面內(nèi)的動點， 滿足 | mn | | mp |mn np 0，則動點p（ x，y）的軌跡方程為( b)a. y 28xb. y 28xc. y24xd. y 24 x7 設(shè)直線 l 過點 p（ 0，3），和橢圓 x2y21 順次交于 a、b 兩點，若 appb則 的取值94范圍為 _8 已知點 ao, 2 ,b0，4 ，動點 p x, y滿足 pa.pby 28 ，則動點 p 的軌跡方程是 _x22 y _9 橢圓 e 的中心在原點o，焦點在 x 軸上，其離心率e2, 過點 c（ 1,0 ）的直線 l 與3橢圓 e 相交于 a、b 兩點，且滿足點c 滿足 ac 2cb（ 1）

12、用直線 l 的斜率 k ( k 0 ) 表示 oab的面積；（ 2）當 oab的面積最大時，求橢圓 e 的方程。解：（ 1）設(shè)橢圓 e 的方程為 x2y2c21 (a b0 )，由 e =a3a 2b2a2=3b2故橢圓方程 x2 + 3 y2= 3 b2設(shè) a( x1, y1) 、 b( x2, y2), 由于點 c（ 1， 0）分向量 ab 的比為 2，x12 x 21x112( x21)3即y12y2y12 y 203x23y 23b 2整理并化簡得(32+1)2222=0由消去yk+6+3 3byk (x1)xk xk由直線l與橢圓e相交于（ 1 ,y1） ,(2, 2 ) 兩點得：a

13、 xb xy第- 5 -頁共 7頁0恒成立（點 c是 ab的內(nèi)分點）x1x26k 23k21x1 x23k 23b23k21而 s oab1 | y1y2|1 |2 y2y2 |3 | y2 |3 | k( x21) | 3 | k | x2 1| 22222由得 : x2+1=2，代入得： soab =3 | k | (k0)3k213k 21（2）因 oab=3 | k |333,s112323k 23 | k | k |當且僅當 k3 , s oab取得最大值3此時 x1 + x2 = 1,又x12x2= 1 x1=1, x2 = 23將 x1, x2 及 k2=1 代入得 3b2 =

14、5 橢圓方程 x2 + 3 y2 = 5310 在平面直角坐標系xoy 中，經(jīng)過點 (0， 2) 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 x2y 21 有兩個不2同的交點 p 和 q （ i）求 k 的取值范圍； ii）設(shè)橢圓與 x 軸正半軸、y 軸正半軸的交點分別為a，b ，是否存在常數(shù)k ，使得向量 opoq 與 ab 共線？如果存在， 求 k 值；如果不存在，請說明理由解：（）由已知條件，直線l 的方程為 ykx2 ，代入橢圓方程得x2(kx2) 212整理得1k 2x22 2kx102直線 l與橢圓有兩個不同的交點p 和 q 等價于8k24 1k 24k 22 0 ，2第- 6 -頁共 7頁解得 k2或 k