第二章1《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》課件.ppt

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著,大綱要求,理解隨機(jī)變量的概念。 理解離散型隨機(jī)變量的分布律的概念與性質(zhì)。 理解連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的概念與性質(zhì)。 理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。 會(huì)用分布律、概率密度、分布函數(shù)計(jì)算隨機(jī)事件的概率。 掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布。 會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。 了解二維隨機(jī)變量的概念 掌握二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，掌握二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其性質(zhì)，掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度及其性質(zhì)、并用他們計(jì)算有關(guān)事件的概率。 掌握隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，掌握應(yīng)用隨機(jī)變量的

2、獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算的方法。 會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布。,2.1 隨機(jī)變量的概念 2.2 離散隨機(jī)變量 2.3 超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布 2.4 連續(xù)隨機(jī)變量 2.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度 2.7 均勻分布指數(shù)分布 2.8 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.9 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 2.10 二維隨機(jī)變量的邊緣分布 2.11 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 2.12 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容,2.1 隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)變量的定義 隨機(jī)變量的分類,隨機(jī)變量的概念,隨機(jī)變量 在試驗(yàn)的結(jié)果中能取得不同數(shù)值的量，它的數(shù)值是隨試驗(yàn)的結(jié)果而定的，由于試驗(yàn)

3、的結(jié)果是隨機(jī)的，所以它的取值具有隨機(jī)性。,隨機(jī)變量的定義,備注 Xx, Xx, x1Xx2, Xx都是隨機(jī)事件,定義 如果對(duì)于試驗(yàn)的樣本空間 中的每一個(gè)樣本點(diǎn) ，變量X都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則變量X是樣本點(diǎn) 的實(shí)值函數(shù)，記作X X( ). 我們稱這樣的變量X為隨機(jī)變量 隨機(jī)變量通常用希臘字母 或英文大寫字母X，Y來(lái)表示,隨機(jī)變量（實(shí)例）,例1 隨機(jī)的擲一顆骰子，表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，,例2 某人接連不斷地對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊, 直至射中為止，表示射擊次數(shù)，,例3 某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車, 旅客在任意時(shí)間到達(dá)車站, 表示該旅客的候車時(shí)間,隨機(jī)變量的分類,可以取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值,

4、僅可能取得有限個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)值,2.2 離散隨機(jī)變量,概率分布 概率函數(shù)及其性質(zhì) 幾何分布 頻率分布表,概率分布,定義 隨機(jī)變量X一切可能值為x1, x2, . , xn, . , 而取得這些值的概率分別為p(x1), p(x2), . , p(xn) , . , 稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：,概率函數(shù)及其性質(zhì),把函數(shù) 稱為離散隨機(jī)變量的概率函數(shù)。 p(xk)0, k=1,2,概率分布(實(shí)例),離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來(lái)求: (1)確定隨機(jī)變量的所有可能取值; (2)利用古典概型計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率 (3)列出隨機(jī)變量的概率分布表,舉例,例4

5、從一批有10個(gè)合格品與3個(gè)次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個(gè)產(chǎn)品被抽取到的可能性相同，在下列三種情況下分別求出直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)X的分布律。 （1）每次取出的產(chǎn)品不放回該批產(chǎn)品中； （2）每次取出產(chǎn)品都立即放回該批產(chǎn)品中，然后再取下一件產(chǎn)品； （3）每次取出一件產(chǎn)品后，總以一件合格品放回該批產(chǎn)品中。,2. 下面給出的數(shù)列能否成為某一隨機(jī)變量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.,3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為,求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X3),4. 某射手在相同條件下獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次擊中目標(biāo)的概率是0.6,求擊中目標(biāo)次數(shù)X的概率分布

6、.,課 堂 練 習(xí),幾何分布,例5 假定一個(gè)實(shí)驗(yàn)成功的概率為p(0p1),不斷重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),直到首次成功為止, 求實(shí)驗(yàn)次數(shù)的概率分布.,頻率分布表,頻率分布表 其中， 表示隨機(jī)變量X的觀測(cè)值xi出現(xiàn)的頻率,2.3 超幾何分布 二項(xiàng)分布泊松分布,“01”分布 超幾何分布 二項(xiàng)分布 泊松分布,例6 某實(shí)驗(yàn)成功的概率為p, 現(xiàn)進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn), 求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率分布.,“01”分布,超幾何分布 hypergeometric,例7 一批產(chǎn)品共N個(gè)，其中有M個(gè)次品。從這批產(chǎn)品中任意取出n個(gè)產(chǎn)品，則取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)X 服從超幾何分布 H(n, M, N),二項(xiàng)分布 binomial distribut

7、ion,進(jìn)行 n 次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布 2. 如果事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p, 則事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布 B(n, p),二項(xiàng)分布的性質(zhì),顯然， 對(duì)于PX=x 0， x =1,2,n，有 同樣有 當(dāng) n = 1 時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為,二項(xiàng)分布（作為超幾何分布的近似）,當(dāng)一批產(chǎn)品總數(shù)N很大，而抽取樣品的個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)小于N時(shí)，可用二項(xiàng)分布來(lái)近似地計(jì)算超幾何分布的概率，即,實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)n/N10%時(shí)，不放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從超幾何分布）與放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布）區(qū)別不大。,泊松分布,用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度

8、、面積、體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布（稠密性問(wèn)題）。 泊松分布的例子 一個(gè)城市在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生的交通事故次數(shù)； 消費(fèi)者協(xié)會(huì)一個(gè)星期內(nèi)收到的消費(fèi)者投訴次數(shù)； 人壽保險(xiǎn)公司每天收到的死亡聲明的人數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)電話用戶對(duì)電話站的呼喚次數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)候車的旅客數(shù)； 一段時(shí)間內(nèi)原子放射粒子數(shù)；,泊松分布 Poisson, 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù) e = 2.71828 x 給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布（實(shí)例）,【例8】假定某企業(yè)的職工中在周一請(qǐng)假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請(qǐng)事假的平均人數(shù)為2.5人。求在給定的某周一正好請(qǐng)事假是5人的概率,

9、解: 由題意得 XP(2.5), 則,泊松分布（作為二項(xiàng)分布的近似）,當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n 很大，成功的概率 p 很小時(shí)，可用泊松分布來(lái)近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即,實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng) p0.1，n20，np5時(shí)，近似效果良好 超幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布間的近似關(guān)系,2.4 連續(xù)隨機(jī)變量,概率分布 統(tǒng)計(jì)分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值 它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0 不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率 通常研究它取某一區(qū)間值的概率 用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來(lái)描述,連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布可以用直方圖表示 直方圖

10、的作法 在橫軸上截取各個(gè)區(qū)間，以各區(qū)間為底作矩形，使矩形的面積等于隨機(jī)變量落在該區(qū)間內(nèi)的頻率 直方圖中所有矩形的總面積為一,2.5 隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的定義 分布函數(shù)的性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),分布函數(shù)的定義,定義 隨機(jī)變量X的取值小于等于實(shí)數(shù)x的概率，即事件X x的概率；顯然，它是x的函數(shù)，記作 這個(gè)函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)或分布函數(shù)。,（2） F(x)是非減函數(shù)，即若,分布函數(shù)性質(zhì),（5）無(wú)論是離散型r.v.還是非離散型r.v. , 分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.,離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),（1） （2）分布函數(shù)為階梯函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量

11、的分布函數(shù),是 上的從0到1的單調(diào) 遞增的連續(xù)函數(shù),例2 向半徑為R的圓形靶射擊，擊中點(diǎn)M落在以靶心O為中心， r為半徑的圓內(nèi)的概率與該圓的面積成正比，并且不會(huì)發(fā)生脫靶的情況，設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X表示擊中點(diǎn)M與靶心O的距離， （1）求X的分布函數(shù)； （2）把靶的半徑分成10等分，如果擊中點(diǎn)M落 在以靶心O為中心，內(nèi)外半徑分別為 及 的圓環(huán)域內(nèi)，則計(jì)為 環(huán)，求一 次射擊得到 環(huán)的概率,2.6 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度,概率密度的定義 概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系 概率密度的性質(zhì),概率密度的定義,定義 比值 叫做隨機(jī)變量X在該區(qū)間的平均概率分布密度 定義 若當(dāng) 時(shí)，比值的極限存在，則極限值稱為隨 機(jī)變量X在

12、點(diǎn)x處的概率分布密度或概率密度，記作,概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系,概率密度的性質(zhì),概率是曲線下的面積,例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 試著確定常數(shù)K，并求 。,是某一個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。,1. 證明,課堂練習(xí),2.設(shè)隨機(jī)變量X,且P(1X3/2)=3/8,求 (1)a,b; (2)P(1/2X3/2),(a0),1.設(shè)X,求F(x).,2.設(shè)X,求(1)P(-2X3/2);(2)F(x).,3.X的分布函數(shù)為,求(1)P(X3),P(X2) (3)f(x),4.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,F(x)=A+Barctanx,求:(1)A,B; (2)X的概率密度 f(x).,課堂練習(xí),

13、5. 設(shè)Xf(x)，且f(-x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布 函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有( ) F(-a)=1- F(-a)= F(-a)=F(a) F(-a)=2F(a)-1,7. 設(shè)X,求(1)A,(2)F(x),(3)P0X/4.,8. 設(shè)X ,求X的分布函數(shù).,2.7 常用的連續(xù)型分布,均勻分布 指數(shù)分布,均勻分布 uniform distribution,若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 稱X在區(qū)間a ,b上均勻分布，記作U(a,b),x,f(x),b,a,此概率與子區(qū)間長(zhǎng)度成正比, 而與子區(qū)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān), 這也是均勻分布的由來(lái).,均勻分布函數(shù),分布函數(shù)為:,x,F(x),a,b,1,均

14、勻分布常見(jiàn)于：在刻度器上讀數(shù)時(shí)把零頭數(shù)化為最靠近整分度時(shí)所發(fā)生的誤差；在每隔一定時(shí)間有一輛公共汽車通過(guò)的汽車停車站上乘客候車的時(shí)間,例1 用電子表計(jì)時(shí)一般準(zhǔn)確至0.01秒，即如果以秒 為時(shí)間的計(jì)量單位，則小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字是 按“四舍五入”原則得到的，求使用電子表計(jì)時(shí) 產(chǎn)生 的隨機(jī)誤差X的概率密度；并計(jì)算誤差的 絕對(duì)值不超過(guò)0.002秒的概率。,解：按題意，隨機(jī)誤差X可能取區(qū)間 上的任一數(shù)值，并在此區(qū)間上服從均勻分布。 所以，X的概率密度為 由此不難計(jì)算誤差絕對(duì)值不超過(guò)0.002秒的概 率,指數(shù)分布 exponential distribution,如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:,則稱X服

15、從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為Xe().,電子元件的壽命；顧客要求某種服務(wù)（例如，到銀行取款，到車站售票處購(gòu)買車票）需要等待的時(shí)間都服從指數(shù)分布。,2.8 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,隨機(jī)變量函數(shù) 離散r.v.函數(shù)的分布 連續(xù)r.v.函數(shù)的分布,隨機(jī)變量函數(shù),g(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù)； 所謂隨機(jī)變量X的函數(shù)就是這樣的隨機(jī)變量Y，每當(dāng)變量X取值x時(shí)，它取值y=g(x)；記作 Y=g(X),如何根據(jù)已知的隨機(jī)變量X的分布去求它的函數(shù)Y=g(X)的分布?,離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布,(2) 若g(x1),g(x2),中不是互不相等的, 則應(yīng)將那些 相等的值分別合并, 并根據(jù)概率加法公式把相應(yīng)的 p