非線性系統(tǒng)的切換控制及其優(yōu)化研究

I 摘 要 切換系統(tǒng)由若干子系統(tǒng)組成，各個子系統(tǒng)可能是離散的，也可能是連續(xù)的。在系統(tǒng)運行過程中，每個時刻都只有一個子系統(tǒng)在起作用，而其它子系統(tǒng)并不對系統(tǒng)起作用。因此，切換規(guī)則在切換系統(tǒng)的運行中顯得尤為重要，系統(tǒng)在某時刻工作于哪一個子系統(tǒng)，完全取決于切換規(guī)則。因此，切換系統(tǒng)在眾多領域中都得到了應用，例如電力系統(tǒng)，計算機磁盤驅動器，機器人行走控制，交通管理，車擺系統(tǒng)的控制，另外還有在工程中廣泛應用的分區(qū) 糊控制等，都屬于切換系統(tǒng)的范疇。因此，切換系統(tǒng)的研究對于一般的混雜系統(tǒng)也具有理論指導和實際借鑒意義。 在現(xiàn)實中，大部分控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。非線性是一種一般的、普遍存在的現(xiàn)象。而線性系統(tǒng)只是相對的、特殊存在的一種理想現(xiàn)象。非線性切換系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的一種典型形式。針對此類系統(tǒng)的控制問題值得我們深入研究。 本文針對模型已知且具有可逆性的非線性切換系統(tǒng)， 基于逆系統(tǒng)方法給出其相應的線性化方法，利用構造工程方法來實現(xiàn) 階逆系統(tǒng)，實現(xiàn)被控系統(tǒng)的線性化和解耦，并針對上述理論思想設計了閉環(huán)控制器。針對模型未知的非線性可逆切換系統(tǒng)，提出基于神經網絡逆系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)的線性化方法，利用積分器（ I）和神經網絡構造逆系統(tǒng)來證明系統(tǒng)可 逆性，從而在被控系統(tǒng)數學模型、參數和逆系統(tǒng)解析表達式均未知的情況下實現(xiàn)被控系統(tǒng)的線性化和解耦， 同時設計閉環(huán)控制器。提出只要相應的參數滿足凸組合條件、相應的正定對稱陣滿足適當的線性矩陣不等式的約束，則對于任意的切換信號，存在切換方案，在此切換方案控制下，這類切換系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并給出證明。且通過引入一個矩陣，將受約束的二次型轉換為不受約束的二次型，通過多數法，給出這類切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。針對非線性切換系統(tǒng)的優(yōu)化控制問題，通過將傳統(tǒng) 制器與遺傳算法（合，提出一種非線性切換系統(tǒng)的遺傳 即同時給出了相應的仿真算例， 提供分析結果。 關鍵字： 非線性系統(tǒng)；線性化；穩(wěn)定性；優(yōu)化控制 is an of on of be be In of a of in in of is in a in on so it a in as a in to of a In is a of of an A is a of In of of is of to of of on to by to to by a to on of by of in do to of to of on of a of of by is As as of of of is it is By a to of is is of ID is by ID is as At 錄 摘 要. .一章 緒論. 1 言.雜系統(tǒng)簡介 . 切換系統(tǒng)的概述.換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究現(xiàn)狀.換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性研究現(xiàn)狀.換系統(tǒng)的優(yōu)化控制研究現(xiàn)狀.文主要研究內容與結構安排.二章 非線性切換系統(tǒng)的理論基礎.換系統(tǒng)簡介.換系統(tǒng)的理論基礎. 范數的定義 . 程 .結. 12 第三章 非線性切換系統(tǒng)的線性化.言. 13 線性切換系統(tǒng)的逆系統(tǒng)方法 . 逆系統(tǒng)法簡介 . 基于逆系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)控制方法 . 基于神經網絡逆系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)控制方法 .真算例.系統(tǒng)線性化法仿真算例 . 神經網絡線性化法仿真算例.四章 非線性時滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.言. 26 V 統(tǒng)描述 .要結果.真算例.論. 31 第五章 非線性系統(tǒng)的切換優(yōu)化研究.言. 33 題描述.于 非線性切換系統(tǒng)優(yōu)化控制.傳算法簡介.真算例.結論. 39 第六章 全文總結和展望.文總結.究展望 .考文獻. 42 發(fā)表論文及參加科研情況說明. 謝. .1 第一章 緒論 言 雜系統(tǒng)簡介 混雜系統(tǒng)是一類復雜的動態(tài)系統(tǒng)，由離散事件動態(tài)系統(tǒng)（稱 連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)（稱 相互作用而成的，即既隨時間進行連續(xù)變化，也可以受離散事件的驅動1。因此，混合系統(tǒng)中并非只有單一的狀態(tài)變量，離散或連續(xù)的變量都有可能存在。在日常生活以及生產過程中，混雜系統(tǒng)無處不在,最簡單的混雜動態(tài)系統(tǒng)就是電力電子電路，在電力電子電路中，在不同的工作模式中，各個電路變量，比如電感或者電容的值的變化總是符合某種規(guī)律，如。類似電子電子電路這樣的例子，在實際的生活中屢見不鮮，如汽車引擎控制、化工過程控制、冶金過程、受限機器人控制等 ，都具有混雜系統(tǒng)的特點3因為混雜系統(tǒng)的結構比較復雜， 所以僅僅依靠傳統(tǒng)控制理論的思想已很難解決這種問題，而混雜動態(tài)系統(tǒng)相關模型及其穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定性及優(yōu)化解的求取等理論和方法也應運而生。近幾十年，隨著高新技術的長足發(fā)展，使得計算機技術被廣泛應用于石油化工、冶金、區(qū)域性供電網等工業(yè)的生產和調度中?；祀s系統(tǒng)的發(fā)展歷史也強有力的證明了這一點。在 2000 年， 和 出了混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性問題6。此前， 別于 1966 年和 1987 年提出了兩個最早的混雜系統(tǒng)模型7后來，在 1987 年，者也給出 了混雜系統(tǒng)模型9以上種種，皆證明了混雜系統(tǒng)的研究具有深遠的理論意義和重大的實際應用價值， 這也讓廣大學者對此產生了濃厚的興趣11 換系統(tǒng)的概述 切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)中的重要一類， 針對它的研究是源于混雜系統(tǒng)的研究而萌芽的。在切換系統(tǒng)中，每個時刻都只有一個子系統(tǒng)在起作用，而其它子系統(tǒng)并不對系統(tǒng)起作用。因此，切換律在切換系統(tǒng)的運行中顯得尤為重要，系統(tǒng)在某時刻工作于哪一個子系統(tǒng)，完全取決于切換規(guī)則15。由于切換系統(tǒng)具有廣泛的代表性，更成為控制領域中廣大工作者研究的焦點所在。最簡單的切換系統(tǒng)，比如開 2 關系統(tǒng)，系統(tǒng)只有兩個狀態(tài)“開”和“關” ，通過開關兩種狀態(tài)來決定系統(tǒng)的輸出功率，即在系統(tǒng)的運行期間，系 統(tǒng)的輸出功率并不是固定的16 “切換”的概念在眾多實際工業(yè)過程中都得到了具體體現(xiàn)，例如電力系統(tǒng)，計算機磁盤驅動器，機器人行走控制，交通管理，車擺系統(tǒng)的控制等，其他如在工程中廣泛應用的分區(qū)糊控制等，都屬于切換系統(tǒng)的范疇。 近些年來，切換系統(tǒng)的研究背景主要基于以下幾點原因： (l) 許多控制方法中都囊括了切換控制這一思想。 隨著時間的流動或者受控對象的演化過程，控制器會根據系統(tǒng)需要進行切換控制。 (2)獲得良好的動態(tài)性能。隨著科學技術的發(fā)展和人們認知能力的提高，人們接觸到的系統(tǒng)也越來越復雜，一部分系統(tǒng)還包含著時滯及不確定性，運用切換的思想，將一個主控制器變?yōu)橛啥鄠€子控制器組成，按一定的切換律進行控制，則在改善系統(tǒng)性能上往往能得到相對滿意的效果。在工程應用中，此技術已在連續(xù)作業(yè)過程、航空航天等方面得到了充分的應用。 (3) 在某些特定的情況下，非線性控制系統(tǒng)并不一定存在可鎮(zhèn)定的反饋控制律。這時就可考慮通過切換的方式進行鎮(zhèn)定控制。對于大部分復雜的非線性系統(tǒng)，一般的方法是采用一些分段線性子系統(tǒng)通過一定的方法來近似原系統(tǒng)， 這一點在理論上已經可以得到證明。 尤其在自適應領域， 此類控制技術在實現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時又使系統(tǒng)的傳遞響應得到了極大的改善。我們可以看出，切換系統(tǒng)的未來具有相當大的發(fā)展?jié)摿Α?換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究現(xiàn)狀 自從切換系統(tǒng)相關理論提出之后，穩(wěn)定性問題就一直是切換系統(tǒng)領域研究的重點和熱點，因為切換系統(tǒng)是由多個子系統(tǒng)相互影響、相互作用形成的，單個子系統(tǒng)穩(wěn)定，并不意味著整個切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這也是切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的難點，也正因為穩(wěn)定性對于整個切換系統(tǒng)控制的重要性，控制領域的各專家都潛心致力于穩(wěn)定性控制方法的研究，目前，主要的方法還是以 法為主，除此之外，還有最小時間間隔法等等。文獻 18紹了怎樣判斷一個切換系統(tǒng)是否穩(wěn)定， 其研究對象僅僅為二階的線性切換系統(tǒng)， 研究對象比較簡單。 文 20紹了當切換系統(tǒng)由多個子系統(tǒng)構成時，其穩(wěn)定性的充分必要條件。隨著計算機技術及相關計算軟件的發(fā)展， 人們發(fā)現(xiàn)用線性矩陣不等式方法來解決切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，可以取得事半功倍的效果26文獻 31細介紹了如何用線性矩陣不等式方法來解決切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問題， 通過將切換系統(tǒng)穩(wěn)定的條件轉換為相應的矩陣不等式，然后用 軟件進行求解，得出切換系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。文 36紹了非線性切換系統(tǒng)是否穩(wěn)定的充分必要條件，通過對非 3 線性切換系統(tǒng)進行解線性化，將其轉換為線性切換系統(tǒng)，然后應用線性切換系統(tǒng)已有的、非常成熟的理論方法對其穩(wěn)定性進行判定，從而求得了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件。 換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性研究現(xiàn)狀 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，就是如何構造合適的控制律，從而使控制系統(tǒng)達到閉環(huán)穩(wěn)定狀態(tài)。文 38提出了基于有限時間范數的切換系統(tǒng)鎮(zhèn)定實現(xiàn)算法，在實際系統(tǒng)中，由于其 數的尋找非常困難，而其向量范數則很容易實現(xiàn)，所以通過向量范數，可以很容易地實現(xiàn)切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定，不過文中也提到，此方法也具有一定的局限性，即對于低階系統(tǒng)，其鎮(zhèn)定很容易滿足，對于高階復雜系統(tǒng)，其鎮(zhèn)定很難滿足，就算能滿足，其計算量也非常大。文 39中，研究了當研究對象為線性周期性切換系統(tǒng)時，系統(tǒng)鎮(zhèn)定如何實現(xiàn)，文中利用狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定了此切換系統(tǒng)。文 40研究了當線性切換系統(tǒng)受到外部干擾時，其系統(tǒng)如何鎮(zhèn)定，此時鎮(zhèn)定更難滿足，因為干擾信號的模型是很難確定的，文中研究了當外部干擾信號很小時，即外部干擾信號為高斯白噪聲時，通過線性矩陣不等式方法來實現(xiàn)此類線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。文 41究了當系統(tǒng)為多時滯切換系統(tǒng)時，系統(tǒng)鎮(zhèn)定的實現(xiàn)，文中設計了一類控制器，在該控制器的控制下，利用 求解系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充要條件，一方面降低了計算的難度，另一方面也降低了結果的保守性。 換系統(tǒng)的優(yōu)化控制研究現(xiàn)狀 在約束條件一定的情況下， 找出能使被控系統(tǒng)性能指標達到最滿意控制目標的控制系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的優(yōu)化控制。要實現(xiàn)優(yōu)化控制，必須滿足下述條件：給出系統(tǒng)的性能指標，比如時間最短或者消耗的能量最?。唤o出約束條件，及控制系統(tǒng)運動的邊界；要尋找優(yōu)化控制的機制和方法，即通過什么樣的方法使控制系統(tǒng)在運動的邊界內，達到所要求的性能指標。優(yōu)化控制是運動系統(tǒng)的一個重要研究方面，因為一個控制系統(tǒng)，如果其達到某一狀態(tài)的時間過久或者消耗的能量過多的話，這個系統(tǒng)是很難讓人滿意的。對于單純的連續(xù)運動系統(tǒng)或者離散運動系統(tǒng)而言，對其進行優(yōu)化控制是很容易做到的，利用常規(guī) 制或者神經網絡、遺傳算法等均可實現(xiàn)，但針對切換系統(tǒng)，實現(xiàn)其優(yōu)化目標并非易事。這是由于切換系統(tǒng)中并非只有單一狀態(tài)變量，并且在多種模型切換的情況下，其切換時刻的行為也是要考慮的， 所以簡單地用連續(xù)運動系統(tǒng)和離散事件系統(tǒng)相關的理論知識很難解決切換系統(tǒng)的優(yōu)化控制問題。 自切換系統(tǒng)的概念提出以來，對于切換系統(tǒng)優(yōu) 化控制的研究就一直沒有停止，目前切換系統(tǒng)優(yōu)化控制領域提出了很多切實可行的方法。文 45首先介紹 4 了龐特里亞金提出的最大值最小值原理， 繼而將最大值最小值原理應用在切換系統(tǒng)中， 不過本文研究的切換系統(tǒng)模型比較簡單， 僅僅對二階的切換系統(tǒng)進行研究，而二階系統(tǒng)在現(xiàn)實生活 中是很難遇到的。文 46提出了漢密爾頓 貝爾曼方程，用漢密爾頓 貝爾曼方程來解決切換系統(tǒng)優(yōu)化控制的問題，但是漢密爾頓 貝爾曼方程的解很難求取。文 48提出了最速下降法，最速下降法雖然比較簡單，并且用 以很容易求取，不過其對步長要求很高，如果選擇的步長不合適， 則所求取的結果可能僅是優(yōu)化控制的一個近似解。 文 49中，重點研究了當系統(tǒng)末端時間自由時，最優(yōu)解能否得到的問題。 對于線性切換系統(tǒng)，文 50提出了線性矩陣不等式方法，即將需要求取值的約束條件用線性矩陣不等式表示，然后利用 的線性矩陣不等式工具箱來求解。文 51給出了當系統(tǒng)含有多時滯項時，其優(yōu)化控制問題的解決可通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定器和輸出反饋鎮(zhèn)定器使多時滯切換系統(tǒng)得到一個最優(yōu)解。文 52將切換系統(tǒng)分成若干個子系統(tǒng)，先使每個子系統(tǒng)達到最優(yōu)，然后在各子系統(tǒng)之間的切換時刻加入脈沖信號， 從而通過混合反饋控制來使系統(tǒng)獲得最優(yōu)。 文 53在 52的基礎上，將混合反饋控制器應用于機器人足球中，證明了此方法具有良好的現(xiàn)實效果和應用前景54 文主要研究內容與結構安排 本文主要利用 工具，針對一類非線性系統(tǒng)的切換控制，深入研究了其穩(wěn)定性、線性化和優(yōu)化控制等問題，主要研究內容概述如下： 第一章主要闡述了所選課題的研究背景， 給出了切換系統(tǒng)研究的發(fā)展現(xiàn)狀和未來研究的趨勢，對切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、線性化、優(yōu)化控制的現(xiàn)有研究成果進行了綜述和分析，敘述了論文的創(chuàng)新點和主要貢獻。 第二章主要對非線性切換系統(tǒng)進行了回顧，給出本文研究的理論基礎。共由兩部分組成，第一部分主要敘述了切換系統(tǒng)的發(fā)展歷程，第二部分研究了切換系統(tǒng)控制的數學基礎，給出了包括向量和矩陣的范數、 程等在內的相關定義和定理。 第三章主要針對模型已知的非線性可逆切換系統(tǒng)， 提出了基于逆系統(tǒng)方法的非線性切換系統(tǒng)的線性化方法，針對模型未知的非線性可逆切換系統(tǒng)，提出基于神經網絡逆系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)的線性化方法， 并在線性化的基礎上針對上述兩種非線性可逆切換系統(tǒng)設計了閉環(huán)控制器。實驗仿真證明，此方法是行之有效的。 第四章通過引入一個矩陣，將受約束的二次型轉換為不受約束的二次型，并利用多 數法得出這類切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一個充分條件。實驗證 5 明，該結論是成立的。 第五章針對非線性切換系統(tǒng)的優(yōu)化控制問題，通過將傳統(tǒng) 制器與遺傳算法（ 合，提出了一種非線性切換系統(tǒng)的遺傳 化控制方法，通過遺傳算法（ 化 制器的增益以獲得滿意的控制性能。實驗仿真證明，此方法是行之有效的。 第六章對本論文所做的工作進行了總結， 簡要地闡述本文所得結論及其創(chuàng)新點所在，而后對于切換系統(tǒng)未來有待進一步研究的問題進行了展望。 6 第二章 非線性切換系統(tǒng)的理論基礎 換系統(tǒng)簡介 隨著科學發(fā)展的日新月異，現(xiàn)代社會愈發(fā)體現(xiàn)出信息化、系統(tǒng)化的特點，人們所面臨的各種工程技術、 社會經濟以及生物生態(tài)等各個領域中的系統(tǒng)都愈發(fā)復雜，表現(xiàn)出來的現(xiàn)象也愈發(fā)復雜，往往集中體現(xiàn)在管理方面以及各種層出不窮的控制問題上，如何解決這些問題，對復雜系統(tǒng)進行問題分析、預測、規(guī)劃、設計以及改善運行狀態(tài)，都是人們面臨的重大挑戰(zhàn)。在系統(tǒng)自身滿足一定條件的情況下，可以利用某些特殊結構，例如相似性和對稱性來簡化問題。但實際上，現(xiàn)實中存在的大量系統(tǒng)都是混雜動態(tài)系統(tǒng)（ (，利用傳統(tǒng)的控制方法已經不能滿足高精度的控制目的的要求。這類復雜的動態(tài)系統(tǒng)，融合了數學，控制科學和計算機科學等多種學科，并將他們緊密結合，由此也帶來了一系列具有挑戰(zhàn)性的新的問題，因而受到人們的普遍關注。具體表現(xiàn)在，很多國際權威雜志，例如著名學術雜志 陸續(xù)出版了關于混合系統(tǒng)的專刊56， 持續(xù)不斷的向廣大學者提供最新的研究結果，另外，一些重要的國際學術會議也專門開設了關于混雜系統(tǒng)的專題會議。另一方面，混雜系統(tǒng)有著非常廣泛的應用背景，例如在機器人行走控制57、飛行器控制58、工業(yè)制造59、化學過程、交通管理、網絡控制系統(tǒng)、嵌入式系統(tǒng)等。因此，也激發(fā)了眾多學者的興趣，在各個科學研究領域，例如計算機通訊、自動化調度、工業(yè)生產過程自動化等方面均具有理論指導和實踐意義。 追溯混雜系統(tǒng)的發(fā)展歷程，可見混雜系統(tǒng)概念的首次提出，是在 1966 年，由著名學者 出的，并給出了混雜系統(tǒng)的模型。隨后，在九十年代末期， 計算機磁盤驅動器模型中將連續(xù)部分和接口部分結合起來進行研究，這對混雜動態(tài)系統(tǒng)來說，具有實際意義上的突破。到九十年代初期，網絡控制系統(tǒng)和交通管理系統(tǒng)等一系列新系統(tǒng)的出現(xiàn)， 都讓人們更加迫切的想要對混雜系統(tǒng)有更多的了解。更清楚地意識到了研究混雜系統(tǒng)的迫切性和必要性。相對于國外來說，國內對于混雜動態(tài)系統(tǒng)的研究起步要晚一些，但至今為止，也在理論上和部分應用上取得了豐碩的成果60。 切換系統(tǒng)是混合系統(tǒng)中的重要一類， 針對它的研究是源于混雜系統(tǒng)的研究而萌芽的。在切換系統(tǒng)中，每個時刻都只有一個子系統(tǒng)在起作用，而其它子系統(tǒng)并不對系統(tǒng)起作用。因此，切換律在切換系統(tǒng)的運行中顯得尤為重要，系統(tǒng)在某時刻工作于哪一個子系統(tǒng)， 完全取決于切換規(guī)則。 由于切換系統(tǒng)具有廣泛的代表性， 7 更成為控制領域中廣大工作者研究的焦點所在。最簡單的切換系統(tǒng)，比如開關系統(tǒng)，系統(tǒng)只有兩個狀態(tài)“開”和“關” ，通過開關兩種狀態(tài)來決定系統(tǒng)的輸出功率，即在系統(tǒng)的運行期間，系統(tǒng)的輸出功率并不是固定的。切換系統(tǒng)在很多工業(yè)過程中都得到了應用和推廣。 近些年來，切換系統(tǒng)的研究背景主要基于以下幾點原因： (l) 許多控制方法中都囊括了切換控制這一思想。例如如早期的 結構控制以及后期得到發(fā)展的多模型自適應控制、多模型預測控制、增益調度控制等，這些控制方法在本質上其實都具有切換性質，隨著時間的流動或者受控對象的演化過程，控制器會在不同的控制方式中進行切換。 (2)獲得良好的動態(tài)性能。隨著科學技術的發(fā) 展和人們認知能力的提高，人們接觸到的系統(tǒng)也越來越復雜，一部分系統(tǒng)還包含著時滯及不確定性，運用切換的思想，將一個主控制器變?yōu)橛啥鄠€子控制器組成，按一定的切換律進行控制，則在改善系統(tǒng)性能上往往能得到相對滿意的效果。在工程應用中，此技術已在連續(xù)作業(yè)過程、航空航天等方面得到了充分的應用。 (3) 在某些特定的情況下，非線性控制系統(tǒng)并不一定存在可鎮(zhèn)定的反饋控制律。 這時就可考慮通過切換的方式進行鎮(zhèn)定控制。 對于大部分復雜的非線性系統(tǒng)，一般的方法是采用一些分段線性子系統(tǒng)通過一定的方法來近似原系統(tǒng)， 這一點在理論上已經可以得到證明。 由此可見，切換系統(tǒng)的研究熱潮之所以經久不衰是有其深刻的內涵原因的， 第一，它有廣泛的實際應用背景，第二，由于針對智能控制的設計思想即是基于在不同的控制器之間切換的思想，所以，它也滿足了智能控制飛速發(fā)展的需要。尤其在自適應領域， 此類控制技術在實現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時又使系統(tǒng)的傳遞響應得到了極大的改善。 我們可以看出， 切換系統(tǒng)的未來具有相當大的發(fā)展?jié)摿Α?換系統(tǒng)的理論基礎 數的定義 定義 1 設復向量?；谙鄳?guī)則在定義一個實函數 x，如果該 非負性：0x， ；0x，當且僅當 0x 。 齊次性：， , 。 8 三角不等式：， , 。 則 記復向量,(21。下列給出的是幾種常見范數： （ 1） 22/1122/1*)()(2） ) （ 3）1)(， 實際上，在很多工程應用中，討論實上，在 *，其余同上。而且在些范數的幾何意義就更加明顯。例如，對于 3 維實空間32 維向量的長度，而 一步講，對于3，2x表示包含 顯然， 對于范數的定義有無窮多種。 但范數的定義是有其共通之處的，即無論哪兩種向量范數，一定滿足以下定理： 定理 x和x是定義在的任意兩種范數，則存在正數210，使得如下不等式對于任意 成立，即 12kx x 定義 矩陣 ，則在定義 果該函數 （ 1）非負性：0A， ；0A，當且僅當 9 （ 2）齊次性：， 。 （ 3）三角不等式：， , 。 （ 4） 相容性：當矩陣乘積 意義時，有 則稱的范數。 假定 )(，下面給出幾種常見矩陣范數： （ 1） 1 （ 2） 22/121,)(（ 3） 定理 設 ，則有 （ 1）定義的范數 （ 2）定義的任意兩個范數定義 ，且記 ,2,1） ，則稱i的算術平方根 （ ,2,1 ）為矩陣 定理 矩陣 有)( 個不等于零的奇異值，記為i（,2,1） ,且滿足 011r 則存在酉陣 和 ，使得* 10 式中， 矩陣： 000D， ,21 定理 設矩陣 ，則有 )()(式中，)( )(分別表示 定義 設 F 是由某類函數向量組成的集合。若 F 滿足下列性質： （ 1），（ 2） 21， 21, 則稱 F 為 文所指的函數空間均為可測函數。 幾類常見的函數空間如下。 （ 1）,1 p） ：滿足以下條件的可測函數f： 的全體所構成的集合 式中， ),0 R 。 （ 2）L 空間（ ),1 p ） ：在 的全體所構成的集合，即當且僅當 )( F 是 果函數： 足下述條件： 齊次性：， ,。 三角不等式：， ,。 則稱為 F 上的一個半范數。 11 定義 函數空間上的半范數滿足 09.則稱為 F 上的一個范數。 這里，.示等式兩邊的函數幾乎處處相等 ，即它們在其定義域中除去某個零測集之外是相等的。 定理 在任一函數0)(定義了稱函數 定理 ，)()( ，則有 22)()( 證明略。 程 定性理論是非線性系統(tǒng)分析的有 力工具，本節(jié)將簡要介紹相關的定理。 給出 程的一般形式如下： A 其中， A、 P、 Q 都為實數矩陣。當給定矩陣 A 和 Q， P 都有解時，則此 程也可解。 引理 設存在，則矩陣 有且僅有唯一解 和 B 的特征根無相同值。 定理 ， 是矩陣 A 的特征根， 則 程 A 有且僅有一個實對稱解的充要條件是 0ij， ,2,1, 定理 定 Q 為任一正定矩陣，則 程有且僅有一個解 P 且 P 正定 12 的充要條件是)0,0()。 定理 矩陣 半正定，且（ A， D）具有可觀性，則 ,0()。 定理 是半正定矩陣，且（ A， 控，則 程有唯一正定解的充要條件是)0,0()。 引理 于給定維數的任意矩陣 X 和 Y，有 1， 0 或 ， 0P 引理 引理） 對于定義在()( ， )()( 及)(性矩陣不等式（ 0)()()()(0)( 0)()()()(10)( 0)()()()(1結 本章首先對切換系統(tǒng)的發(fā)展歷程及相關理論進行了回顧， 然后給出了一些重要的研究基礎定義定理，包括向量的定義和矩陣的范數、 程等相關定理引理，作為本文研究的理論基礎，為下面的研究打下堅實的基礎。 13 第三章 非線性切換系統(tǒng)的線性化 言 非線性切換系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的一種典型形式。 本章針對模型已知的非線性可逆切換系統(tǒng)提出了基于逆系統(tǒng)方法的非線性切換系統(tǒng)的線性化方法， 針對模型未知的非線性可逆切換系統(tǒng)， 提出在基于神經網絡逆系統(tǒng)的非線性切換系統(tǒng)的線性化方法， 并針對上述兩種非線性可逆切換系統(tǒng)在線性化的基礎上設計了閉環(huán)控制器。針對幾個非線性切換系統(tǒng)的仿真研究結果表明了所提方法的有效性。 大多數控制系統(tǒng)中普遍存在非線性這種現(xiàn)象。就實際情況看來，非線性系統(tǒng)其實是絕對的且一般存在的，相反，線性系統(tǒng)通常只是一種理想化的情況，是相對的、 特殊的。 理想的線性系統(tǒng)大多只是將非線性系統(tǒng)進行簡化之后近似得到的。線性系統(tǒng)僅僅是實際情況中非線性系統(tǒng)的某種特例。 關于非線性系統(tǒng)的控制研究其實和線性系統(tǒng)的研究幾乎是同步的。 至今已有近百年的歷史。但是，由于非線性系統(tǒng)自身的復雜，它所包含的內容和現(xiàn)象都十分豐富，就目前的科學研究水平，人們對它的研究還不夠深入，研究成果也很有限，遠不及像對線性系統(tǒng)認識的那樣深刻。目前，盡管從數學上來說，對非線性系統(tǒng)的控制還沒有找到一種一般的、通用的數學工具來對其進行分析與綜合，但經過長期的而研究積累，對非線性系統(tǒng)的控制還是有很大進展，取得了很多重要的研究成果。 由于非線性系統(tǒng)自身的多樣性，所以它的控制方法也很多樣化。研究初期，非線性系統(tǒng)的控制方法（又稱為古典方法）主要有滑模變結構控制方法、近似線性化方法、李亞普諾夫（ 定性理論等等59但是，以上方法各自存在缺點和局限性。 例如相平面法一般情況下只適用于 2階及 2階以下的系統(tǒng)，而更高階數的系統(tǒng)就難以或不能適用； 而在李亞普諾夫穩(wěn)定性理論中， 乏一般性。且波波夫（ 是絕對穩(wěn)定性理論中的典型方法，通常也只能適用于一些基本的非線性系統(tǒng)，另外，輸入輸出穩(wěn)定性理論所得到的結論是針對全局的，它是無法判定系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性的；滑模變結構控制方法則要知曉被控系統(tǒng)的所有狀態(tài)，在很多時候這點很難實現(xiàn)，除此之外高階非線性系統(tǒng)的滑模變結構控制往往會產生高頻顫動，這不利于被控系統(tǒng)的穩(wěn)定； 近似線性化法則只能針對被控系統(tǒng)處于平衡點附近的情形進行研究。 對于非線性系統(tǒng)理論的研究最近幾十年來發(fā)展迅速， 實際應用范圍也愈發(fā)廣泛。許多新的非線性控制方法被相繼提出并在工程實際中被應用，獲得令人滿意 14 的控制效果61。 對于非線性系統(tǒng)的控制，通常是利用上述常用控制方法將系統(tǒng)進行線性化，然后按照線性系統(tǒng)理論中極點配置方法、 最優(yōu)控制方法等已十分成熟的方法來實現(xiàn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。最近幾年，反饋線性化方法越來越廣泛地應用于非線性系統(tǒng)控制中。它主要是指包括基于微分幾何理論的輸入對狀態(tài)反饋線性化、輸入輸出反饋線性化、直接反饋線性化（ 逆系統(tǒng)方法等在內的一系列線性化方法。 逆系統(tǒng)方法作為反饋線性化方法中的一種， 是由清華大學李春文教授等人提出的62。近幾年來，逆系統(tǒng)控制的相關著作的增長率也呈指數增長。無論是理論研究還是數值仿真結果均表明了逆系統(tǒng)控制方法的有效性。為此，經過科研者多年不懈的研究，學者們提出了非線性系統(tǒng)的神經網絡逆控制方法。但是，現(xiàn)有的非線性系統(tǒng)的神經網絡逆控制方法大都基于離線訓練神經網絡的方式得到的，即以逼近被控系統(tǒng)的單位逆系統(tǒng)，然后將其與被控系統(tǒng)進行串聯(lián)來達到開環(huán)控制。以此種方式控制的系統(tǒng)由于缺少在線優(yōu)化機制，且實際情況中參數往往會發(fā)生變化，存在很強的不去確定性，因此抗擾性能通常比較差，所以在被控系統(tǒng)變化時往往難以獲得令人滿意的控制效果。 現(xiàn)今科研人員已經提出了多種關于單位逆的在線學習方法。例如，在狀態(tài)變量為離散變量且已知系統(tǒng)靈敏度的情況下，可用神經網絡自適應法進行控制65再如，文獻 67提出了神經網絡逆系統(tǒng)控制方法 ,即針對精確數學模型未知的非線性可逆系統(tǒng)，將神