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2017年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數學的一條捷徑 305 中國 高考數學母題 (第 100 號 ) 外接球 先定球心 ,再求半徑是解決球問題的基本 策 略 ,而“ 球心在過 幾何體一個面的外心 ,且垂直該面的直線上”是確定球心位置的基本工具 ;由此易得 正六棱柱、直三棱柱、正四棱錐等三類特殊幾何體的外接球 球心 . 母題結構 :正 2n 棱柱最長對角線為其外接球的直徑 ;若正棱錐外接球半徑為 R,底面多邊形外接圓的半徑為 r,棱錐的高為 h,則 =母題 解 析 :略 . 柱 子題類型 :(2007 年遼寧高考試題 )若一個底面邊長為26,側棱長為 6 的正六棱柱的所有頂點 都在同一個球面上 ,則此球的體積為 . 解析 :如圖 ,由正六邊形的邊長等于其外接圓半徑 6 正六棱柱的外接球直經 2R=2 3 R= 3 V 球 =4 3 . 點評 :因正六邊形有特殊性質 :其外接圓半徑等于邊長 ,由此可 得 :底面邊長為 a,側棱長為 = 21 224 ;直棱柱有外接球的 充要條件是底面多邊形為圓內接多邊形 ;若 直棱柱有外接球 (半徑為 R),底面多邊形外接圓的半徑為 r,直棱柱的 高為 2h,上 、下 底面 的外心分別為 外接球球 心 1且 r2+2. 同 類 試題 : 1.(2008 年 課標 高考試題 全 國高中數學聯賽湖南 初賽試題 )一個六棱柱的底面 是正六邊形 ,其側棱垂直底面 且該六棱柱的體積為89,底面周長為 3,則這個球的體積為 . 2.(2009 年全國 高考試題 )直三棱柱 若 C=, 200,則此球的表面積等于 . 錐 子題類型 :(2006 年 安徽 高考試題 )表面積為 2 3 的正八面體的各頂點都在同一個球面上 , 則此球的 體積為 ( ) (A)32(B)3(C)32(D)322 解析 :設正八面體 a,則 821 3 a=1,根據正八面體的對稱性知球心 所以球的半徑 R=22a=22 V=A). 點評 : 有外接球的 充要條件是底面多邊形為圓內接多邊形 ;底面正方形邊長為 a,高為 錐 的外接球 半 徑 R=h. 同 類 試題 : 3.(2007年 廣東 高考試題 )一個正四棱錐的底面邊長為 2,側棱長為 3 ,五 個頂點都在同一個球面上 ,則此球的表面積為 . 4.(2014 年 大綱 高考試題 )正四棱錐的頂點都在同一球面上 ,若該棱錐的高為 4,底面邊長為 2,則該球的表面積為 ( ) (A)481(B)16 (C)9 (D)427子題類型 :(2005 年江西高考試題 )矩形 ,沿 矩形 成一個直二面角 四面 306 備戰(zhàn)高考數學的一條捷徑 2017年課標高考 母題 體 外接球的體積為 ( ) (A)12125 (B)9125 (C)6125 (D)3125 解析 :設 矩形 中 心為 O,則 B=D=25 沿 矩形 論如何 折 疊 ,所得 四面體 接球的 半徑恒為25 V=6125 C). 點評 :解決球 問題的基本 策略 是 :先定球心 ,再求半徑 位置 ,常用如下結論 :到 幾何體 的 所有 頂點 距離相等的 點是幾何體 的 外接 球球心 . 同 類 試題 : 5.(2007 年華南理工 大學 保送生考試 試題 )已知 A、 B、 C、 D 是某球面上不共面的四點 ,且 C=2 ,C=2,此球的表面積等于 . 6.(2012年全 國高中數學聯賽 試題 (A)設同底的兩個正三棱錐 若正三棱錐 50,則正三棱錐 側面與底面所成角的正切值是 . 7.(2010 年課標高考試題 )設三棱柱的側棱垂直于底面 ,所有棱的長都為 a,頂點都在一個球面上 ,則該球的表面積為 ( ) (A) (B)37 (C)311 (D)5 .(2013年 遼寧 高考試題 )已知三棱柱 個頂點都在球 面上 ,若 ,2,則 球 徑為 ( ) (A)2173(B)2 10 (C)213(D)3 10 9.(2007 年全國 高考試題 )正四棱錐 底面邊長和各側棱長都為 2 ,點 S、 A、 B、 C、 則該球的體積為 . 10.(2011 年 重慶 高考試題 )高為 2 的四棱錐 底面是邊長為 1 的正方形 ,點 S、 A、 B、 C、 D 均在半徑為 1 的同一球面上 ,則底面 中心與頂點 S 之間的距離為 ( ) (A)210(B)2 32(C)23(D) 2 令球的半徑為 R,六棱柱的底面邊長為 a,高為 h,由 a=21,h= 3 ,2h)2=R=1 V=34. 如果 、 直三棱柱 在 故外接球的半徑R= 12r ,其中 ,r 是 外接圓半徑 , 3 r=2 R= 5 S 球 =4 0 . 由 底面邊長為 2 r= 2 h=1 R=23 S=9 . 由 底面邊長為 2 r= 2 R=49 S=481A). 構造正方體 型 :則四面體 合題目條件 ,由正方體的棱長為 2 2R= 6 表面積 =6 . 連結 平面 足 且 ,連結 ,則 且 知 則 50 正切值 =4. 由 r=33a,2h=a 27S=37 B). 由 r=
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