3_8064922_18.不等式恒成立的一個母題

2017年課標高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 741 中國 高考數(shù)學母題 (第 208 號 ) 不等式恒成立的 一個 母題 在高考中 ,有一類熱點問題 :“ 已知含參數(shù) a 的 函數(shù) f(x)=F(x,a)滿足 :f(m)=F(m,a)=0,當 x m 時 ,不等式 f(x)=F(x,a) 0 恒成立 ,求參數(shù) a 的取值范圍” ,為此 ,我們構造母題如下 : 母題結構 :已知含參數(shù) a 的函數(shù) f(x)=F(x,a)滿足 :當且僅當 x=m 時 ,f(m)=F(m,a)=0; ( )若當 x m 時 ,f(x)=F(x,a) 0 恒成立 ,則 f (m) 0;( )若當 x m 時 ,f(x)=F(x,a) 0 恒成立 ,則 f (m) 0. 母題 解 析 :( )當 x f(x) 0 當 xf(x)f(m) 當 xmx )()(0 f (m)= )()( 0;同理可證 ( ). 子題類型 :(2016 年 四川 高考 理科 試題 )設函數(shù) f(x)=中 a R.( )討論 f(x)的單調性 ; ( )確定 a 的所有可能取值 ,使得 f(x)1,+ )內(nèi)恒成立 (e=為自然對數(shù)的底數(shù) ). 解析 :( )由 f (x)= 當 a0 時 ,f(x)在 (0,+ )上 遞 減 ;當 a0 時 ,f(x)在 (0, 遞 減 ,在 (+ )上 遞 增 ; ( )令 h(x)=f(x)-(則 h(1)=0;當 x1 時 ,f(x)當 x1 時 ,h(x)0 當 x1 時 ,1 )1()( x h (1)=1)1()( x 0 20 a 21 ;當 a 21 時 ,由 h (x)=2 21x 110 h(x)在 (1,+ )上單 調遞 增 h(x)h(1)=a 的取值范圍 是 21,+ ). 點評 :應用母題解決“當 x 不等式 f(x) f(m)=0恒成立”問題的 模式是 :當 xm 時 ,由 f(x)f(m) 當 x mx )()(0 f (m)= )()( 0;基本程序是由 f (m) 0,求得參數(shù) (必要條件 );然后 ,證明 :當參數(shù) a f(x) 得 參數(shù) . 同 類 試題 : 1.(2010 年課標高考文科試題 )設函數(shù) f(x)=x( )若 a=21,求 f(x)的單調區(qū)間 ; ( )若當 x 0 時 ,f(x) 0,求 a 的取值范圍 . 2.(2016 年 全國 高考 甲 試題 )已知函數(shù) f(x)=(x+1)( )當 a=4 時 ,求曲線 y=f(x)在 (1,f(1)處的切線方程 ; ( )若當 x (1,+ )時 ,f(x)0,求 a 的取值范圍 . 子題類型 :(2015 年 山東 高考試題 )設函數(shù) f(x)=ln(x+1)+a(其中 aR . ( )討論函數(shù) f(x)極值點的個數(shù) ,并說明理由 ; ( )若 x0,f(x)0 成立 ,求 a 的取值范圍 . 解析 :( )由 f (x)=11x(2); 當 a=0 時 ,f(x)極值點的個數(shù) 為 0; 當 =90,即 098時 ,f(x)極值點的個數(shù) 為 2; 742 備戰(zhàn)高考數(shù)學的一條捷徑 2017年課標高考 母題 ( )由 ( )知 ,當 f(x)在0,+ )內(nèi)單調遞增 f(x) f(0)=0; 當21 a 1 時 ,f (x) 0 f (x)在 0.+ )內(nèi)單調遞增 f (x) f (0) 0 f(x)在 0.+ )內(nèi)單調遞增 f(x) f(0)=0; 當 00 f(x)在 0.+ )內(nèi)單調遞增 f(x) f(0)=實數(shù) a 的取值范圍是 0,1. 點評 :母題的關鍵 作用是由 f (m) 0 獲 得參數(shù) a 的取值范圍 D(必要條件 ),特別注意 :a D 未必是 f(x) 0 的充分 條件 ;較佳的接近 f(x) 0的充分 條件 (大多數(shù)情況下 ,由 f (m) 0得到的是其充 要 條件 ). 同 類 試題 : 3.(2006 年全國 高考試題 )已知函 數(shù) f(x)=11. ( )設 a0,討它 y=f(x)的 單調 性 ; ( )若 對 任意 x (0,1)恒有 f(x)1,求 a 的取 值 范 圍 . 4.(2010 年全國 高考試題 )設函數(shù) f(x)=1( )證明 :當 x ,f(x)1 ( )設當 x 0 時 ,f(x)1 a 的取值范圍 . 分 性 子題類型 :(2013 年 遼寧 高考 理科 試題 )已知函數(shù) f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1時 , ( )求證 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求實數(shù) a 的取值范圍 . 解析 :( )當 x 0,1時 ,由 1f(x) 1(1+x)(1+x)(1-x) h(t)=(1-t)et,t ,則 h (t) =當 t 0,1時 ,h (t) 0 h(x) h(0)=1;當 t 時 ,h (t) 0 h(h(t) h(0)=1 h( h(x) (1+x)(1-x)1f(x);又由 f(x) x11 (1+x)x11 (1+x)2 x+1 成立 ; ( )設 T(x)=f(x)-g(x),則 T(0)=0,所以 ,由 T(x) 0 T (0) 0 a a T(x)=f(x)-g(x) 1x)= (a+1+22x+2令 m(x)=a+1+22x+2 m (x)=m (x)=1x+33x); ( )設實數(shù) k 使得 f(x)k(x+33x),對 x (0,1)恒成立 ,求 k 的最大值 . 10.(2010 年課標高考 理科 試題 )設函數(shù) f(x)=( )若 a=0,求 f(x)的單調區(qū)間 ; ( )若當 x 0 時 ,f(x) 0,求 a 的取值范圍 . 11.(2016 年 四川 高考 文科 試題 )設函數(shù) f(x)=g(x)=中 a R,e=為自然對數(shù)的底數(shù) . ( )討論 f(x)的單調性 ; ( )證明 :當 x1 時 ,g(x)0; ( )確定 a 的所有可能取值 ,使得 f(x)g(x)在區(qū)間 (1,+ )內(nèi)恒成立 . ( )f(x)在 (- , (0,+ )上單調遞增 ,在 ()上單調遞減 ; ( )當 x 0 時 ,f(x) 0 當 x 0 時 ,x( 0 當 x 0 時 ,0;令 g(x)= g(0)=0,所以 ,當 x 0 時 ,g(x) 0 g (0)=0)0()( x 0 10 a 1;當 a 1 時 ,則 g (x)=0 當 x 0 時 ,g(x)g(0)=a 的取值范圍 是 (- ,1. ( )切線 :2x+;( )當 x (1,+ )時 ,f(x)0 ;令 g(x)= g(1)=0,且1 )1()( x g (1)=1)1()( x 0 a 2;當 a 2 時 ,g (x)=22)1( 1)1(2 xx 0 g(x)在 (1,+ )上單 調遞 增 g(x)g(1) =a (- ,2. ( )當 a=2 時 ,f(x)在 (- ,0),(0,1)和 (1,+ )內(nèi) 單調遞增 ;當 02 時 ,f(x)在 (- ,),(,1)和 (1,+ )內(nèi) 單調遞增 ,在 (,)內(nèi) 單調 遞減 ; ( )令 g(x)=f(x) g(0)=0,所以 ,任意 x (0,1)恒有 f(x)1,即 g(x)0 g (0) 0 a 2;當 a 2 時 ,g (x)= f (x)=22)1( )2( e 0 g(x)在 (0,1)內(nèi) 單調遞增 g(x)g(0)=0 f(x)a 的取值范圍 是 (- ,2. ( )當 x由 f(x)1x+1易證 ;( )當 x 0時 f(x)=101f(x) 0 0 a 0 f(x)11 x=0,則 a R;若 x0,則 1)( 0;令 g(x)=1)(則 g (x)=(1-a)ex+a g (0)=0,g (x)=(1-a)x+(1 g (0)=10 a21; 當 a21時 ,g (x) 0 g (x)在 0,+ )內(nèi) 單調遞增 g (x) g (0)=0 g(x)在 0,+ )內(nèi) 單調遞增 g(x) g(0)=0; 當a21時 ,在 x=0 的右側附近 ,g (x)22,且 g(x)在 (0,1)內(nèi) 單調遞增 g(x)g(0)=0 f(x)2(x+33x); ( )令 h(x)=f(x)-k(x+33x),x (0,1),則 h(0)=0,所以 ,當 x (0,1)時 ,f(x)k(x+33x),即 h(x)0 h (0) 0 k 2;當 k=2 時 ,由 ( )知 ,f(x)k(x+33x)k 的最大值 為 2. ( )當 a=0 時 ,由 f(x)=f (x)=此列表如下 :由表知 ,f(x)在(- ,0)上 單調 遞減 0,+ )上 單 調 遞增 ; ( )由 f(x)=f (x)= f(0)=0,所以 ,當 x 0 時 ,f(x) 0 f (0) 0 a21;當 a21時 ,f (x)=(x+1)1x 0 f(x) f(0)=a 的取值范圍 是 (- ,21. ( )當 a0 時 ,f(x)在 (0,+ )上 遞 減 ;當 a0 時 ,f(x