16_4256760_60.源出一根.生于一母

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 源出一根 由圓錐曲 線 的 “伴侶點(diǎn)”生成的 高考試題 在 橢圓 G:222(ab0)中 ,經(jīng)常出現(xiàn)在 x 軸上滿足 、 N,或在 y 軸上滿足 、 N,這一對(duì)點(diǎn)總是同時(shí)出現(xiàn) ,形影不離 ,相伴而行 ,我們把這對(duì)特殊的點(diǎn)形象地稱作 橢圓 G 的“伴侶點(diǎn)” ;同樣可定義雙曲線和拋物線 的“ 伴侶點(diǎn)” 試題同源于 “伴侶點(diǎn)” ,均生于 “伴侶點(diǎn)”的 下述性質(zhì) . 母題結(jié)構(gòu) :( )己知 橢圓 G:222(ab0)和 x 軸上的兩點(diǎn) M、 N(或 y 軸上的兩點(diǎn) M、 N)(與橢圓中心和頂點(diǎn)均不重合 ),過點(diǎn) M 的直線交橢圓 G 于 A、 B 兩點(diǎn) ,則 充要 條件是 a2( ( )己知 雙曲線 G:22(a0,b0)和 x 軸上的兩點(diǎn) M、 N(或 y 軸上的兩點(diǎn) M、 N)(與橢圓中心和頂點(diǎn)均不重合 ),過點(diǎn)M 的直線交橢圓 G 于 A、 B 兩點(diǎn) ,則 充要條件是 a2( ( )己知 拋物線 G:px(p0)和 x 軸上的兩點(diǎn) M、 N(或 拋物線 G:py(p0)和 i 軸上的兩點(diǎn) M、 N),則 充要條件是 xM+(yM+); 解 題 程序 :( )設(shè) A(x1,B(x2,M(m,0),N(n,0),直線 AB:x=ty+m,代入橢圓方程得 :(a2+b2( 0 y1+2222222222 )( ;所以 , 1+2=0y 1 1+y 2 2=0 2m y1+0 220 mn=理可證 :當(dāng) 點(diǎn) M、 N在 y 軸上 時(shí) ;( )( )同理可證 . 侶點(diǎn)” 子題類型 :(2015 年 四川 高考試題 )如圖 ,橢圓 E:222(ab0)的離心率是22,過點(diǎn) P(0,1)的動(dòng)直線 l 與橢圓交于 A、 B 兩點(diǎn) ,當(dāng)直線 l 平行于 x 軸時(shí) ,直線 l 被橢圓 E 截的線段長為 2 2 . ( )求橢圓 E 的方程 ; ( )在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn) P 不同的定點(diǎn) Q,使得| | | 若存在 , 求出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo) ;若不存在 ;說明理由 . 解析 :( )由 e=22122,且 點(diǎn) ( 2 ,1)在 橢圓 E 上 22a+21b=1 a=2,b= 2 橢圓 E:42x +22y =1; ( )假設(shè)存在滿足題意的定點(diǎn) Q(0,q),則| | | ;設(shè) A(x1,B(x2,直線 AB:y=,代入橢圓 E 的 方程得 :(2) x1+1242kk,12 22k;所以 ,11+22=0111x + 221x =0 2k+(11 21 =0 2k+2(1-q)k=0 q=(0,2)滿足題意 . 點(diǎn)評(píng) :在 點(diǎn) B 上 ,則 | ( ,其中 子題類型 :(2008 年福建高考試題 )如圖 ,橢圓 C:222(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是為 F(1,0),且過點(diǎn) (2,0). ( )求橢圓 C 的方程 ; ( )若 垂直于 x 軸的動(dòng)弦 ,直線 l:x=4與 x 軸交于點(diǎn) N,直線 N 交于點(diǎn) M. (i)求證 :點(diǎn) M 恒在橢圓 C 上 ;( 積的最大值 . 解析 :( )由 a2=,a=2 橢圓 C 的方程 :34 22 =1; ( )(i)因 F(1,0),N(4,0),設(shè) 橢圓 C 交于點(diǎn) T, x 軸交于點(diǎn) S,由 4 點(diǎn) 重合 點(diǎn) T 是 直線 N 的 交 點(diǎn) M 點(diǎn) M 恒在橢圓 C 上 ; (直線 方程為 :x=,A(x1,M(x2,則點(diǎn) N(4,0)到直線 AF:x= 的距離 d=132t,由 1243 122 yx (3) y1+4362t t,4392t |212212 4)(1 = 121222t t S 1|AM|d=18 43 122 12t =m(m 1) t2=S 83118132 29. 點(diǎn)評(píng) :對(duì)于點(diǎn) N,則 直線 過點(diǎn) 侶點(diǎn)” M,該結(jié)論對(duì)三類圓 錐 曲線均成立 . 3.“伴侶點(diǎn)” 與向量 子題類型 :(2004 年 天津 高考試題 )橢圓的中心是原點(diǎn) O,它的短軸長為 2 2 ,相應(yīng) 于焦點(diǎn) F(c,0)(c0)的準(zhǔn)線 l 與x 軸相交于點(diǎn) A,|2|過點(diǎn) A 的直線與橢圓相交于 P、 ( )求橢圓的方程及離心率 ;( )若 0,求直線 方程 ; ( )設(shè) 1),過點(diǎn) P 且平行于準(zhǔn)線 l 的直線與橢圓相交于 另 一點(diǎn) M,證明 :Q . 解析 :( )設(shè)橢圓 :222,則 b= 2 ,c=2( ,c=2 橢圓 :62x+22y=1,離心率 e=36; ( )由 A(3,0),設(shè)直線 PQ:y=k(由 0 原點(diǎn) O 到直線 距離 d=22 26 1|3|26 k=55; ( )由 = 點(diǎn) F,|1: | | Q . 點(diǎn)評(píng) :若 M、 侶點(diǎn)” ,弦 點(diǎn) M,則 ( ,其中 且本題結(jié)論成立 . 1.(2015 年 福建 高考試題 )已知點(diǎn) F 為拋物線 E:px(p0)的焦點(diǎn) ,點(diǎn) A(2,m)在拋物線 E 上 , 且 |3. ( )求拋物線 E 的方程 ; ( )已知點(diǎn) G(),延長 拋物線 E 于點(diǎn) B,證明 :以點(diǎn) F 為圓心且與直線 切的圓 ,必 與直線 切 . 2.(2007年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南 初賽 試題 )已知拋物線 (0,8),A、 且 0)、 設(shè)其交點(diǎn)為 M. ( )證明 :點(diǎn) ( )是否存在定點(diǎn) Q,使得無論 都有 明你的結(jié)論 . 3.(2015 年課標(biāo) 高考試題 )在直角坐標(biāo)系 ,曲線 C:y=42y=kx+a(a0)交與 M,N 兩點(diǎn) . ( )當(dāng) k=0 時(shí) ,分別求 C 在點(diǎn) 處的切線方程 ; ( )y 軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng) k 變動(dòng)時(shí) ,總有 說明理由 . 4.(2013 年陜西 高考試題 )己知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) A(4,0),且在 y 軸上截得弦 長為 8. ( )求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程 ; ( )已知點(diǎn) B(),設(shè)不垂直于 x 軸的直線 l 與軌跡 C 交于不同的兩點(diǎn) P、 Q.若 x 軸是 角平分線 ,證明 :直線 5.(2010 年 全國 高考試題 )已知拋物線 C:x 的焦點(diǎn)為 F,過點(diǎn) K()的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D. ( )證明 :點(diǎn) F 在直線 ; ( )設(shè) =98,求 內(nèi)切圓 6.(2004 年 湖 南 高考試題 )如圖 ,過拋物線 y 的對(duì)稱軸上任一點(diǎn) P(0,m)(m0)作直線與 拋物線交于 A,B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) Q 是點(diǎn) P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) . ( )設(shè)點(diǎn) P 分有向線段 成的比為 ,證明 : ( ; ( )設(shè)直線 方程是 2=0,過 A、 B 兩點(diǎn)的圓 C 與拋物線在點(diǎn) A 處有共同的切線 , 求圓 C 的方程 . ( )由 |2+2p=3 p=2 拋物線 E:x; ( )由 點(diǎn) A(2,m)在拋物線 m= 2 2 ,不妨設(shè) A(2,2 2 ) 直線 AF:y=2 2 (代入 2=0 2 1 B(21 ,- 2 ) 322 - 322 =0 線 以點(diǎn) A 相切的圓 ,必與直線 切 . ( )設(shè) A(2x1,B(2x2,由 0) ( 8;拋物線過 A、 B 兩點(diǎn)的切線分別為 y+y+yM=8; ( )假設(shè) 存在定點(diǎn) Q(a,b),使 | =| | =| 22222 )()2( a(8=22121 )()2( a(8,令 a=0: 22222 )(4 (822121 )(4 (8b 8) 22222 )(4 (22121 )(4 ( 4(=4( (2+=(2+ (=( b=( )當(dāng) k=0時(shí) ,M(2 a ,a),N(-2 a ,a),由 y =21x 和 別為 :a (a )和 a (x+2 a ); ( )設(shè) M(x1,N(x2,P(0,b),將 y=kx+a 代入 C 得 : x1+k,4a;由 11+22 =011 +22 =0 2k+(1 21 =0 2k+(=1 b=(0,合題意 . ( )如圖 ,設(shè)動(dòng)圓的圓心 O1(x,y),過 1H H,則 H 為 中點(diǎn) ;由 | |=| |+|=| 6=()2+x 軌跡 C 的方程 為 :x; ( )設(shè) P(x1,Q(x2,直線 PQ:x=ty+m,代入 x 得 : y1+t,8m;由 x 軸是 角平分線 11122 2m+1)(y1+0 t(m+1)=0 m=1 直線 l 過定點(diǎn) (1,0). ( )設(shè) 直線 x 軸交于點(diǎn) E(),由 點(diǎn) A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D 0 點(diǎn) F 在直線 ; ( )由 =(1+21k)y1+4=4(1+21k)=88 k=43; 根據(jù)對(duì)稱性 ,不妨設(shè) k=43,則 直線 =0,且 3 分 圓 M 的圓心 M在 x 軸上 ;(=(x1+- 4162 2 12 = 73 直線 ;設(shè) M