全等三角形輔助線之截長補短和倍長中線(原題+解析).doc

全等三角形輔助線之截長補短與倍長中線一填空題（共1小題）1（2015秋宿遷校級月考）如圖，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D若BD：DC=3：2，點D到AB的距離為6，則BC的長是二解答題（共10小題）2（2010秋涵江區(qū)期末）如圖所示，在RtABC中，C=90，BC=AC，AD平分BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD3如圖，AD是ABC中BC邊上的中線，求證：AD（AB+AC）4（2013秋藁城市校級期末）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線，MN經過點C，且ADMN于點D，BEMN于點E（1）當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到如圖2的位置時，求證：DE=ADBE；（3）當直線MN繞點C旋轉到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關系？請你直接寫出這個數(shù)量關系，不要證明5已知ABC中，A=60，BD，CE分別平分ABC和ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關系，并說明理由6（2012秋西城區(qū)校級期中）已知：如圖，ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，F(xiàn)是CD中點，連BF交AC于點E，ABE+CEB=180，判斷BD與CE的數(shù)量關系，并證明你的結論7（2010秋豐臺區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC，點D是ABC內的一點，且AD=AC，若DAC=30，試探究BD與CD的數(shù)量關系并加以證明8已知點M是等邊ABD中邊AB上任意一點（不與A、B重合），作DMN=60，交DBA外角平分線于點N（1）求證：DM=MN；（2）若點M在AB的延長線上，其余條件不變，結論“DM=MN”是否依然成立？請你畫出圖形并證明你的結論9（2015春閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且BAE=2DAM求證：AE=BC+CE10已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE求證：BE+DF=AE11（2010秋巢湖期中）如圖，CE、CB分別是ABC、ADC的中線，且AB=AC求證：CD=2CE全等三角形輔助線之截長補短與倍長中線參考答案與試題解析一填空題（共1小題）1（2015秋宿遷校級月考）如圖，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D若BD：DC=3：2，點D到AB的距離為6，則BC的長是15【考點】角平分線的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】作DEAB于E，如圖，則DE=6，根據(jù)角平分線定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可計算出BD=9，然后利用BC=BD+DC進行計算即可【解答】解：作DEAB于E，如圖，則DE=6，AD平分BAC，DC=DE=6，BD：DC=3：2，BD=6=9，BC=BD+DC=9+6=15故答案為15【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等二解答題（共10小題）2（2010秋涵江區(qū)期末）如圖所示，在RtABC中，C=90，BC=AC，AD平分BAC交BC于D，求證：AB=AC+CD【考點】全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題【分析】利用已知條件，求得B=E，2=1，AD=AD，得出ABDAED（AAS），AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD【解答】證法一：如答圖所示，延長AC，到E使CE=CD，連接DEACB=90，AC=BC，CE=CD，B=CAB=（180ACB）=45，E=CDE=45，B=EAD平分BAC，1=2在ABD和AED中，ABDAED（AAS）AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD證法二：如答圖所示，在AB上截取AE=AC，連接DE，AD平分BAC，1=2在ACD和AED中，ACDAED（SAS）AED=C=90，CD=ED，又AC=BC，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AE+BE，AB=AC+CD【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質；通過SAS的條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結論來求得三角形各邊之間的關系3如圖，AD是ABC中BC邊上的中線，求證：AD（AB+AC）【考點】全等三角形的判定與性質；三角形三邊關系菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】可延長AD到E，使AD=DE，連BE，則ACDEBD得BE=AC，進而在ABE中利用三角形三邊關系，證之【解答】證明：如圖延長AD至E，使AD=DE，連接BE在ACD和EBD中：ACDEBD（SAS），AC=BE（全等三角形的對應邊相等），在ABE中，由三角形的三邊關系可得AEAB+BE，即2ADAB+AC，AD（AB+AC）【點評】本題主要考查全等三角形的判定及性質以及三角形的三邊關系問題，能夠熟練掌握4（2013秋藁城市校級期末）在ABC中，ACB=90，AC=BC，直線，MN經過點C，且ADMN于點D，BEMN于點E（1）當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到如圖2的位置時，求證：DE=ADBE；（3）當直線MN繞點C旋轉到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關系？請你直接寫出這個數(shù)量關系，不要證明【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題【分析】（1）利用垂直的定義得ADC=CEB=90，則根據(jù)互余得DAC+ACD=90，再根據(jù)等角的余角相等得到DAC=BCE，然后根據(jù)“AAS”可判斷ADCCEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；（2）與（1）一樣可證明ADCCEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CECD=ADBE；（3）與（1）一樣可證明ADCCEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CDCE=BEAD【解答】（1）證明：ADMN，BEMN，ADC=CEB=90，DAC+ACD=90，ACB=90，BCE+ACD=90，DAC=BCE，在ADC和CEB，ADCCEB（AAS），CD=BE，AD=CE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）證明：與（1）一樣可證明ADCCEB，CD=BE，AD=CE，DE=CECD=ADBE；（3）解：DE=BEAD【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等5已知ABC中，A=60，BD，CE分別平分ABC和ACB，BD、CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關系，并說明理由【考點】全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】在CB上取點G使得CG=CD，可證BOEBOG，得BEBG，可證CDOCGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC【解答】解：在BC上取點G使得CG=CD，BOC=180（ABC+ACB）=180（18060）=120，BOE=COD=60，在COD和COG中，CODFCOG（SAS），COG=COD=60，BOG=12060=60=BOE，在BOE和BOG中，BOEBOG（ASA），BE=BG，BE+CD=BG+CG=BC【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角、對應邊相等的性質，本題中求證CD=CG和BE=BG是解題的關鍵6（2012秋西城區(qū)校級期中）已知：如圖，ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，F(xiàn)是CD中點，連BF交AC于點E，ABE+CEB=180，判斷BD與CE的數(shù)量關系，并證明你的結論【考點】全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】探究型【分析】延長BF至點G，使FG=BF，連CG，證GFCBFD，CGF=FBD，CG=DB，求出CGF=CEG，推出CG=CE，即可得出答案【解答】結論：BD=CE 證明：延長BF至點G，使FG=BF，連CG，F(xiàn)為CD中點，CF=DF，在GFC和BFD中GFCBFD（SAS），CGF=FBD，CG=DB，又ABE+CEB=180，CEG+CEB=180，CGF=CEG，CG=CE，BD=CE【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用7（2010秋豐臺區(qū)期末）已知：如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC，點D是ABC內的一點，且AD=AC，若DAC=30，試探究BD與CD的數(shù)量關系并加以證明【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】探究型【分析】作BEBC，AEAC，兩線相交于點E，則四邊形AEBC是正方形，由DAC=30，得DAE=60，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等邊三角形，可得AED=60，DEB=30，所以，ADCEDB，可得BD=CD；【解答】解：BD=CD證明：作BEBC，AEAC，兩線相交于點E，ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，四邊形AEBC是正方形，DAC=30，DAE=60，AD=AC，AD=AE，AED是等邊三角形，AED=60，DEB=30，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），BD=CD【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，作輔助線構建正方形，通過證明三角形全等得出線段相等，是解答本題的基本思路8已知點M是等邊ABD中邊AB上任意一點（不與A、B重合），作DMN=60，交DBA外角平分線于點N（1）求證：DM=MN；（2）若點M在AB的延長線上，其余條件不變，結論“DM=MN”是否依然成立？請你畫出圖形并證明你的結論【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）在AD上截取AF=AM，證明DFMMBN即可；（2）在AD的延長線上截取AF=AM，證明DFMMBN即可【解答】證明：（1）如圖1，在AD上截取AF=AM，ABD是等邊三角形，AMF是等邊三角形，DF=MB，DFM=120，BN是DBA外角平分線，MBN=120，DFM=MBN，DMN=60，BMN+AMD=120，A=60，F(xiàn)DM+AMD=120，F(xiàn)DM=BMN，在FDM和BMN中，F(xiàn)DMBMN（ASA），DM=MN（2）點M在AB的延長線上，如圖2所示，在AD的延長線上截取AF=AM，ABD是等邊三角形，AMF是等邊三角形，DF=MB，DFM=60，BN是DBA外角平分線，MBN=60，DFM=MBN，BMN=AMD+DMN，F(xiàn)DM=A+AMD，DMN=A=60，F(xiàn)DM=BMN，在FDM和BMN中，F(xiàn)DMBMN（ASA），DM=MN【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質，通過輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵9（2015春閔行區(qū)期末）如圖所示，在正方形ABCD中，M是CD的中點，E是CD上一點，且BAE=2DAM求證：AE=BC+CE【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題【分析】延長AB到F，使BF=CE，連接EF與BC相交于點N，利用“角角邊”證明BFN和CEN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BN=CN，EN=FN，再根據(jù)正方形的性質可得BAN=DAM，然后求出BAN=EAN，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得AE=AF，從而得證【解答】證明：如圖，延長AB到F，使BF=CE，連接EF與BC相交于點N，在BFN和CEN中，BFNCEN（AAS），BN=CN，EN=FN，又M是CD的中點，BAN=DAM，BAE=2DAM，BAN=EAN，AN既是AEF的角平分線也是中線，AE=AF，AF=AB+BF，AE=BC+CE【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，難點在于作輔助線構造出等腰三角形和全等三角形10已知：如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE求證：BE+DF=AE【考點】全等三角形的判定與性質；正方形的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題【分析】延長CB到G，使BG=DF，連接AG，由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質得到AB=AD，ABCD，D=ABC=90，進而得到5=BAF=1+3，ABG=180ABC=90，利用SAS得到三角形ABG與三角形ADG全等，利用全等三角形對應角相等得到G=5，1=2=4，等量代換得到G=EAG，利用等角對等邊得到AE=GE，由GE=BE+BG，等量代換即可得證【解答】解：延長CB到G，使BG=DF，連接AG，四邊形ABCD為正方形，AB=AD，ABCD，D=ABC=90，5=BAF=1+3，ABG=180ABC=90，在ABG和ADG中，ABGADF（SAS），G=5，1=2=4，G=5=1+3=4+3=EAG，AE=GE=BE+GB=BE+DF【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵11（2010秋巢湖期中）如圖，CE、CB分別是ABC、ADC的中線，且AB=AC求證：CD=2CE【考點】全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題【分析】延長CE到F，使CE=EF，連接FB，由AECBEF得出對應的邊角相等，進而求證CBFCBD，即可得出結論【解答】證明：延長CE到F，使EF=CE，連接FBCE是ABC的中線，AE=EB，又AEC=BEF，AECBEF，（SAS）A=EBF，AC=FBAB=AC，ABC=ACB，CBD=A+ACB=EBF+ABC=CBF；CB是ADC的中線，AB=BD，又AB=AC，AC=FB，F(xiàn)B=BD，又CB=CB，CBFCBD（SAS），CD=CF=CE+EF=2CE【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質，等腰三角形的性質解決此題的關鍵是通過延長中線構造全等三角形考點卡片1三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形（3）三角形的兩邊差小于第三邊（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略2全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形3角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等注意：這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，C在AOB的平分線上，CDOA，CEOBCD=CE4等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性質 等腰三角形的兩腰相等 等腰三角形的兩個底角相等【簡稱：等邊對等角】 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合【三線合一】（3）在等腰；底邊上的高；底