D9_3方向?qū)?shù)與梯度.ppt

第九章 第三節(jié) 一 方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 梯度 三 物理意義 方向?qū)?shù)與梯度 一 方向?qū)?shù) 定義 若函數(shù) 則稱 為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l的方向?qū)?shù) 在點(diǎn) 處 沿方向l 方向角為 存在下列極限 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 記作 定理 則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)存在 證明 由函數(shù) 且有 在點(diǎn)P可微 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 可微二元函數(shù) 為 的方向?qū)?shù)為 向角 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例求 在原點(diǎn) 處沿非零矢量 解用定義計(jì)算 的方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 特別 當(dāng)l與x軸同向 當(dāng)l與x軸反向 思考 第二個(gè)結(jié)果為什么是負(fù)的 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 方向?qū)?shù)與可微之間的關(guān)系 顯然在原點(diǎn)即不可導(dǎo)也就自然不可微也 可微性 依據(jù)方向?qū)?shù)的定義 有 例1 求函數(shù) 在點(diǎn)P 1 1 1 沿向量 3 的方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 求函數(shù) 在點(diǎn)P 2 3 沿曲線 相切且朝x增大方向的方向?qū)?shù) 解 將已知曲線用參數(shù)方程表示為 它在點(diǎn)P的切向量為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 設(shè) 是曲面 在點(diǎn)P 1 1 1 處 指向外側(cè)的法向量 解 方向余弦 而 同理得 方向 的方向?qū)?shù) 在點(diǎn)P處沿 求函 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 數(shù) 二 梯度 方向?qū)?shù)公式 令向量 這說明 方向 f變化率最大的方向 模 f的最大變化率之值 方向?qū)?shù)取最大值 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 定義 即 同樣可定義二元函數(shù) 稱為函數(shù)f P 在點(diǎn)P處的梯度 記作 gradient 在點(diǎn) 處的梯度 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 說明 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 向量 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 稱為函數(shù)f的等值線 等量線 2 梯度的幾何意義 等高線 等值線 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 則L 上點(diǎn)P處的法向量為 同樣 對應(yīng)函數(shù) 有等值面 等量面 當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí) 其上 點(diǎn)P處的法向量為 3 梯度的基本運(yùn)算公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面 或等值線 指向函數(shù)增大的方向 綜上所述 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例4 國家大劇院的屋頂為橢球面 表面光滑無摩擦 在無風(fēng)的雨天 雨水落在上面向下 流 求雨滴下滑曲線的方程 解 與待求投 分析 雨水會(huì)沿著z變化最快方向 也就是沿著與z的方向?qū)?shù)取得最大值的方向 上看即沿著平行于函數(shù)z的梯度方 向運(yùn)行 流下 流下 從平面 由于重力作用 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 影曲線的切矢量 平行 空間曲線為 方程 得平面投影曲線 例5 證 試證 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 物理意義 函數(shù) 數(shù)量場 數(shù)性函數(shù) 場 向量場 矢性函數(shù) 可微函數(shù) 梯度場 勢 如 溫度場 電位場等 如 力場 速度場等 向量場 注意 任意一個(gè)向量場不一定是梯度場 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在任意點(diǎn) 試證 證 利用例4的結(jié)果 這說明場強(qiáng) 處所產(chǎn)生的電位為 垂直于等位面 且指向電位減少的方向 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1 方向?qū)?shù) 三元函數(shù) 在點(diǎn) 沿方向l 方向角 的方向?qū)?shù)為 二元函數(shù) 在點(diǎn) 的方向?qū)?shù)為 沿方向l 方向角為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 梯度 三元函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度為 二元函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度為 3 關(guān)系 方向?qū)?shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在 可微 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 設(shè)函數(shù) 1 求函數(shù)在點(diǎn)M 1 1 1 處沿曲線 在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 M 1 1 1 處切線的方向向量 提示 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 求函數(shù)在M 1 1 1 處的梯度與 1 中切線方向 的夾角 提示 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 提示 2 求函數(shù) 在橢球面 上點(diǎn) 處沿外法線方向的方向?qū)?shù) 補(bǔ)充題1 函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度 解 則 注意x y z具有輪