第10講 數(shù)論之帶余除法 教師版

2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 余數(shù)問題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來說非常重要。 許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題，并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了！” 余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理），及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。 一、 帶余除法的定義 及性質(zhì) ： 一般地，如果 b 0） ,若有 a b=q r，也就是 a b q r, 0 r b；我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里： (1)當(dāng) 0r 時(shí)：我們稱 (2)當(dāng) 0r 時(shí)：我們稱 一個(gè)完美的帶余除法講解模型 : 如圖，這是一堆書，共有 a 本，這個(gè) a 就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了 c 捆，那么這個(gè) c 就是商，最后還剩余 d 本，這個(gè) d 就是余數(shù)。 這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中 4 個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。 二、三大余數(shù)定理： a與 于 a,這個(gè)和除以 例如： 23， 16除以 5的余數(shù)分別是 3和 1，所以 23+16=39除以 5的余數(shù)等 知識(shí)點(diǎn)撥 教學(xué)目標(biāo) 第十講：數(shù)論之帶余除法 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 于 4，即兩個(gè)余數(shù)的和 3+1. 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以 例如： 23， 19 除以 5 的余數(shù)分別是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余數(shù)等于 3+4=7 除以 5 的余數(shù)，即2. a與 于 a,者這個(gè)積除以 例如： 23， 16除以 5的余數(shù)分別是 3和 1，所以 23 16除以 5的余數(shù)等于 3 1=3。 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以 例如： 23， 19除以 5的余數(shù)分別是 3和 4，所以 23 19除以 5的余數(shù)等于 3 4 除以 5的余數(shù)，即 2. 若兩個(gè)整數(shù) a、 么稱 a、 式子 表示為： a b ( m )，左邊的式子叫做同余式。 同余式讀作： b，模 m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論： 若兩個(gè)數(shù) a， a， 用式子表示為：如果有 a b ( m )，那么一定有 a b mk, m|(a b) 三、棄九法原理： 在公元前 9 世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式 是這樣進(jìn)行的： 例如：檢驗(yàn)算式 1 2 3 4 1 8 9 8 1 8 9 2 2 6 7 8 9 6 7 1 7 8 9 0 2 8 8 9 9 2 3 1234除以 9的余數(shù)為 1 1898除以 9的余數(shù)為 8 18922除以 9的余數(shù)為 4 678967除以 9的余數(shù)為 7 178902除以 9的余數(shù)為 0 這些余數(shù)的和除以 9的余數(shù)為 2 而等式右邊和除以 9的余數(shù)為 3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。 上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以 9的余數(shù)的和再除以 9的余數(shù)一定與等式右邊和除以 9的余數(shù)相同。 而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以 9所得的余 數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 的各個(gè)位數(shù)字之和除以 9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè) 9一個(gè) 9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。 所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模 9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個(gè)整數(shù)被 9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被 9除的余數(shù)即可。 利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用 注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。 例如：檢驗(yàn)算 式 9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以 9的余數(shù)都是 0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的 但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式 2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。 四、中國(guó)剩余定理： 中國(guó)數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！?此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。 韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少， 韓信答說，每 3人一列余 1人、 5人一列余 2人、 7 人一列余 4人、 13人一列余 6人。劉邦茫然而不知其數(shù)。 我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬，每 5人一列、 9人一列、 13人一列、 17 人一列都剩 3人，則兵有多少？ 首先我們先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍數(shù) 9945（注：因?yàn)?5、 9、 13、 17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加 3，得 9948（人）。 孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn) 得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ 近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。 對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經(jīng)中的問題為例，分析此方法 : 今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？ 題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以 3， 5， 7 后，得到三個(gè)余數(shù)分別為 2， 3， 010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以 3余 1，并且還是 5和 7的公倍數(shù)。 先由 5 7 35 ，即 5和 7 的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看 35 除以 3余 2，不符合要求，那么就繼續(xù)看 5和7 的“下一個(gè)”倍數(shù) 35 2 70 是否可以，很顯然 70 除以 3余 1 類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以 5余 1，同時(shí)又是 3和 7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然 21可以符合要求。 最后再構(gòu)造除以 7 余 1，同時(shí)又是 3， 5 公倍數(shù)的數(shù)字， 45 符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算： 2 7 0 3 2 1 2 4 5 3 , 5 , 7 2 3 3 3 , 5 , 7 ， 其中 開始的自然數(shù)。 也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。 例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”， 那么我們可以計(jì)算 2 7 0 3 2 1 2 4 5 2 3 , 5 , 7 2 3 得到所求 如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)” , 我們只要對(duì)最小的 23 加上 3,5,7即可，即 23+105=128。 【 模塊 一：帶余除法的定義和性質(zhì)】 【例 1】 (第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決 賽 )用某自然數(shù) a 去除 1992 ，得到商是 46，余數(shù)是 r ，求 a 和 r 【 解解 析析 】 因?yàn)?1992 是 a 的 46 倍還多 r ,得到 1 9 9 2 4 6 4 3 . ，得 1 9 9 2 4 6 4 3 1 4 ，所以 43a ，14r 【 鞏鞏 固固 】 (清華附中小升初分班考試 )甲、乙兩數(shù)的和是 1088 ，甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余 32 ，求甲、乙兩 數(shù) 【 解解 析析 】 (法 1)因?yàn)?甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ； 則乙 (1 0 8 8 3 2 ) 1 2 8 8 ，甲 1088乙 1000 (法 2)將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從 1088 中減掉 32 以后， 1056 就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的 (11 1) 倍，所以得到乙數(shù) 1056 12 88 ，甲數(shù) 1 0 8 8 8 8 1 0 0 0 【 鞏鞏 固固 】 一個(gè)兩位數(shù)除 310，余數(shù)是 37，求這樣的兩位數(shù)。 【 解解 析析 】 本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，就是把余數(shù)問題 整除問題”轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。 本題中 31073，說明 273 是所求余數(shù)的倍數(shù)，而 273=3 7 13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿例題精講 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 足比 37 大，符合條件的有 39， 91. 【例 2】 (2003 年 全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )有兩個(gè) 自然數(shù)相除，商是 17 ，余數(shù)是 13 ，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之 和為 2113 ，則被除 數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 被除數(shù) 除數(shù) 商 余數(shù) 被除數(shù) 除數(shù) +17+13=2113，所以被除數(shù) 除數(shù) =2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的 17 倍還多 13，則由“和倍問題”可得：除數(shù) =（ 2083（ 17+1） =115，所以被除數(shù)=2083968 【 鞏鞏 固固 】 用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù)，商為 40，余數(shù)是 數(shù)、商、余數(shù)的和是 933，求這 2 個(gè)自然數(shù)各是多少？ 【 解解 析析 】 本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為 x,y，可以得到 4 0 1 64 0 1 6 9 3 3 ,解方程組得 85621，即這兩個(gè)自然數(shù)分別是 856， 21. 【例 3】 (2000 年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題 )三個(gè)不同的自然數(shù)的和為 2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是 _， _， _。 【 解解 析析 】 設(shè)所得的商為 a ，除數(shù)為 b ( 1 9 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 0 0 1a b a b a b ， 73 3 2001 ，由 19b ，可求得 27a ， 10b 所以，這三個(gè)數(shù)分別是 19 523 ， 23 631 ， 31 847 。 【 鞏鞏 固固 】 (2004 年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題 )一個(gè)自然數(shù)，除以 11 時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以 9 時(shí)所得到 的商是余數(shù)的 3 倍，這個(gè) 自然數(shù)是 _ 【 解解 析析 】 設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以 11 余 a (0 11)a ，除以 9余 b (0 9)b ，則有 1 1 9 3a a b b ，即 37，只有 7a ， 3b ，所以這個(gè)自然數(shù)為 84712 。 【例 4】 (1997 年我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題 )有 48 本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多 5人 如果把書全 部分給第一組，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，書不夠 如果把書全分給第二組， 那么每人 3本，有剩余；每人 4本，書不夠 問：第二組有多少人 ? 【 解解 析析 】 由 48 4 12 ， 48 5 知，一組是 10 或 11 人同理可知 48 3 16 ， 48 4 12 知，二組是13、 14 或 15 人，因?yàn)槎M比一組多 5人，所以二組只能是 15 人，一組 10人 【 鞏鞏 固固 】 一個(gè)兩位數(shù)除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余數(shù)是 6，求這個(gè)兩位數(shù) 【 解解 析析 】 因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以 13的商是 6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于 13 6 78 ，并且小于 13 (6 1) 91 ；又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以 11余 6，而 78 除以 11余 1，這個(gè)兩位數(shù)為 78 5 83 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 【 模 塊 二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】 【例 5】 有一個(gè)大于 1的整數(shù)，除 45,59,101 所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù) . 【解析】 這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 101 45 56 ， 59 45 14， (56,14) 14 ， 14的約數(shù)有 1,2,7,14 ，所以這個(gè)數(shù)可能為 2,7,14 。 【 鞏鞏 固固 】 有一個(gè)整數(shù)，除 39,51,147 所得的余數(shù)都是 3，求這個(gè)數(shù) . 【解析】 (法 1) 39 3 36 ， 147 3 144 ， (36,144) 12 ， 12 的約數(shù)是 1, 2,3, 4,6,12 ，因?yàn)橛鄶?shù)為 3 要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是 4,6,12 ； (法 2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù) 51 39 12， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以這個(gè)數(shù)是 4,6,12 【 鞏鞏 固固 】 在小于 1000的自然數(shù)中，分別除以 18及 33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè) ?(余數(shù)可以為 0) 【解析】 我們知道 18， 33 的最小公 倍數(shù)為 18， 33=198，所以每 198個(gè)數(shù)一次 1 198之間只有 1， 2， 3， 17， 198(余 O)這 18 個(gè)數(shù)除以 18及 33所得的余數(shù)相同， 而 999 198=5 9，所以共有 5 18+9=99個(gè)這樣的數(shù) 【 鞏鞏 固固 】 (2008年仁華考題 )一個(gè)三位數(shù)除以 17和 19都有余數(shù)，并且除以 17后所得的商與余數(shù)的和等于它除以 19后所得到的商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是 多少 ，最小數(shù)是 多少？ 【解析】 設(shè)這個(gè)三位數(shù)為 s ，它除以 17和 19的商分別為 a 和 b ，余數(shù)分別為 m 和 n ，則 17 19s a m b n 根據(jù)題意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即 16 18，得 89所以 a 是 9的倍數(shù)， b 是 8的倍數(shù)此時(shí)，由 a m b n 知 8199n m a b a a a 由于 s 為三位數(shù)，最小為 100，最大為 999，所以 1 0 0 1 7 9 9 9 ，而 1 16m ， 所以 1 7 1 1 7 9 9 9a a m ， 1 0 0 1 7 1 7 1 6a m a ，得到 5 58a ，而 a 是 9的倍數(shù)，所以 ，最大為 54 當(dāng) 54a 時(shí)， 1 69n m a ，而 18n ，所以 12m ，故此時(shí) s 最大為 1 7 5 4 1 2 9 3 0 ； 當(dāng) 9a 時(shí)， 1 19n m a ，由于 1m ，所以此時(shí) s 最小為 17 9 1 154 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 所以這樣的三位數(shù)中最大的是 930，最小的是 154 【例 6】 兩位自然數(shù) 以 7都余 1，并且 ，求 ab 【解析】 ab 能被 7整除，即 ( 1 0 ) 1 0 ) 9a b b a a b （ （ ）能被 7整除 所以只能有 7 ，那么 2和 81，驗(yàn)算可得當(dāng) 92時(shí)， 29 滿足題目要求， 9 2 2 9 2 6 6 8a b b a 【 鞏鞏 固固 】 學(xué)校新買來 118個(gè)乒乓球， 67個(gè)乒乓球拍和 33 個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個(gè)班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請(qǐng)問學(xué)校共有多少個(gè)班？ 【解析】 所求班級(jí)數(shù)是除以 118,67,33 余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為 118 67 51和 67 33 34 的公約數(shù)，所求答案為 17 【 鞏鞏 固固 】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )在除 13511， 13903及 14589 時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整 數(shù)是 _ 【解析】 因?yàn)?3921351113903 , 68 613 90314 589 ， 由 于 13511， 13903， 14589要被同一個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除 98)686,392( ，所以所求的最大整數(shù)是 98 【例 7】 (2003年南京市少年數(shù)學(xué)智 力冬令營(yíng)試題 ) 20032 與 22003 的和除以 7的余數(shù)是 _ 【解析】 找規(guī)律用 7除 2， 2 ， 32 ， 42 ， 52 ， 62 ， 的余數(shù)分別是 2， 4， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 1， ,2的個(gè)數(shù)是 3的倍數(shù)時(shí)，用 7除的余數(shù)為 1； 2的個(gè)數(shù)是 3的倍數(shù)多 1時(shí)，用 7除的余數(shù)為 2； 2的個(gè)數(shù)是 3的倍數(shù)多 2時(shí)，用 7除的余數(shù)為 4因?yàn)?2003 3 667 222 ，所以 20032 除以 7余 4又兩個(gè)數(shù)的積除以 7的余數(shù)，與兩個(gè)數(shù)分別除以 7所得余數(shù)的積相同而 2003除以 7余 1，所以 22003 除以 7余 1故 20032 與 22003 的和除以 7的余數(shù)是 4 1 5 【 鞏鞏 固固 】 (2004年南京市少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)試題 )在 1995， 1998， 2000， 2001， 2003 中，若其中幾個(gè)數(shù)的和被 9除余 7， 則將這幾個(gè)數(shù)歸為一組這樣的數(shù)組共有 _組 【解析】 1995， 1998， 2000， 2001， 2003除以 9的余數(shù)依次是 6， 0， 2， 3， 5 因?yàn)?2 5 2 5 0 7 ， 2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9 ， 所以這樣的數(shù)組共有下面 4個(gè)： 2003,2000 ， 2003,2000,1998 ， 1995,2001,2003,2000 ， 1995,2001,2003,2000,1998 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 【例 8】 (2005 年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )有一個(gè)整數(shù)，用它去除 70， 110， 160 所得到的 3 個(gè)余數(shù)之和是 50，那 么這個(gè)整數(shù)是 _ 【解析】 ( 7 0 1 1 0 1 6 0 ) 5 0 2 9 0 ， 50 3 16. ，除數(shù)應(yīng)當(dāng)是 290 的大于 17 小于 70 的約數(shù)，只可能是 29和 58， 1 1 0 5 8 1 . ， 5052 ，所以除數(shù)不是 58 70 29 2. ， 1 1 0 2 9 3 . ， 1 6 0 2 9 5 . ， 50152312 ，所以除數(shù)是 29 【 鞏鞏 固固 】 (2002年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )用自然數(shù) 3， 91， 129得到的三個(gè)余數(shù)之和為 25，那么 n=_ 【解析】 n 能整除 2 5 8251 2 99163 因?yàn)?25 3 8. ，所以 n 是 258 大于 8 的約數(shù) 顯然， 能大于 63 符合條件的只有 43 【 鞏鞏 固固 】 號(hào)碼分別為 101,126,173,193 的 4 個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽 ,規(guī)定每?jī)扇吮荣惖谋P數(shù)是他們號(hào)碼的和被 3除所得的余數(shù) 【解析】 本題可以體現(xiàn)出加法余數(shù)定理的巧用。計(jì)算 101， 126， 173， 193除以 3的余數(shù)分別為 2， 0， 2，1。那么任意兩名運(yùn)動(dòng)員的比賽盤數(shù)只需要用 2， 0， 2， 1兩兩相加除以 3即可。顯然 126運(yùn)動(dòng)員打 5盤是最多的。 【例 9】 (2002年小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題 )六名小學(xué)生分別帶著 14元、 17元、 18元、 21元、26 元、 37 元錢，一起到 新華書店購買成語大詞典一看定價(jià)才發(fā)現(xiàn)有 5 個(gè)人帶的錢不夠，但是其 中甲、乙、丙 3人的錢湊在一起恰好可買 2本，丁、戊 2人的錢湊在一起恰好可買 1本 這種成語大詞典的定價(jià)是 _元 【解析】 六名小學(xué)生共帶錢 133 元 133 除以 3 余 1，因?yàn)榧住⒁?、丙、丁、戊的錢恰好能買 3 本，所以他們五人帶的錢數(shù)是 3的倍數(shù)，另一人帶的錢除以 3余 1易知，這個(gè)錢數(shù)只能是 37 元，所以每本成語大詞典的定價(jià)是 ( 1 4 1 7 1 8 2 1 2 6 ) 3 3 2 (元 ) 【 鞏鞏 固固 】 (2000年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題 )商店里有六箱貨物，分別重 15， 16， 18， 19， 20， 31千克，兩個(gè)顧客買 走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的 2倍，那么商店剩下 的一箱貨物重量是 _千克 【解析】 兩個(gè)顧客買的貨物重量是 3 的倍數(shù) ( 1 5 1 6 1 8 1 9 2 0 3 1 ) ( 1 2 ) 1 1 9 3 3 9 . . . 2 ，剩下的一箱貨 物重量除以 3應(yīng)當(dāng)余 2，只能是 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 20 千克 【例 10】 求 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù) 【解析】 因?yàn)?2 4 6 1 1 1 2 2 3 . ， 135 11 12. ， 6 0 4 7 1 1 5 4 9 . ，根據(jù)同余定理 (三 )， 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù)等于 8 3 8 11 的余數(shù)，而 8 3 8 192 ， 192 11 17. ，所以 2 4 6 1 1 3 5 6 0 4 7 1 1 的余數(shù)為 5 【 鞏鞏 固固 】 (華羅庚金杯賽模擬試題 )求 478 296 351除以 17的余數(shù) 【解析】 先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以 17 的余數(shù)，再求余數(shù)之積除 以 17的余數(shù) 478, 296,351 除以 17的余數(shù)分別為 2， 7和 11， ( 2 7 1 1 ) 1 7 9 . . . . . . 1 【 鞏鞏 固固 】 求 19973 的最后兩位數(shù) 【解析】 即考慮 19973 除以 100的余數(shù)由于 100 4 25 ，由于 33 27 除以 25余 2，所以 93 除以 25 余 8， 103 除以 25 余 24，那么 203 除以 25 余 1；又因?yàn)?23 除以 4余 1，則 203 除以 4余 1；即 2031 能被 4 和 25整除，而 4與 25互質(zhì)，所以 2031 能被 100 整除，即 203 除以 100余 1，由于 1 9 9 7 2 0 9 9 1 7 ，所以 19973 除以 100的余數(shù)即等于 173 除以 100 的余數(shù)，而 63 729 除以 100 余29， 53 243 除以 100 余 43， 17 6 2 53 (3 ) 3，所以 173 除以 100 的余數(shù)等于 29 29 43 除以 100的余數(shù)，而 2 9 2 9 4 3 3 6 1 6 3 除以 100 余 63，所以 19973 除以 100 余 63，即 19973 的最后兩位數(shù)為63 【 鞏鞏 固固 】 22000 2222個(gè)除以 13所得余數(shù)是 _. 【解析】 我們發(fā)現(xiàn) 222222整除 13， 2000 6余 2，所以答案為 22 13余 9。 【 鞏鞏 固固 】 求 89143 除以 7的余數(shù) 【解析】 法一： 由于 143 3 m (143被 7除余 3)， 所以 8 9 8 91 4 3 3 m o d 7 ( 89143 被 7除所得余數(shù)與 893 被 7除所得余數(shù)相等 ) 而 63 729 ， 729 1 m （ 729除以 7的余數(shù)為 1）， 所以 8 9 6 6 6 5 5143 3 3 3 3 3 5 m o d 7 4 2 4 4 3個(gè) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 0 3 故 89143 除以 7的余數(shù)為 5. 法二： 計(jì)算 893 被 7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如 下 表 ： 13 23 3 43 53 63 73 L 3 2 6 4 5 1 3 L 于是余數(shù)以 6為周期變化所以 8 9 53 3 5 m o d 7 【 鞏鞏 固固 】 （ 2007年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題） 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余數(shù)是多少？ 【解析】 由于2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 4 0 0 51 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 3 1 3 3 56 L，而 1001是 7的倍數(shù)，所以這個(gè)乘積也是 7的倍數(shù)，故 2 2 2 2 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 L 除以 7的余數(shù)是 0； 【 鞏鞏 固固 】 30 3131 30 被 13除所得的余數(shù)是多少？ 【解析】 31被 13 除所得的余數(shù)為 5，當(dāng) n 取 1， 2， 3， L 時(shí) 5n 被 13 除所得余數(shù)分別是 5， 12， 8， 1， 5，12， 8， 1L 以 4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以 305 被 13除的余數(shù)與 25 被 13除的余數(shù)相同，余 12，則 3031除以 13 的余數(shù)為 12； 30被 13 除所得的余數(shù)是 4，當(dāng) ， 2， 3， L 時(shí)， 4n 被 13除所得的余數(shù)分別是 4， 3， 12， 9，10， 1， 4， 3， 12， 9， 10， 為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以 314 被 13 除所得的余數(shù)等于 14 被 13除所得的余數(shù)，即 4，故 3130 除以 13 的余數(shù)為 4； 所以 30 3131 30 被 13除所得的余數(shù)是 12 4 13 3 【 鞏鞏 固固 】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯 )已知2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43個(gè)，問： a 除以 13所得的余數(shù)是多少？ 【解析】 2008除以 13 余 6， 10000除以 13 余 3，注意到 20082008 2008 10000 2008 ； 200820082008 20082008 10000 2008 ； 2008200820082008 200820082008 10000 2008 ； 據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律： 20082008除以 13余 6 3 6 13 11 ， 200820082008除以 13余 1 1 3 6 3 9 0 ，即 200820082008是 13的倍數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 1 3 而 2008 除以 3余 1，所以2 0 0 8 2 0 0 820082008 2008a 44 2 4 4 43個(gè)除以 13 的余數(shù)與 2008 除以 13的余數(shù)相同，為 6. 【 鞏鞏 固固 】 1996 7777 77142 43個(gè)除以 41的余數(shù)是 多少？ 【解析】 找規(guī)律： 7 41 7 ， 77 41 36 ， 7 7 7 4 1 3 9 ， 7 7 7 7 4 1 2 8 ， 7 7 7 7 7 4 1 0 ， ，所以 77777是 41的倍數(shù)，而 1 9 9 6 5 3 9 9 1 L ，所以1996 7777 77142 43個(gè)可以分成 399段 77777和 1個(gè) 7組成，那么它除以 41 的余數(shù)為 7 【 鞏鞏 固固 】 1 2 3 4 2 0 0 51 2 3 4 2 0 0 5 0所得的余數(shù)為多少？ 【解析】 求結(jié)果除以 10的余數(shù)即求其個(gè)位數(shù) 字 從 1到 2005這 2005個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是 10個(gè)一循環(huán)的，而對(duì)一個(gè)數(shù)的冪方的個(gè)位數(shù)，我們知道它總是 4 個(gè)一循環(huán)的，因此把 所有 加數(shù)的個(gè)位數(shù)按 每 20個(gè) (20是 4和 10 的最小公倍數(shù) )一組，則不同組中對(duì)應(yīng)的 個(gè)位 數(shù)字應(yīng)該是一樣的 首先計(jì)算 1 2 3 4 2 01 2 3 4 2 0 為 1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 9 4 的個(gè)位數(shù)字，為 4， 由于 2005 個(gè)加數(shù) 共可分成 100 組另 5 個(gè)數(shù)， 100 組的個(gè)位數(shù) 字和 是 4 100 400的個(gè)位數(shù)即 0，另外 5 個(gè)數(shù)為 20012001 、 20022002 、 20032003 、 20042004 、 20052005 ，它們和的個(gè)位數(shù)字是1 4 7 6 5 2 3 的個(gè)位數(shù) 3，所以原式的個(gè)位數(shù)字是 3，即除以 10的余數(shù)是 3 【例 11】 求所有的質(zhì)數(shù) P，使得 241p 與 261p 也是質(zhì)數(shù) 【解析】 如果 5p ，則 24 1 101p ， 26 1 151p 都是質(zhì)數(shù)，所以 5符合題意如果 ，那么 的余數(shù)為 1、 2、 3或者 4， 2p 除以 5的余數(shù)即等于 21 、 2 、 23 或者 24 除以 5的余數(shù)，即1、 4、 9或者 16 除以 5的余數(shù)，只有 1和 4兩種情況如果 2p 除以 5的余數(shù)為 1，那么 241p 除以 5 的余數(shù)等于 4 1 1 5 除以 5 的余數(shù)，為 0，即此時(shí) 241p 被 5整除，而 241p 大于 5，所以此時(shí) 241p 不是質(zhì)數(shù)；如果 2p 除以 5的余數(shù)為 4，同理可知 261p 不是質(zhì)數(shù) ，所以 ，241p 與 261p 至少有一個(gè)不是質(zhì)數(shù)，所以只有 5p 滿足條件 【 鞏鞏 固固 】 在圖 表 的第二行中，恰好填上 89 98 這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因 數(shù)的乘積除以 11 所得的余數(shù)都是 3 【解析】 因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的乘積除以 11 的余數(shù)，等于因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 2 3 兩個(gè) 數(shù)分別除以 11的余數(shù)之積因此原題中的 89 98 可以改換為 1 10 ，這樣上下兩數(shù)的乘積除以 11 余 3就容易計(jì)算了我們得到下面的結(jié)果： 進(jìn)而得到本題的答案是： 因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 91 95 89 97 93 94 90 98 92 96 【 鞏鞏 固固 】 (2000年“華杯賽”試題 )3個(gè)三位數(shù)乘積的算式 234235286a b c b c a c a b (其中 )， 在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位 6是正確的，問原式中的 多少？ 【解析】 由于 234235286 2 3 4 2 3 5 2 8 6 8 ( m ) ， 3( ) ( m o d 9 )a b c b c a c a b a b c ， 于是 3( ) 8 ( m o d 9 ) ，從而 (用 0 , 1 , 2 , . . . , 8 ( m o d 9 ) 代入上式檢驗(yàn) ) 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (1)，對(duì) a 進(jìn)行討論： 如果 9a ，那么 2 , 5 , 8 ( m o d 9 ) (2)，又 c a b 的個(gè)位數(shù)字是 6，所以 的個(gè)位數(shù)字 為4， 可能為 41 、 72 、 83 、 64 ，其中只有 ( , ) ( 4 ,1), (8 , 3) 符合 (2)，經(jīng)檢驗(yàn)只有9 8 3 8 3 9 3 9 8 3 2 8 2 4 5 3 2 6 符合題意 如果 8a ，那么 3 , 6 , 0 ( m o d 9 ) (3)，又 的個(gè)位數(shù)字為 2或 7，則 可能為 21 、 43 、62 、 76 、 71 ，其中只有 ( , ) (2,1)符合 (3)，經(jīng)檢驗(yàn)， 821不合題意 如果 7a ，那么 4 , 7 ,1( m o d 9 ) (4)，則 可能為 42 、 63 ，其中沒有符合 (4)的 (, ) 如果 6a ，那么 5b ， 4c ， 7 0 0 6 0 0 5 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 3 4 5 8 6a b c b c a c a b ，因此這時(shí) 可能符合題意綜上所述， 983是本題唯一的解 【例 12】 一個(gè)大于 1的數(shù)去除 290， 235， 200時(shí)，得余數(shù)分別為 a ， 2a ， 5a ，則這個(gè)自然數(shù)是多少？ 【解析】 根據(jù)題意可知， 這個(gè)自然數(shù)去除 290， 233， 195時(shí)，得到相同的余數(shù) （都為 a ） 既然 余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知 其中 任意兩數(shù)的差 除以這個(gè)數(shù) 肯定余 0那么這個(gè)自然數(shù)是 290 233 57的約數(shù)，又是 233 195 38的約數(shù)，因此就是 57和 38的公約數(shù) ,因?yàn)?57和 38的公約數(shù) 只有 19和 1， 而這個(gè)數(shù)大于 1， 所以這個(gè)自然數(shù)是 19 【 鞏鞏 固固 】 一個(gè)大于 10 的自然數(shù)去除 90、 164 后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除 220 后所得的余因數(shù) 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 因數(shù) 3 7 1 9 5 6 2 10 4 8 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 3 3 數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？ 【解析】 這個(gè)自然數(shù)去除 90、 164 后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除 90 164 254后所得的余數(shù)，所以 254和 220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是 254 220 34的約數(shù)，又大于 10， 這個(gè)自然數(shù)只能是 17或者是 34 如果這個(gè)數(shù)是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余數(shù)分別是 22、 28、 16，不符合題目條件 ； 如果這個(gè)數(shù)是 17，那么他去除 90、 164、 220后所得的余數(shù)分別是 5、 11、 16，符合題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是 17 【例 13】 甲、乙、丙三數(shù)分別為 603， 939， 393某數(shù) A 除甲數(shù)所得余數(shù)是 A 除乙數(shù)所得余數(shù)的 2倍， 除丙數(shù)所 得余數(shù)的 2倍求 A 等于多少？ 【解析】 根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以 A 都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 11603 A K r K r K r 232要消去余數(shù)1r, 2r, 3r,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減 這樣我們先把第二個(gè)式子乘以 2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大 2倍，同理，第三個(gè)式子乘以 4 于是我們可以得到下面的式子：11603 A K r 229 3 9 2 2 2A K r 333 9 3 4 2 4A K r 后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被 A 整除 9 3 9 2 6 0 3 1 2 7 5 ， 3 9 3 4 6 0 3 9 6 9 ， 1 2 7 5 , 9 6 9 5 1 3 1 7 51的約數(shù)有 1、 3、 17、 51，其中 1、 3顯然不滿足，檢驗(yàn) 17 和 51可知 17 滿足，所以 A 等于 17 【 鞏鞏 固固 】 一個(gè)自然數(shù)除 429、 791、 500所得的余數(shù)分別是 5a 、 2a 、 a ，求這個(gè)自然數(shù)和 a 的值 . 【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為 2a 的數(shù)： 4 2 9 5 2 8 4 8 ， 791 、 500 2 1000 ，這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是 2a ，故同余 . 將這三個(gè)數(shù)相減，得到 848 791 57、 1000 848 152，所求的自然數(shù)一定是 57 和 152 的公約數(shù)，而 57,152 19 ，所以這個(gè)自然數(shù)是 19的約數(shù)，顯然 1 是不符合條件的，那么只能是 這個(gè) 自然數(shù)是 19時(shí)，除 429 、 791 、 500 所得的余數(shù)分別為 11、 12、 6 ， 6a 時(shí)成立 ,所以這個(gè)自然數(shù)是 19， 6a . 【 模塊 三：余數(shù)綜合應(yīng)用】 【例 14】 著名的裴波那契數(shù)列是這樣的： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第 2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？ 2010 年 暑 假 第 10 講 教師版 4 3 【解析】 斐 波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個(gè)數(shù)起每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被 3除所得余數(shù)的數(shù)列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、 1、 2、 0 第九項(xiàng)和第十項(xiàng)連續(xù)兩個(gè)是 1，與第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被 3除的余數(shù)每 8 個(gè)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，由于 2008 除以 8 的余數(shù)為 0，所以第 2008 項(xiàng)被 3 除所得的余數(shù)為第 8項(xiàng)被