最新電大考試復(fù)習(xí)資料工程數(shù)學(xué)(本)期末考試整理小抄

1 電大工程數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)考試必備資料小抄 一、 單項選擇題 1. 設(shè) 2321321321則321332211321333 A ） A. 2 2. 設(shè) A是 n s矩陣， B是 m s矩陣，則下列運算中有意義的是（ D） D. 3. 已知21101210,20101若 13 11 a （ B ） B. 1 4. 都是 n 階矩陣（ )1n ，則下列命題正確的是 ( D ) D 5. 若 是對稱矩陣，則等式（ C）成立 C. A A 6. 若 53 21A，則 *A （ D ） D. 13 257. 若4321432143214321A ，則秩 )(A （ B ） B. 1 8. 向量組10001200123012341111, , , ,的秩是（ A） A. 4 9. 向量組 532,211,422,3214321 的一個極大無關(guān)組可取為（ B） B. 21, 10. 向量組 1,2,1,5,3,2,2,0,1321 ，則 321 32 （ B ） 2,3,1 11. 線性方程組013221 xx 的情況是（ D） D. 有無窮多解 12. 若線性方程組 只有零解，則線性方程組 AX b（ C） C. 可能無解 13. 若 非零解，則（ A ）成立 A. r A n( ) 14. 下列事件運算關(guān)系正確的是（ A ） A. 15. 對于隨機事件A,，下列運算公式（ A ）成立 A. )()()()( 16. 袋中有 3 個紅球， 2 個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是 （ D）25917. 若隨機事件 A, ，則結(jié)論（ B ）成立 互不相容 18. 若,滿足（ C），則 是相互獨立 C. )()()( 19. 下列數(shù)組中，（ C）中的數(shù)組可以作為離散型隨機變量的概率分布1631614121 2 20. 設(shè) 210X，則 )2( B ） B 21. 隨機變量 )21,3( )2( D） D. 8722. 已知 )2,2( 2若 )1,0( ，那么（ C） 1,21 若 )4,2( Y（ C），則Y N ( , )0 1 C. 22設(shè), 21 是來自正態(tài)總體 22 ,)(,( N 均未知）的樣本 ，則（ A ）是統(tǒng)計量 A. 1x 25. 設(shè)x x , , ,是來自正態(tài)總體N ( , ) 2的樣本，則（ D ）是 無偏估計 D. 321 535151 設(shè)a a ab b bc c 31 2 31 2 32，則a a aa b a b a bc c 31 1 2 2 3 31 2 32 3 2 3 2 3 （ D ） D. 6 若0 0 0 10 0 00 2 0 01 0 01則 a（ A ） A. 2乘積矩陣12 41 0 35 2 1中元素 C ） C. 10 設(shè)為 下列運算關(guān)系正確的是 （ B） ( )A 1 1設(shè),均為 階方陣， k0且k1，則下列等式正確的是 （ D ） kA k )下列結(jié)論正確的是 （ A） 若 A也是正交矩陣 矩陣32 5的伴隨矩陣為 （ C） 5 32 1方陣 B ） A0設(shè)B C, ,均為 ( )1（ D ）()C1設(shè)A, ,均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是 （ A ） ( )A B A 2 2 22用消元法得 x x xx 32 332 4 102 的解 為 （ C ） , , 11 2 2 線性方程組 x x xx xx 31 32 32 3 263 3 4 （ B ） 有唯一解 3 向量組 100010001121304, , , ,的秩為 （ A） A. 3 設(shè)向量組為 1 2 3 41100001110101111, , ,，則 （ B ） 是極大無關(guān)組 1 2 3, , A 與 A 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解， 則（ D） 秩 ( )A 秩 ( )A 1 若某個線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組 （ A ） 可能無解 以下結(jié)論正確的是 （ D ） 齊次線性方程組一 定有解 若向量組 1 2, , , 向量組內(nèi) （ A） 可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出 至少有一個向量 10設(shè)，為 n 階矩陣，若等式 （ ）成立，則稱和相似 1 兩個事件，則 （ B） 成立( )B B A 如果 （ C） 成立，則事件 為對立事件且 U 10 張獎券中含有 3張中獎的獎券，每人購買 1張，則前 3個購買者中恰有 1人中獎的概率為 （ D ） 3 0 7 0 32 . 對于事件命題 （ C ） 是正確的 如果立，則A B,對立 某隨機試驗的成功率為 )10( 則在 3 次重復(fù)試驗中至少失敗 1 次的概率為（ D ） )1()1()1( 223 n p ( , )，且E X D X( ) . , ( ) . 4 8 0 96，則參數(shù) 別是 （ A ） A. 6, x(為連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)，則對 任意的a b a b, ( )，E X( ) （ A ） xf x x( )d B ） f x x x( ) s i n , 0 20的密度函數(shù)為f x( )，分布函數(shù)為)，則對任意的區(qū)間( , )a b，則 )( D） f x )d為隨機變量，E X D X( ) , ( ) 2， 當(dāng)（ C ）時 ，有E Y D Y( ) , ( ) 0 1 設(shè)是來自正態(tài)總體N( , ) 2（, 2均未知）的樣本， 則（ A） 是統(tǒng)計量x 3, ,是來自正態(tài)總體N( , ) 2（, 2均未知）的樣本， 則統(tǒng)計量（ D） 不是 的無偏估計 x x 3 1. 若 0351021011x，則 x （ A） A. 3 2. 已知 2 維向量組4321 , ，則 ),(4321 B） A 1 B 2 C 3 D 4 4 3. 設(shè) 為 n 階矩陣， 則下列等式成立的是（ C） )( 4. 若B,滿足（ B），則 是相互獨立 )()()( 5. 若隨機變量 X 的期望和方差分別為 )( )(則等式（ D）成立 22 )()()( 1. 設(shè) A 為 43 矩陣， B 為 25 矩陣，當(dāng) C 為（ B）矩陣時，乘積 有意義 42 2. 向量組 1 2 3 40 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 3 , , , , , , , , , , ,的極大線性無關(guān)組是（ A ） 2 3 4, ,3. 若線性方程組的增廣矩陣為 412 21 A，則當(dāng) （ D）時線性方程組有無窮多解 124. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 4”的概率是（ C ） . 1215. 在對 單正態(tài)總體N ( , ) 2的 假設(shè)檢驗問題中， T 檢驗法解決的問題是（ B ）未知方差，檢驗均值 二、 填空題 1. 1111111關(guān)于x 的一個多項式，該式中一次項 x 系數(shù)是 2 2. 設(shè) 是 3 階矩陣，其中 2,3 則 12 12 3. 設(shè) , 均為 n 階矩陣，其中 可逆，則矩陣方程 的解 X 11 )( 4. 若方陣 滿足 ，則 是對稱矩陣 5設(shè)矩陣 11 11A，則r( )1 6. 12514 451231 7. 向量組 )01(),110(),011(321 k 線性相關(guān)，則 _k . 1 8含有零向量的向量組一定是線性 相關(guān) 的 9. 若 足r A n( ) ，則該線性方程組 有非零解 10. 線性方程組 中的一般解的自由元的個數(shù)是 2，其中 A 是 54 矩陣，則方程組增廣矩陣 )( = 3 11. 齊次線性方程組 0系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化為 000020103211A 則方程組的一般解為 4342431 ,(22 是自由未知量） 12. 當(dāng) = 1 時，方程組112121 xx 有無窮多解 13. 若 , 則 )( 14. 設(shè) A ， B 為兩個事件，若 )()()( ，則稱 A 與 B 相互獨立 15. 設(shè)隨機變量 01 則 5 16. 設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為 其它,010,1)( 2 則常數(shù) k =4 17. 設(shè)隨機變量 10X，則 )1( 18. 設(shè)隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為 其它0103)( 2 則 )21( 1 19. 已知隨機變量 201X，那么 )( 3 20. 設(shè)隨機變量 )00( 則 )(15 21. 設(shè)隨機變量 的期望存在，則X E X( ( ) 0 22. 設(shè)隨機變量 ，若 5)(,2)( 2 則 )( 23. 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為 統(tǒng)計量 24. 設(shè)1021 , 是來自正態(tài)總體 )4,(N 的一個樣本，則 101101i 104,(N 25. 若參數(shù) 的兩個無偏估計量 1 和 2 滿足 )()( 21 ，則稱 2 比 1 更 有效 2 1 01 4 00 0 17 1 1 11 11 1該多項式一次項的系數(shù)是 2 若 4矩陣， 5矩陣，切乘積 有意義，則 為 5 4 矩陣 二階矩陣A 1 10 15 10 51 設(shè)A B 1 24 03 41 2 03 1 4,，則( )A B 815 360設(shè)為 3 階矩陣，且A B 3，則2 設(shè),均為 3 階矩陣，且B 1 3,，則 3 1 2( )A B 3 若A a 10 1為正交矩陣，則 a 0 矩陣2 1 223 3的秩為 2 6 設(shè)當(dāng) 時，齊次線性方程組 x xx 1 200 有非零解 向量組 1 20 0 0 1 1 1 , , , , ,線 性 相關(guān) 向量組 1 2 3 1 2 0 1 0 0 0 0 0, , , , , , , , , , ,的秩是 設(shè)齊次線性方程組 1 1 2 2 3 3 0x x x 的系數(shù)行列式 1 2 3 0，則這個方程組有 無窮多 解，且系數(shù)列向量 1 2 3, , 是線性 相關(guān) 的 向量組 1 2 31 0 0 1 0 0 , , , , ,的極大線性無關(guān)組是 21, 向量組 1 2, , , 1 2, , , 相同 設(shè)線性方程組 中有 5 個未知量，且秩 ( )A 3 ，則其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有 個 設(shè)線性方程組 AX b 有解， 它的一個特解，且 的基礎(chǔ)解系為 X , ，則 AX b 的通解為22110 9若 是的特征值，則 是方程 0 的根 10若矩陣滿足 1 ，則稱為正交矩陣是兩個可逆矩陣，則A 121 1211 從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三 位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為52 P B( ) . , ( ) . 0 3 0 5，則當(dāng)事件不相容時，P B( ) ，P B( 兩個事件，且 A，則P A B( ) 4. 已知P A B P A p( ) ( ) , ( ) ，則B( ) P1 5. 若事件互獨立，且A p P B q( ) , ( ) ，則P A B) 6. 已知P P B( ) . , ( ) .0 3 0 5，則當(dāng)事件互獨立時，( ) ，P B( ) ( , )0 1，則 的分布函數(shù)F x( )111000 ( , . )20 0 3，則E X( ) 6 ( , 2，則P X( ) 3)3(2 E X Y E Y( ( )( ( ) 稱為二維隨機變量( , )X 協(xié)方差 1統(tǒng)計量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 2參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和 最大似然估計 兩種方法 7 3比較估計量好壞的兩個重要標(biāo)準(zhǔn)是 無偏 性 ， 有效性 4設(shè)是來自正態(tài)總體N( , ) 2（2已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗H 1 0: ; : ，需選取統(tǒng)計量0 5假設(shè)檢驗中的顯著性水平 為 事件 |0（ u 為臨界值） 發(fā) 生的概率 1. 設(shè) 均為 n 階可逆矩陣，逆矩陣分別為 11, 則 11 )( A )( 1 2. 向量組 ),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321 k 線性相關(guān)，則 _k . 1 3. 已知 , 則 )( 4. 已知隨機變量 201X，那么 )( 5. 設(shè)1021 , 是來自正態(tài)總體 )4,(N 的一個樣本，則 101101i 104,(N 1. 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 3 則 12 070040111A ，則 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( 2 3. 設(shè)A B C, ,是三個事件，那么 A 發(fā)生，但 至少有一個不發(fā)生的事件表示為 )( . 4. 設(shè)隨機變量 )00( 則 )(5 5. 設(shè), 21 是來自正態(tài)總體N ( , ) 2的一個樣本， ni 則 )(xD 三、 計算題 1. 已知244213001,543322011證明 可逆，并求 1)( 解： 301111010 因為 023111301111010 ，所以 可逆 且 212121001212323)( 1 2. 設(shè)矩陣423532211A ，求（ 1） A ，（ 2） 1A 8 解： （ 1） 1100110211210110211423532211A （ 2）利用初等行變換得 103210012110001211100423010532001211 1 1 2 1 0 00 1 1 2 1 00 0 1 5 1 11 1 2 1 0 00 1 1 2 1 00 0 1 5 1 1 1 1 0 9 2 20 1 0 7 2 10 0 1 5 1 11 0 0 2 0 10 1 0 7 2 10 0 1 5 1 1即 A 12 0 17 2 15 1 13. 設(shè)矩陣A B 1 0 10 1 11 1 11 2 22 1 22 2 1,，求 A1及 A 解： 利用初等行變換得 1 0 1 1 0 00 1 1 0 1 01 1 1 0 0 11 0 1 1 0 00 1 1 0 1 00 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 00 1 0 13 1 1 0 1 1 0 00 1 0 13 3 13 1 0 1 1 0 00 1 01323130 11313131 0 02313130 1 01323130 0 1131313即 A 132 1 11 2 11 1 1由矩陣乘法得 A 1 132 1 11 2 11 1 11 2 22 1 22 2 11 0 10 1 11 1 1 9 4. 已知 ，其中 0 2 3 2 33 4 7 , 5 85 8 9 0 1 ，求 X 解：由方程 ，得 ()I A X B，且 1 2 33 5 75 8 1 0利用初等行變換得 1055200132100013211001085010753001321 121100255010364021121100013210001321 121100255010146001 即 1()6 4 15 5 21 2 1由矩陣乘法得 1 6 4 1 2 3 8 1 3( ) 5 5 2 5 8 1 5 2 31 2 1 0 1 8 1 2X I A B 5. 設(shè)矩陣1 1 5 1 21 1 2 3 53 1 8 1 91 3 9 7 8A，求矩陣 A 的秩 解：用初等行變換將矩陣化為階梯形 681440347203472021511879319181353211215111 1 5 1 20 2 7 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0由此可知矩陣的秩為 2 10 6. 求 向 量 組 1 1, 3 , 2 , 1, 1 ， 2 3 , 8 , 4 , 1, 0 ， 3 2 , 1, 4 , 2 , 1 ， 4 1, 2 , 6 , 1, 2 的秩，并求該向量組的一個極大無關(guān)組 解：將向量組組成的矩陣化為階梯形 1 3 2 1 13 8 4 1 02 1 4 2 11 2 6 1 21 3 2 1 10 1 2 2 30 5 8 0 30 5 8 0 3 1 3 2 1 10 1 2 2 30 0 2 1 0 1 20 0 0 0 0 由此可知該向量組的秩為 3，且321 , 是一個極大無關(guān)組 7. 分別說明當(dāng)何值時，線性方程組 x x x xx x x xx x x xx x x ax 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 12 7 2 24 3 2 12 4 8 無解、有唯一解、有無窮多解在有無窮多解的情況下求出一般解 解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 1 3 1 1 12 7 2 1 21 4 3 2 12 4 81 3 1 1 10 1 0 1 00 1 2 3 00 2 6 2 2 a b a b 1 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 6 4 21 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 0 2 2a b a b 當(dāng)a b 2 2,時，方程組無解。當(dāng)a2時，方程組有唯一解。當(dāng)a b 2 2,時，方程組有無窮多解。 在方程組有無窮多解的情況下，一般解為 x xx xx 2 43 41 5 （其中 8. 求線性方程組 103512527496372224321432143214321 11 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 202102202021022010151102112110351252714961372211210000000000111011111510112119111010000000000101511021121此時齊次方程組化為 432431111115119111,143 1,043 齊次方程組的一組基礎(chǔ)解系 011151111X 101111192,043 非齊次方程組的一個特解 001110112022110 （其中 21,任意常數(shù)） 9. 設(shè)齊次線性方程組 0系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換，得 000023200102A 求此齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系和通解 解： 因為 000012/31002/101000023200102 得一般解： 432312321其中43, 12 令 0,243 02311X ； 令 1,043 10102X 所以， 21 , 方程組的一個基礎(chǔ)解系 方程組的通解為： X 2211 ，其中 21,任意常數(shù) 10當(dāng)取何值時，線性方程組 1479637222432143214321有解，在有解的情況下求方程組的全部解 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 191022201051110212111147963712212111000010511108490110000105111021211由此可知當(dāng) 1 時，方程組無解。當(dāng) 1 時，方程組有解。 此時齊次方程組化為 432431 511 49 分別令1 0 ,及0 1 ,，得齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系 1054,01119 21 令x 0 ,，得非齊次方程組的一個特解 001080X X k X k X 0 1 1 2 2（其中k ,為任意常數(shù)） 11. 假設(shè) 為兩事件，已知 , 求 )( 解： )()( )()( )()()( 12. 一批產(chǎn)品分別來自甲、乙、丙三個廠家，其中 50%來自甲廠、 30%來自乙廠、 20%來自丙廠，已知這三個廠家的次品率分別為 從這批產(chǎn)品中任取一件，求取出的產(chǎn)品是合格品的概率 . 解： 設(shè)如下事件： ：“產(chǎn)品來自甲廠” B：“產(chǎn)品來自乙廠” C：“產(chǎn)品來自丙廠” D：“產(chǎn)品是合格品” 由全概公式有 D P A P D A P B P D B P C P D C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 0 5 0 01 0 3 0 02 0 2 0 04 0 019. . . . . . . 由對立事件的關(guān)系可知 P D P D( ) ( ) . 1 1 0 019 98113. 一 袋中有 10 個球，其中 3 個黑球 7 個白球今從中依次無放回地抽取 兩 個，求第 2 次抽取出的是黑球的概率 . 解： 設(shè)如下事件： 1A ：“第 1 次抽取出的是黑球” 2A ：“第 2 次抽取 出的是黑球” 顯然有103)( 1 全概公式得 )()()()()(1211212 1039310792103 14. 已知某批零件的加工由兩道工序完成，第一道工序的次品率為 二道工序的次品率為 道工序的次品率彼此無關(guān)，求這批零件的合格率 . 解： 設(shè)如下事件： A：“第一道工序加工的零件是次品” B：“第二道工序 加工的零件是次品” C：“零件是合格品” 由事件的關(guān)系有 C A B 已知互獨立，由加法公式得 P C P A P B P A P B P A P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 由對立事件的關(guān)系可知 9 6 0 9 1)( 15. 設(shè) 000 2x，求 )41()1( （ 2） )3( （ 3） )10( 解： （ 1） 40 2)41( （ 2） 0)3( 33 3） 1)10(0 2 設(shè) )4,3( 試求 )95( )7( （已知 ,( (,( ） 解： )32 31()2 392 32 35()95( ()3( )2 372 3()7( 2 3(1)22 3( 2 7 (1 17. 設(shè) 0 1 2 30 . 1 0 . 3 0 . 4 0 . 2X，求 )( )2( 解： 由期望的定義得 ( ) 0 0 . 1 1 0 . 3 2 0 . 4 3 0 . 2 1 . 7 14 )2()1()0()2( 0 . 1 0 . 3 0 . 4 0 . 8 18. 某車間生產(chǎn)滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布今從一批產(chǎn)品里隨機取出 9 個，測得直徑平均值為 已知這批滾珠直徑的方差為 試找出滾珠直徑均值的置信度為 置信區(qū)間( . ) 975 1 96 解： 由于已知2，故選取樣本函數(shù) )1,0( 已知 x ， 經(jīng)計算得 滾珠直徑均值的置信度為 置信區(qū)間為 9,9 ，又 由已知條件 u ，故此置信區(qū)間為 139 60 19. 據(jù)資料分析， 某廠生產(chǎn)的一批磚，其抗斷強度 ) 今從這批 磚 中隨機地抽取了 9 塊，測得 抗斷強度 （單位： 平均值為 這批 磚的抗斷強度是否合格 （ 0 05 1 960 975. , . 解： 零假設(shè)H 0 325: . 由于已知2 121 .，故選取樣本函數(shù)U x n N ( , )0 1已知 x 3112.，經(jīng)計算得91 13 0 37 . .， 31 12 32 50 37 3 73. . 知條件75 1 96. .，xn u 3 73 1 96 0 975. . 這批 磚的抗斷強度不合格。 20. 對一種產(chǎn)品的 某項技術(shù)指標(biāo)進行測量，該指標(biāo)服從正態(tài)分布， 今從這種產(chǎn)品中隨機地抽取了 16 件，測得 該項技術(shù)指標(biāo) 的平均值為 本標(biāo)準(zhǔn)差為 該 項技術(shù)指標(biāo)置信 度為 置信區(qū)間 （t 0 05 15 2 131. ( ) .） 解： 由于未知2，故選取樣本函數(shù) T xs n t n ( )1已知x s 31 06 0 35. , .， 經(jīng)計算得 0875 技術(shù)指標(biāo) 置信度為 置信區(qū)間為 ( ) , ( ) . .x t s x t s 0 05 0 0515 16 15 16，又由已知條件t 0 05 15 2 131. ( ) .，故此置信區(qū)間為.,30873125設(shè)A B C 1 23 5 1 14 3 5 43 1, ,，求 A B； A C； 2 3A C； B5； ( ) 答案： 81 30 40 66 73 161732 012 22265 1223 77 80151 2156)( 5 設(shè)A B C 1 2 10 1 21 0 32 1 11 1 43 2 10 0 2, ,，求 C 解 ： 10221046200123411102420)( 已知A B 3 1 01 2 13 4 21 0 21 1 12 1 1,，求滿足方程 3 2A X B 中的 X 解 ： 3 2A X B 252112712511234511725223821)3(21寫出 4 階行列式 1 0 2 01 4 3 60 2 5 31 1 0中元素a 2,的代數(shù)余子式，并求其值 答案 ： 0352634020)1( 1441 a 45350631021)1( 2442 a 用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣 ： 122121； 1 2 3 42 3 1 21 1 1 10 2 6 ； 1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 解 ： （ 1 ） 919292929192929291100010001919292031320323110021020112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|23133232123121229131232226 9192929291929292911A （ 2）35141201132051717266221A (過程略 ) (3) 11000110001100011A 求矩陣1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 2 1 0 12 1 1 3 2 0 1的秩 解 ： 000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212 3)( 1用消元法解線性方程組 x x x xx x x xx x x xx x x 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 2 63 8 5 02 4 124 3 2 解： 2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323 33110004110046150101 2 4420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213 31000101001001020001310004110046150101 2 44200134241441542111 方程組解為31124321有線性方程組 17 1 11 11 112 為何值時，方程組有唯一解 ?或